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华中师大一附中 2024-2025 学年度十月月度检测
数学试题
时限：120分钟 满分：150分 命题人：游林 审题人：钟涛
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1
A={(x,y)| y =|x|},B=(x,y)| y =
|x| AB =
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. {−1,1} B. {(−1,1),(1,1)} C. (0,+∞) D. (0,1)
2. 已知函数 f
(
x
)=(x−2)n,n∈N*，则“n=1”是“
f
(
x
)
是增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数 f ( x )=asinx+bcosx图像的一条对称轴为x= π ，则 a =（ ）
3 b
3 3
A. 3 B. − 3 C. D. −
3 3
( ) 1 9
4. 已知随机变量ξ~ N 2,σ2 ，且P(ξ≤1)= P(ξ≥a)，则 + (0< xc>a B. a>c>b C. a>b>c D. b>a>c
π
7. 已知函数 f ( x )=2cos2ωx−(sinωx−cosωx)2(ω>0) 的图象关于直线 x = 轴对称，且 f ( x ) 在
12
π
0, 上没有最小值，则ω的值为（ ）
3
1 3
A. B. 1 C. D. 2
2 2
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8. 定义在R 上的奇函数 f ( x ) ，且对任意实数 x 都有 f (−x )− f +x =0 ， f ( 2024 )= ．若
2 e
1
f ( x )+ f′(−x )>0，则不等式 f ( x+1 )> 的解集是（ ）
ex
A.
( 3,+∞)
B.
(−∞,3 )
C.
( 1,+∞)
D.
(−∞,1 )
二、选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．）
9. 下列等式成立的是（ ）
1
A. ( sin15°−cos15°)2 =
2
2
B. sin222.5°−cos222.5°=−
2
1
C. cos28°cos32°−cos62°cos58°=−
2
( ) 3
D. tan10°− 3 cos50°=−
2
10. 已知抛物线C: y2 =2px ( p>0 ) ，过C的焦点F 作直线l:x=ty+1，若C与l交于A,B两点，
AF =2FB，则下列结论正确的有（ ）
A. p=2
B. AF =3
C. t =2 2 或−2 2
5
D. 线段AB中点的横坐标为
4
11. 已知P ( x ,y ) 是曲线C:x3+ y3 = y−x上的一点，则下列选项中正确的是（ ）
0 0
A. 曲线C的图象关于原点对称
B. 对任意x ∈R，直线x= x 与曲线C有唯一交点P
0 0
1
C. 对任意y
∈[−1,1 ]
，恒有 x <
0 0 2
π
D. 曲线C在−1≤ y≤1的部分与 y轴围成图形的面积小于
4
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
π π
12. 若α∈− ,0，且cos2α=cos α+ ，则α=__________.
2 4
13. 海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为30 6海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北
偏西30°，距离为20 3海里C处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与
D处之间的距离为______海里．
π
14. 若存在实数m，使得对于任意的x∈[ a,b ] ，不等式m2 +sinxcosx≤2sinx− ⋅m恒成立，则
4
a+b
b−a取得最大值时， sin =__________．
2
四、解答题（本大题共 5小题，共 77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
π
15. 已知函数 f
(
x
)=4sinxcosx+
,x∈R.
6
( )
（1）求函数 f x 的单调减区间;
( ) π
（2）求函数 f x 在
0,
上的最大值与最小值.
2
16. 已知b>0，函数 f(x) = x2 −x−(x−1)ln(bx)在点(1, f ( 1 ) )处的切线过点 ( 0,−1 ) .
（1）求实数b的值；
（2）证明： f(x)在
( 0,+∞)
上单调递增；
（3）若对∀x≥1, f(x)≥a(x−1)恒成立，求实数a的取值范围．
17. 在ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a,b,c．
（1）b=a+2，c=a+4，是否存在正整数a，使得 a∈N*，且ABC为钝角三角形？若存在，求
出a；若不存在，说明理由．
（2）若a =b=c=4,D为BC的中点，E，F分别在线段AB,AC上，且∠EDF =90°，∠CDF =θ
( 0° <θ<90°) ，求DEF 面积S的最小值及此时对应的θ的值．
x2 y2 2
18. 已知椭圆 + =1(a >b>0)的左右焦点分别为F,F ，离心率e= ，点P,Q分别是椭圆的右
a2 b2 1 2 2
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顶点和上顶点，POQ的边PQ上的中线长为 ．
2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点H(−2,0)的直线交椭圆C于A,B两点，若AF ⊥ BF ，求直线AB的方程；
1 1
1
（3）直线l ,l 过右焦点F ，且它们的斜率乘积为− ，设l ,l 分别与椭圆交于点C,D和E,F．若
1 2 2 1 2
2
M,N 分别是线段CD和EF 的中点，求OMN 面积的最大值．
19. 正整数集A={ m+1,m+2,m+3,,m+3n } ，其中m∈N,n∈N+ .将集合A拆分成n个三元子集，
这n个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称
集合A是“三元可拆集”.
（1）若m=1,n=3，判断集合A是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；
（2）若m=0,n=6，证明：集合A不是“三元可拆集”；
（3）若n=16，是否存在m使得集合A是“三元可拆集”，若存在，请求出m的最大值并给出一种拆法；
若不存在，请说明理由.
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