文档内容
赤峰第四中学 2025-2026 学年第一学期月考试题
高二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 抛物线 的焦点到准线的距离是
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为抛物线方程 可化为 ，所以抛物线 的焦
点到准线的距离是 ，故选D.
考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.
2. 已知 ，且 ，则实数 的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】因为 ， ，所以 ，解得 .
故选：C.
3. 直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
第1页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据直线平行的判定求参数，结合充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】若 ，则 ，可得 或 ，
时， ，即两直线平行，符合；
时， ，即两直线重合，不符.
所以 ，即 是 的充要条件.
故选：C
4. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，短轴长为 ，离心率为 ，过点
的直线交椭圆于 ， 两点，则 的周长为
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆的定义，结合 ，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，椭圆 的短轴长为 ，离心率为 ，
所以 ， ，则 ，所以 ，
所以 的周长为 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了椭圆 的定义、标准方程，以及简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能
力，属于基础题．
5. 过点 作直线 与圆 相切，斜率的最大值为 ，若 ， ，
第2页/共25页
学科网（北京）股份有限公司，则 的最小值是（ ）
A. 12 B. 9 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出 或 ，再应用基本不等式计算最小值即可.
【详解】设直线 的方程为 ，圆心 到直线 的距离为 ，解得 或 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
当且仅当 时取最小值 .
故选：A.
6. 已知抛物线 的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆 上运动，则
的最小值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线的定义知道 ，然后知道三点共线线段和最小，所以在圆上找到离直线距离
最近的点即可得到最小值.
【详解】由抛物线方程 可得焦点 ，准线方程为 ，
如图：
第3页/共25页
学科网（北京）股份有限公司过点P作准线的垂线，垂足为N，
因为点P在抛物线上，所以 ，所以 ，
当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即 垂直于准线时，所求的和最小，
又因为Q在圆上运动，由圆的方程为 得圆心 ，半径 ，
所以 .
故选：A.
7. 如图所示，在正三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 ， ，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求
，即可得答案.
第4页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ， ，而 且 ，
则
，
显然 ，则 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：C
8. 设 ， 是双曲线 的左，右焦点， 是坐标原点，过点 作 的一条渐
近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设过点 作 的垂线，其方程为 ，联立方程，求得 ， ，即
，由 ，列出相应方程，求出离心率.
【详解】解：不妨设过点 作 的垂线，其方程为 ，
由 解得 ， ，即 ，
第5页/共25页
学科网（北京）股份有限公司由 ，所以有 ，
化简得 ，所以离心率 ．
故选：B.
【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，
属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
的
9. 下列说法正确 是（ ）
A. 到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.
B. 方程 表示双曲线.
C. 到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线
D. 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁
【答案】BD
【解析】
【分析】根据双曲线的定义可判定A，根据双曲线方程可判定B，根据抛物线的定义可判定C，根据椭圆
的离心率可判定D.
【详解】到两定点的距离差的绝对值等于正常数,且该常数小于两定点的距离的点的轨迹是双曲线，故A
错误；
对于方程 ，若 ，则表示焦点在横轴的双曲线，
若 ，原式可化为 ，则表示焦点在纵轴的双曲线，故B正确；
根据抛物线的定义可知:该定点不能在定直线上，否则轨迹不能是抛物线，故C错误；
椭圆的离心率是焦距与长轴的比值，离心率越大说明焦距与长轴长越接近，则短轴长越短，此时椭圆越扁
平，故D正确.
故选：BD
第6页/共25页
学科网（北京）股份有限公司10. 已知双曲线C： 的左右焦点分别为 ，且 ，A、P、B为双曲线
上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线 与 斜率的乘积为1，则下列正确的是（ ）
A. 双曲线C的实轴长为
B. 双曲线C的离心率为
C. 若 ，则三角形 的周长为
D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意可知 ，设 ，则 ， ，代入可
求解出 ，对A，根据 ，可求得实轴长为 ，可判断；对B，根据离心率 ，可判断
选项；对C，根据 ，可知 ，则 ， ，可求
得 ，所以三角形 的周长为 ，可判断；对D，设 与双曲线联
立，若有解，需要 解之可求出 取值，可判断选项.
【详解】根据题意可知 ，所以 ，设 ，则 ，
将 分别代入到双曲线后相减可得 ， 代入
可求解出 ，
对A，根据 ，解之可得 ，所以双曲线C的实轴长为 ，故A错误；
对B，根据离心率 ，将 代入可得 ，故B正确；
对C，根据 ，可知 ，则 ，
第7页/共25页
学科网（北京）股份有限公司，故 ，
可求得 ，
所以三角形 的周长为 ，故C正确；
对D，设 与双曲线 联立可得 ，若有解，
需要 解之可求出 或 ，故D正确.
