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哈尔滨师范大学附属中学 2025-2026 学年度上学期高二期中考试
数学试题
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据直线方程得出直线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系得出倾斜角的正切值，进而求出直线
的倾斜角．
【详解】 直线 ，
斜率 ，
设直线倾斜角 ， ，
，
，故C正确．
故选：C．
2. 对于等比数列 ，则“ ”是“数列 为单调递增数列” 的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义分析判断选项．
【详解】 是等比数列，则 ，
，
，等价于 ，
当 时， ，数列 为递增数列；
当 时， ，则数列 不一定递增，如 时， ，
不能推出 为单调递增数列，不满足充分性；
若 为单调递增数列，则对于任意 ，有 ，
令 ，则 ，
为单调递增数列能推出 ，满足必要性，
“ ”是“数列 为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确．
故选：A．
3. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A. 0 B. 4 C. 8 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的性质可求得 ，利用前 项和公式可求得 ，进而求得公差，利用等
差数列的通项公式可求得 .
【详解】设等差数列 的公差为 ，由 ，可得 ，解得 ，
由 ，得 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
4. 已知等比数列 中， 是方程 的两根，则 （ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比中项的性质得出 ，利用韦达定理求出 的值及 的符号，最后利用等比数列通
项公式判断 的符号，从而求出 ．
【详解】 是等比数列，设公比为 ，
，
是方程 的两根，
， 同号，且 ，
，解得 ，
又
，故C正确．
故选：C．
5. 已知双曲线 的上、下焦点分别为 ， ，点P在双曲线C上，若 ，则
（ ）
A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 15
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的定义求解．
【详解】由双曲线 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
因为点P在双曲线C上， ，又因为 ，
所以 ，解得 或 ，
①当 在下支时， ，
②当 在上支时， ，
综上所述： ，
所以 .
故选：B.
6. 设数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数的运算可推导出数列 是公比为2的等比数列，利用等比数列的基本性质可求解.
【详解】因为 ，得 ，所以 ，
所以 ，所以数列 是以 为公比的等比数列，
又 ，所以 ，
即 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：A.
7. 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得 为整数的正整
数 的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质可得 ，要使 为整数，只需要 为 的因数
即可.
【详解】 ，
又 ，
，
当 时， ，所以使得 为整数的正整数 的个数是4个.
故选：D.
8. 已知数列 的首项 ，且满足 .则 取最大值时，
取值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合已知条件可得 是等差数列，进而求出 的通项公式，然后根据通项公式的特征
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学科网（北京）股份有限公司即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，
当 时， 取得最大值 ，所以 取值为 .
故选：C.
二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分.
9. 已知 是递增的等比数列，其前n项和为 ，若 ，则（ ）
A. B.
C. D. 不是等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】设 的公比为 ，根据题意求出基本量 ，进而逐项验证即可求解.
【详解】设 的公比为 ，则由 ， 单调递增，得 ，
因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），
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学科网（北京）股份有限公司对于A， ，故A正确；
对于B， ， .故B错误；
对于C， ， ，故C正确；
对于D， ， ，
所以 是首项为3，公比为 的等比数列，故D错误.
故选：AC.
10. 已知数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，
则下列选项正确的是（ ）
A. 数列 是等差数列
B. 数列 是等比数列
C. 数列 的通项公式为
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】借助 ，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得
D.
【详解】对A、B：由 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，又 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故A错误、B正确；
对C： ，则 ，故C正确；
对D： ，
则 ，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知等差数列 中，当且仅当 时， 取得最大值.记数列 的前k项和为 ，（ ）
A. 若 ，则当且仅当 时， 取得最大值
B. 若 ，则当且仅当 时， 取得最大值
C. 若 ，则当且仅当 时， 取得最大值
D. 若 ， ，则当 或14时， 取得最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】由等差数列 前n项和 有最大值，得数列 为递减数列，分析 的正负号，可得 的最
大值的取到情况.
【详解】由等差数列 前n项和 有最大值，所以数列 为递减数列，
对于A， 且 时 取最大值，设 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ； 时， ； 时， ，
所以 或14时， 前k项和取最大值，A项错误；
对于B，当且仅当 时 取最大值，则 时， ， 时， .
，则 ， ，
， ，
前14项和最大，B项正确；
对 于 C ， ， 则 ， 同 理 ，
， ，
前13项和最大，C项错误；
对于D， ， ，得 ，由题等差数列 在 时， ，
时 ， ， 所 以 ， ，
，所以 或14时， 前k项和取最大值，D项正确；
故选：BD.
