文档内容
2025 年秋期高中二年级期中质量评估
数学试题
注意事项：
1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳
素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.(P25改编）直线l经过点A(0,2),B(3,-1)，则直线l的倾斜角为
π π π 3π
A. B. C. D.
6 4 3 4
2．过点（-2,1）和（1,4）的直线方程为
A.x+y-1=0 B.x-y+2=0
C.x+y+2=0 D.x-y+3=0
3.(P19改编）已知两条不重合的直线l :ax+2y−1=0和l :x+(a+1)y−1=0,a∈R.若l //l ，
1 2 1 2
则a=
2
A.-2或1 B.-2 C.1 D.−
3
2
4.(P68改编）双曲线C的一条渐近线方程为y= x，且经过点(3❑√2,2)，则双曲线C的离心率
3
为
❑√13 3❑√5 3❑√13 ❑√5
A. B. C. D.
3 5 13 3
1
5.(P75改编）若抛物线y= x2上的点P(m,n)(m>0)到其焦点F的距离为3，则实数m的值为
4
A.2 B.3 C.2❑√2 D.D.3❑√2
6．过点P(1,1）的直线l与圆O:x2+ y2=4相交，当截得的两条圆弧之差最大时直线l的方程为
A.y=-x+2 B.y=1
1 4
C.y=x D.y=− x+
3 3
7．已知点A(4,5)，点B在x轴上，点C在直线l:y=2x+2上，则ΔABC周长的最小值为
A.❑√10 B.2❑√10 C.3❑√10 D.4❑√10
x2 y2
8．椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F F ，A 为左顶点，P 为椭圆 C 上一点，且
a2 b2 1 2
→ → → → π
PF ⋅PA=0,⟨F A,F P⟩= ，则椭圆C的离心率为
2 2 2 31 ❑√3−1 2
A. B. C. D.❑√3−1
3 2 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若直线y=x-2被圆(x−a) 2+ y2=4所截得的弦长为2❑√2，则实数a的值为
A.-2 B.0 C.❑√3 D.4
10.(P27改编）已知三条直线l,m,n的倾斜角分别为α,β,γ，斜率分别为k ,k ,k ，且k 0)，平面内到F ,F 的距离之积为a2的动点P(x,y)的轨迹为双纽线.则下
1 2 1 2
列说法正确的是
A.双纽线有对称中心和对称轴
B.双纽线的方程是(x2+ y2
)
2=2a2 (x2−y2
)
C.|PF |+|PF |的最大值为2a
1 2
a2
D.ΔPF F 面积的最大值为
1 2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知A(x ,y ),B(x ,y )是直线l:y=kx+1上的两点，若|x −x |=3，且|AB|=6，则
1 1 2 2 2 1
k=
13．过点P(1,2）的直线l与双曲线C：
x2
−y2=交于A,B两点，若
A
→
B=2A
→
P
，则直线l的方程为
4
14．已知圆C:(x−1) 2+(y−1) 2=3，点 N(0,-3)，点 A 为直线 l:x=-1 上的动点，过点 A 作圆 C 的切
线，切点为M，则|AM|+|AN|的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(13分）已知A(1,4),B(-2,-1),C(4,1)是ΔABC的三个顶点.
（1）求BC边上的高所在直线的方程；
（2）求证：ΔABC的三条高交于一点．
16.(15分）已知直线l过点A(1,4）且在x轴和y轴上的截距分别为m和n．
（1）若2m=n，求直线l的方程；
（2）若P(0,-5)，直线 l 分别与 x轴正半轴和 y轴正半轴交于点 M,N，当 ΔPMN 的面积最小时，求直线l的方程.
17.(15分）已知圆C经过点A(1,3）和B(4,2)，且圆心C在直线x+y-3=0上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知直线l的方程为y=3x+m.
（i）若直线l与圆C相切，求实数m的值；
（ii）若直线l与圆C相交于M、N两点，当四边形AMBN的面积最大时，求实数m的值.
18.(17分）已知动圆P过点F (❑√3,0)，且与圆F :(x+❑√3) 2+ y2=16内切.
2 1
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若点 E(1,0)，直线 l:y=x+m 与 C 相交于 A、B 两点，是否存在实数 m，使|EA|=|EB|?
若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由.
19.(17分）已知抛物线E:x2=4 y，直线m过点M(0,4）且与抛物线E相交于A、B两点，直线
OA、OB分别与抛物线的准线l相交于C、D两点.
1 3
（1）若点P是抛物线 y= x2+ 上任意一点，点P在直线l上的射影为Q，
10 2
求证：|PQ|=|PM|
（2）求证：以AB为直径的圆过坐标原点；
（3）求|CD|的最小值.
