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2025 届高三 9 月月考数学试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，
1.设 ，则曲线 在点 处的切线的斜率是（ ）
A. B. C.1 D.4
2.“ 或 ”是“幂函数 在 上是减函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知 为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4.函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过
程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把 看作是每天的“进步”率都是 ，一年后
是 ；而把 看作是每天的“退步”率都是 ，一年后是 .这
样，一年后的“进步值”是“退步值”的 倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大
约经过（ ）
学科网（北京）股份有限公司（参考数据： ）
A.70天 B.80天 C.90天 D.100天
6.已知函数 且 ，若函数 的值域为 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.若 ，则 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目.
全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的有（ ）
A.函数 定义域为 ，则 的定义域为
B.函数 是奇函数
C.已知函数 存在两个零点 ，则
D.函数 在 上为增函数
10.已知正数 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为4 B. 的最小值为8
C. 的最小值为3 D. 的最小值
11.已知 是定义在 上的偶函数，且对任意的 ，都有 ，当 时，
学科网（北京）股份有限公司，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.点 是函数 的一个对称中心
C.当 时，
D.函数 恰有6个零点
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知 ，若 ，则 的取值范围为__________.
13.记实数 的最小数为 ，若 ，则函数
的最大值为__________.
14.已知函数 ，若对任意 且 ，都有 ，则
__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
设集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）记 ，若集合 的真子集有7个，求：所有实数 的取值所构成的集合.
16.（15分）
已知函数 ，若曲线 在 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）求函数 的单调区间和极值；
（3）求函数 在 上的最大值､最小值.
17.（15分）
如图所示，一条笔直的河流 （忽略河的宽度）两侧各有一个社区 （忽略社区的大小）， 社区距离
学科网（北京）股份有限公司上最近的点 的距离是 社区距离 上最近的点 的距离是 ，且 .点 是线段
上一点，设 .
现规划了如下三项工程：
工程1：在点 处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形 地块全部修建为面积至少 的文化主题公园，且每平方千米造价为
亿元；
工程3：将直角三角形 地块全部修建为面积至少 的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为 亿元.
（1）求实数 的取值范围；
（2）问点 在何处时， 最小，并求出该最小值.
18.（17分）
已知 且 ，函数 .
（1）求 的定义域 及其零点；
（2）讨论并证明函数 在定义域 上的单调性；
（3）设 ，当 时，若对任意 ，存在 ，使得
成立，求实数 的取值范围.
19.（17分）
已知函数 .
学科网（北京）股份有限公司（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若函数 存在正零点 ，
（i）求 的取值范围；
（ii）记 为 的极值点，证明： .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B C D B B D A AB ABD AC
12. 13. 14.4
15.（1） （2）
【详解】（1）当 时， ，
，即 ，解得 或 ，
（2）若集合 的真子集有7个，则 ，可得 ，
即 中的元素只有3个，
学科网（北京）股份有限公司而 ，解得 或 ，
由（1）知 ，
则当 时， ，
故所有实数 的取值所构成的集合为
16.（1）
（2）答案见详解
（3） .
【详解】（1）由题意可知： ，则 .
因为曲线 在 处的切线方程为 ，
则 ，即 ，解得
（2）因为 ，
当 时， ；当 时， ；
可知函数 的单调递增区间为 和 ；
函数 的单调递减区间为 ，
的极大值为 的极小值为 .
（3）函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，
函数 在 上的最大值 ，最小值 .
学科网（北京）股份有限公司17.（1）
（2）当点 满足 时， 最小，最小值为5.1亿元.
【详解】（1）因为直角三角形 地块全部修建为面积至少 的湿地公园，所以
，解得： .
直角三角形 地块全部修建为面积至少 的文化主题公园，
所以 ，解得： ，
故实数 的取值范围为 .
（2）依题意可得： .
，
当且仅当 ，即 时取等.
所以当点 满足 时， 最小，最小值为5.1亿元.
18.（1）
（2）答案见解析
（3）
【详解】（1）函数 的意义，则 ，解得 ，
所以函数 的定义域 为 ；
令 可得 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司故函数 的零点为： ；
（2）设 是 内的任意两个不相等的实数，且 ，
则 ，
，
当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增；
（3）若对任意 ，存在 ，使得 成立，
只需 ，
由（2）知当 时， 在 上单调递增，则 ，
当 时， 成立；
当 时， 在 上单调递增， ，
由 ，可解得 ；
当 时， 在[3，4]上单调递减， ，
由 ，可解得 ；
综上，满足条件的 的范围是
19.（1）单调递减区间是 ，无单调递增区间
（2）（i） ；（ii）证明见解析
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由已知可得 的定义域为 ，
且 ，
因此当 时， ，从而 ，
所以 的单减区间是 ，无单增区间；
（2）（i）由（1）知， ，
令 ，
当 时， 单调递减.
①当 时，可知 在 内单调递减，
又 ，故当 时， ，所以 不存在正零点；
②当 时， ，
在 单调递减，故当 时， ，函数 不存在正零点；
③当 时， ，此时 ，
所以存在 满足 ，
所以 在 内单调递增，在 内单调递减.
令 ，则当 时， ，
故 在 内单调递增，在 内单调递减，
从而当 时， ，即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司因此，此时存在正零点 ；
综上，实数 的取值范围为 ；
（ii）由题意， ，即
从而 ，即 ，
由（i）知当 时， ，即 ，有 ，
又 ，故 ，
两边取对数，得 ，
于是 ，整理得 .
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助 ，从而得到 ，
即可得 .
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