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2024武汉外校高二下数学期末 参考答案
16．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： 左焦点为F 离心率
一、选择题 1，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B B D C D C D BC ACD ACD
为 ，且过点 ,直线AF 与椭圆C相交于另一点B.
1
(1)求E的方程；
二、填空题
(2)设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S，S，若S=2S，求点M的坐标．
1 2 2 1
12. 13. 14.
（1）由题可得 ，解的 ，即
三、解答题
15.（13分）已知 的内角 的对边分别为 ，满足
（1）证明：
;
(2)由（1）得 ，则直线 ，直线AB与y轴交点为
由题 ，转化为在Y轴上取点P,使得P到直线AB的距离是O到直线AB的距离
（2）若 ，求 的面积.
（1）证明：由 可得 的两倍，可得 满足题意，
即 ,化简得
过 作与AB平行的直线 ，两直线与椭圆E的交点即为满足题意的点
因为 为 的内角，所以有 ，得
带入椭圆 解得
（2）由（1）知道 为锐角，由 得
带入椭圆 解得
所以 由正弦定理 ,得
综上可得，M的坐标为
依题 ，带入相应得值可得 ，得
17.（15分）如图，在三棱柱 中， 是正三角形，四边形 为棱形， ,
（1）证明：
（2）求二面角 的正弦值.
由余弦定理，
（1）取AC的中点为O,连接 ,
由题知 是正三角形，
又 ,
方法2：建系法
取O为AC的中点，过O作平面ABC的垂线，以该垂线为z轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，不妨设AB=2 ,依题 ，
又
则
（2）方法1：几何法
不妨设 ，则有
设平面 法向量为 ，则① 时， ，函数 在 时，单调递增， 恒成
立，满足题意
同理，平面 的法向量
② 时，方程 在 上的解为 ，
时， ， ，函数 在
时，单调递减，不满足 恒成立
综上所述， 的取值范围
（2）由已知条件得，抽取的20个号码互不相同的概率为
，
因为 ，
同理 ， ， ， ，
18.(1)设函数 ，当 时， 恒成立，求 的取值范围 所以 ，所以 ，
(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到
再证： ，
的20个号码互不相同的概率为 ，证明： .
即证： ，即 ， ，
由（1）得，当 时， ，取 ，
解：（1）
，若 ，函数 在 时，单调递增， 恒成 则 ，即 .
立；满足题意
综上， .
若 方 程 的 判 别 式 为19．已知有穷正项数列 ,若将数列每项依次围成一圈,满足每一项等于相邻两项的乘积, 故 ，
故 (若下标大于 ，则取下标除以 的余数).
则称该数列可围成一个“T-Circle”．例如：数列 都可围成“T-Circle”．
所以 (若下标大于 ，则取下标除以 的余数).
(1)设 ,当 时,是否存在 使该数列可围成“T-Circle”,并说明理由.
设 ，
(2)若 的各项全不相等,且可围成“T-Circle”，写出 的取值（不必证明），并写出一个满足条
若 ，则 即为 ，故 ，从而 ， ，
件的数列.
而 ，故 ，故 ，故 ，从而 ，
(3)若 的各项不全相等,且可围成“T-Circle”，求 的取值集合.
此时 均为1，与题设矛盾.
解：（1）由定义可得 ，而 为正项数列，故 ，
若 ，则 即为 ，而 ，
故 ，
，故 ，此时 均为1，与题设矛盾.
由最后两式可得 ，故 ，故 且 ，
若 ，则 即为 ，而 ，所以 ，故 ，
结合 可得 即 ，故 ，故 . 从而 ，
故存在 ，使得数列 可围成“T-Circle”,此时数列 为： . 而 ，故 ，故 ，
此时 均为1，与题设矛盾.
（2） ，满足条件的一个数列为
若 ，则 即为 ，而 ，所以 ，
（3）（i）若 的各项不全相等,且可围成“T-Circle”．
而 ，故 ，故 ，故 ，
结合 为正项数列可得 ，
诸式相乘后可得 ， 故 ，故 ，故 ，
又上述关系式即为 (若下标大于 ，则取下标除以 的余数). 此时 均为1，与题设矛盾.若 ，则 ，故 ，
故 ，故 ，故 ，故 ，故 ，
此时 均为1，与题设矛盾.
综上，