故选：BCD
11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，短轴长为 ，离心率为 ， 是椭
圆 上异于长轴端点 的一动点，点 与点 关于原点对称，则（ ）
A. 的面积最大值为
B. 的最小值为
C. 若以 为直径的圆经过 两点，则 点的轨迹方程为
D. 椭圆 上存在点 ，使得
【答案】BCD
【解析】
第8页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【分析】A列关系式，求椭圆方程，当点 位于短轴顶点时， 的面积最大；B证明四边形
为平行四边形，再结合基本不等式可求；C设过点 的圆的一般方程，将 三点坐标代入求出
圆方程，利用 关于圆心对称，求出 点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程；D当点 位于短轴顶点
时符合题意.
【详解】由题意可知， ， ， ，解得 ，
则 ， ， ,
当点 位于短轴顶点时， 的面积最大，最大值为 ，故A错误；
因点 与点 关于原点对称，则四边形 为平行四边形，则 ，
因 ，则
,
等号成立时 ，故B正确；
设过点 的圆的方程为 ，
设 ，且 ， ， ，
则 ， ， ，
得 ， ，
第9页/共25页
学科网（北京）股份有限公司则过点 的圆的方程为 ，圆心 ，
因 为圆 的直径，则 关于点 对称，则 ，
令 ，则 ，
因 ，则 ，
因 ，则 点的轨迹方程为 ，C正确；
当点 位于短轴顶点时，此时 为等边三角形， ，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知圆 ： 和圆 ： ，则两圆公共弦所在直线的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】两圆作差相减，以能求出两圆的公共弦所在的直线方程.
【详解】 圆 ： 和圆 ： ，
两圆作差相减，得直线方程为 ，
经检验，直线方程 满足题意.
第10页/共25页
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
13. 已知双曲线 ，过点 作直线与双曲线交于 两点，且点 恰好是线段 的中点，
则直线 的方程是____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用点差法可求得直线 斜率，进而得到 方程，与双曲线联立检验即可确定结果.
【详解】设 ，且 ，
由 得： ，即 ，
为 中点， ， ， ，
直线 方程为： ，即 ；
由 得： ，
则 ，满足题意；
直线 的方程为： .
故答案为： .
14. 已知点P是椭圆 上一动点，过点P作 的切线PA、PB，切点分别为
A、B，当 最小时，线段AB的长度为________________．
第11页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合四边形 的面积分析可知当且仅当点P为左顶点时， 取到最小值 ，
进而可得线段AB的长度.
【详解】由椭圆方程可知： ，
圆 的圆心为 （也为椭圆的左焦点），半径 ，
因为 ，可知四边形 的面积 ，
当 最小时，即为四边形 的面积 最小，
又因为 ，
可知当 取到最小值时，四边形 的面积 最小，即 最小，
且点P是椭圆 上一动点，
由椭圆性质可知：当且仅当点P为左顶点时， 取到最小值 ，
此时 ，由对称性可知： ，
即 ， 为等边三角形，则 .
第12页/共25页
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
四、解答题：本题共5小题．共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图所示，四棱锥 的底面 是矩形， 底面 ， ， ，
， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明 与平面 的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即
可.
【小问1详解】
由题意知， ， ， 两两互相垂直，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴，建
立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ．
底面 ， 底面 ，
第13页/共25页
学科网（北京）股份有限公司又 ， ，
且 平面 ,
平面 ，
所以 是平面 的一个法向量．
因为 ，
所以 ．
又 平面 ，所以 平面 ．
【小问2详解】
因为 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则
由 ，解得 ，令 ，
得平面 的一个法向量为 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ．
第14页/共25页
学科网（北京）股份有限公司故：直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
16. 已知抛物线 ，斜率为 的直线 交抛物线于 两点，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）试探究：抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理
由.
【答案】（1）
（2）存在， 和
【解析】
【分析】（1）由 在抛物线上，代入求出 ，即可求出抛物线 的方程；
（2）设 ，求出直线 并与抛物线 的方程联立，求出 点坐标，将 转化为
，求出 并检查是否符合题意即可.
【小问1详解】
由 在抛物线上，则 ，解得 ，
因此可得抛物线 的方程为 .
【小问2详解】
存在点 在抛物线 上，
第15页/共25页
学科网（北京）股份有限公司设点 ，
由直线 的斜率为 ，且过 ，
则直线 的方程为： ，即 ，
联立 ，可得 ，解得 ，或 ，
即可得 点的纵坐标为 ，代入 ，得 ，即 ，
若 ，则 ，即 ，
又 ，
则可得 ，
整理得， ，解得 ，或 ，或 ，或 ，
当 时， 与 重合，舍去，
当 时， 与 重合，舍去，
当 时， ，
当 时， ，
综上知，抛物线 上存在点 ，为 和 时， .
