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2025—2026 学年度上学期 2024 级
期中考试数学试卷
命题人：吕跃 审题人：刘超
考试时间：2025年11月13日
一、单选题
1. 已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 1 D.
2. 已知直线 的方向向量为 且 经过 两点，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 已知直线 ，平面 给出下列命题：
①若 ，且 ，则 ；
②若 ，且 ，则 ；
③若 ，且 ，则 ；
④若 ，且 ，则 .
其中正确的命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 某人有 把钥匙，其中 把能打开门．现随机地取 把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那
么第二次才能打开门的概率为 ；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为 ，则
（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司5. 如图，在正方体 中，若点 是侧面 的中心，且
，则 的值为（ ）
.
A 1 B. C. D.
6. 已知 ， 为椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆的离心率为 ，M为椭圆上一动点，
则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 ，函数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知直线 与圆 交于不同 两的点 ，若 存在最小
值且最小值不大于 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A. 任意一条直线都有倾斜角
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学科网（北京）股份有限公司B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C. 若一条直线的倾斜角为 ，则该直线的斜率为
D. 分别在 轴、 轴上截距相等的直线的斜率为 .
10. 已知实数 满足方程 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
11. 设 为椭圆 的长轴的两个端点， 为椭圆上与 不重合的动点， 分别为椭圆的
左､右焦点， ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 直线 的斜率之积为
B. 最大值为7
C. 存在点 满足
D. 若 的内心为 的延长线交线段 于点 ，则
三、填空题
12. 已知定点 ，点 在圆 上运动， 的平分线交 于点 ，则点 的轨迹方
程是__________.
13. 已知点 和点 关于直线 对称，斜率为 的直线 过点 且与直线 相交于点 ，
若 的面积为2，则 _______________.
14. 设椭圆 长轴的端点分别为 ，点 为椭圆上异于 的一点，若在
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学科网（北京）股份有限公司中满足 ，则椭圆的离心率为____________．
四、解答题
.
15 已知点 ， ，直线l经过点 .
（1）若l与直线AB垂直，求l的方程；
（2）若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围.
16. 已知椭圆 左的、右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点.
（1）若焦距为 ，点 的坐标为 ，求椭圆 的标准方程；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的值.
的
17. 中国乒乓球队是中国体育军团 王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之
队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌．其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，
采用五场三胜制．每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国
队对战瑞典队，最终以 取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，
中国队在每场比赛中获胜的概率均为 ．
（1）求中国队以 获胜的概率
（2）求至多进行四场就结束比赛的概率．
18. 如图1，在平行四边形 中， ，E为 的中点．将 沿
折起，连接 与 ，如图2．
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学科网（北京）股份有限公司（1）当 为何值时，平面 平面 ?
（2）设 ，当 时，是否存在实数 ，使得直线 与平面 所成角
的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
（3）当三棱锥 的体积最大时，求三棱锥 的内切球的半径．
19. 动圆 ： 与直线 ： 交于 两点．
（1）证明：动圆 必过两定点，并求出这两点坐标；
（2）求 的最小值；
（3）是否存在一条定直线，在其上任取点 ，无论 为何值，都有 为常数，若存在，求出定直
线方程；若不存在，请说明理由．
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