三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分.
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆的焦点位置和方程的特点列不等式组，求解即得.
【详解】因为椭圆的焦点在 轴上，故 ，解得
即 .
故答案为： .
13. 抛物线 在 处的切线斜率为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】由 ，得 ，所以 ，
所以抛物线 在 处的切线斜率为 .
故答案为： .
14. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在 的求和运算中，提出
了倒序相加法的原理．现有函数 ，设数列 满足
，若存在 使不等式
成立，则 的取值范围是___________．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先计算出 的图像关于点 成中心对称，利用倒序相加求出 ，从而得到
，结合对勾函数的单调性得到 ，求出 的取值范围.
【详解】因为
，所以 的图像关于点 成中心对称．
因为 ，
所以 ，
两式相加得 ，所以 ．
由 ，得 ，
所以 ．
令 ，
则当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 单调递增．
又 ，所以 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 的取值范围是 ．
故答案为： .
四．解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知焦点位于x轴的抛物线C过点 ．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为 的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度.
【答案】（1） ，准线方程为
（2）
【解析】
【分析】（1）设出抛物线方程，代入 ，得到 ，得到抛物线方程和准线方程；
（2）设出直线AB： ，联立抛物线方程，得到两根之和，由抛物线焦点弦长公式进行求解.
【小问1详解】
由题意可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴，
设抛物线的方程为 ，
∵ 过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线C： ，准线方程为 ；
【小问2详解】
由（1）知，抛物线焦点为 ，直线AB的倾斜角为 ，
则直线AB： ，设 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得： ，
则 ，
则 ．
16. 记 ， 分别为数列 ， 的前 项和，其中 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ．
【答案】（1）
（2）1508
【解析】
【分析】（1）根据 的关系式推出 和 ，再利用 推出 ；
（2）根据 结合 的关系式求出 ，再计算 ．
【小问1详解】
，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，则 ，
，
时， 符合上式， ．
【小问2详解】
，
，
．
17. 已知数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，记数列 的前 项和 ，证明： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给式子得到 ，作差即可得到 ，
，再计算 ，即可得解；
（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法求和即可.
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学科网（北京）股份有限公司【
小问1详解】
解：因为 ，
所以 时， ，
两式作差得， ，
所以 时， ，
又 时， ，得 ，符合上式，
所以 的通项公式为 ．
【小问2详解】
解： ，
则 ，
因为 ，故 ，
又 在 上单调递减，
故 随 的增大而增大，
故 ，
综上， ．
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知数列 满足 ．
（1）证明：数列 为等差数列；
（2）设 ，记数列 的前n项和为 ．
（i）求 ；
（ii）若 成立，求m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）等式两边同时除以 可得；
（2）（ii）由错位相减法求和即可；
（ii）构造数列 ，由不等式组求数列 的最值大即可.
【小问1详解】
因为 ，即 ，
所以数列 是以 为首项，3为公差的等差数列.
【小问2详解】
（i）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
，
所以
，
所以 .
（ii）因为 ，
所以 ，
令 ，
不妨设 的第 项取得最大值，
所以 ，解得 ，
所以 的最大值为 ，
所以 ，即m的取值范围是 .
19. 如图，曲线 上的点 与 轴非负半轴上的点 构成一系列正三角形
记为 （ 为坐标原点）．设 的边长为 ，点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）若数列 ，记 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】（1） ，
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）计算直线 的方程，联立抛物线方程，求出 坐标，结合正三角形性质可求 .根据
为正三角形表示点 坐标，根据点 在曲线上列方程可得结果.
（2）表示 坐标，根据 在曲线上得到递推关系，得到数列 为等差数列可得结果.
（3）利用放缩法得出 ，分 和 两种情况可证明 ．
【
小问1详解】
的
设 ，因为 为正三角形，所以直线 斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司联立 得 ，
因为 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，故 .
因为 为正三角形，且 ，所以 ，
因为点 在曲线 上，所以 ，
整理得 ，解得 ，
所以 ．
【小问2详解】
由 ，得 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
因为 在曲线 上，
所以 ，即 ，故 ，
两式作差得， ，
因为 ，所以 ，即 ，
由 可得 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ．
【小问3详解】
由（2）得， ，
因为 ，所以 ，故 ，
当 时， ，
当 时，
．
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学科网（北京）股份有限公司