17. 如图，直三棱柱 的体积为1， 的面积为 ．
第16页/共25页
学科网（北京）股份有限公司（1）求点A到平面 的距离；
（2）设D为 的中点， ，平面 ⊥平面 ，求二面角 的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）可得三棱锥 的体积为 ，由等体积法运算即可得解；
（2）由垂直关系可得 平面 ，求相应长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【小问1详解】
因为直三棱柱 的体积为1，则三棱锥 的体积为 ，
设点A到平面 的距离为 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以点A到平面 的距离为 .
【小问2详解】
过 作 ，垂足为 ，
第17页/共25页
学科网（北京）股份有限公司又平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
在直三棱柱 中， 平面 ，
由 平面 ， 平面 ，可得 ， ，
又因为 平面 且相交，所以 平面 ，
所以 两两垂直，
设 ，则 ，
由 的面积可得 ，
即 ，解得 ，
即 ， ，
又因为 的面积为 ，解得 ，
以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
则 ， ，
第18页/共25页
学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
令 ，则 可得 ，
则 ，
设二面角 为 ，则 ，可得
所以二面角 的正弦值为 .
18. 已知双曲线 的左，右顶点分别为 ，过 的右焦点 的直线
与 的右支交于 两点．当 与 轴垂直时， ．
（1）求 的方程；
（2）直线 与直线 的交点分别为 ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据 与 轴垂直时得 ，结合 得到 ，由此可得双曲线的
第19页/共25页
学科网（北京）股份有限公司标准方程；
（2）设 ，与双曲线方程联立，表示点 坐标，借助韦达定理可求最
小值即可．
【小问1详解】
对双曲线 ，令 ，得 ，
∴当 与 轴垂直时， ．
由 得 ，即 ，故 ，
∵ ，∴ ，∴ 的方程为 ．
【小问2详解】
① 不合题意．
②设 ，
联立 得， ，
∴ ，
，解得 ，
第20页/共25页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，∴直线 方程为 ，
故 ，同理 ，
∴
．
∴当 时， ．
19. 已 知 圆 锥 曲 线 G ： ， 称 点 和 直 线 l ：
是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥
曲线以 替换 ，以 替换 x（另一变量 y 也是如此）.特别地，对于椭圆 ，点
对应的极线方程为 .已知椭圆C： ，椭圆C的左、右焦点
分别为 、 .
（1）若极点 对应的极线l为 ，求椭圆C的方程；
（2）当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q
的极线；
（3）已知P是直线 上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，
第21页/共25页
学科网（北京）股份有限公司N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当 时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理
由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据极线及焦点坐标分别列式即可求解 即得椭圆方程；
（2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个根，
得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程，最后得出直线 方程结合极线定义证明即可；
（3）利用代数法证明点 在椭圆C外，则点 和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.根据题意中的概念
求出点 对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点，最后利用点差法求出直线的斜率，即可求解.
【小问1详解】
因为极点 对应的极线l为 ，即 ，所以 ，
因为右焦点是 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆C的方程为 ；
【小问2详解】
当斜率存在时，设切线方程为 ， 联立椭圆方程 ，设切点 ，
可得 ，化简可得：
，
由题可得：
化简可得： ，该方程只有一个根，记作 ，
第22页/共25页
学科网（北京）股份有限公司， 为切点的横坐标，
切点的纵坐标 ，
由于 ，则 ，
则切线方程为： ，
化简得： ．
当切线斜率不存在时，切线为 ，也符合方程 ，
综上 上一点 , 的切线方程为 ；
同理 上一点 , 的切线方程为 ；
设 ，点 在两个切线上，所以 ，
所以 的直线方程为 ，根据极线定义直线MN为极点Q的极线；
【小问3详解】
由题意，设点 的坐标为( , )，
因为点 在直线 上运动，所以 ，
第23页/共25页
学科网（北京）股份有限公司联立 ，得 ，
，该方程无实数根，
所以直线 与椭圆C相离，即点 在椭圆C外，又 都与椭圆C相切，
所以点 和直线 是椭圆C的一对极点和极线.
对于椭圆 ，与点 对应的极线方程为 ，
将 代入 ，整理得 ，
又因为定点T的坐标与 的取值无关，
所以 ，解得 ，所以存在定点 恒在直线 上.
当 时，T是线段 的中点，
设 ，直线 的斜率为 ，
则 ，两式相减，
整理得 ，即 ，
所以当 时，直线 的方程为 ，即 .
【点睛】关键点点睛：解题的关键是应用点差法结合韦达定理计算求参解题.
第24页/共25页
学科网（北京）股份有限公司第25页/共25页
学科网（北京）股份有限公司
