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龙东十校联盟高二学年度上学期期中考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 已知一组数据为 ，则这组数据的上四分位数为（ ）
A. B. C. D.
2. 双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，各人能破译的概率分别是 ，则密码破译的概率是
（ ）
A. B. C. D.
4. 若椭圆 的两个焦点分别是 ， ，椭圆 上一点 到两焦点距离之和等于 ，则该
椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知两直线 ， ，若 ，则 （ ）
或 B. C. D. 或
A.
6. 已知椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，线段 的垂直平分线与 交于 两点，
则 的周长是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知圆 与圆 相离，且直线 被圆 截得的
弦长为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，
2
从 发出的光线经过图 中的 两点反射后，分别经过点 和 ，且 ， ，
则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，事件 为“点数为偶数”，事件 为“点数是
或 ”，事件 为“点数大于 ”，下列说法正确的是（ ）
A． 和 是互斥事件 B． 和 是相互独立事件
． D．
C
10. 已知平面上两点 ，则所有满足 的点 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希
腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 中两点 ， ，点
满足 ，设点 所构成的曲线为 ，则（ ）
A．曲线 的方程为B．曲线 上的点的到直线 的最小距离为
C．曲线 上任意点 ，则 的最大值为
曲线 上任意点 ，则 的取值范围为
D．
11. 已知点 ，直线 ，且动点 到点 的距离是点 到直线 的距离的一半.若某直线
上存在点 使得点 到点 的距离是点 到直线 的距离的一半，则称该直线为“最远距离直线”，
下列结论中正确的是（ ）
A．点 的轨迹方程是
B．直线 是“最远距离直线”
C．平面上有一点 ，则 的最大值为
D．点 的轨迹与圆 是没有交汇的轨迹（也就是没有公共点）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组样本数据 的标准差为 ，则数据 的方差为 ________.
13. 直线 被圆 截得的弦长最短为________.
14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与
椭 圆 的 中 心 重 合 ， 半 径 的 平 方 等 于 椭 圆 长 半 轴 长 和 短 半 轴 长 的 平 方 和 . 已 知 椭 圆
及其蒙日圆 ，且椭圆 的离心率为 ，点 分别为蒙日圆 与
坐标轴的交点， 分别与 相切于点 ，则四边形 与四边形 的
面积的比值为______．
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别
从包含 道传统文化题和 道数学历史题的题袋中随机抽取 道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等.
（1）求甲抽到的 道题中恰好是 道传统文化题和 道数学历史题的概率；
（2）若甲答对每道题的概率均为 ，乙答对每道题的概率均为 ，且两人答题是否正确相互独立，
求甲、乙两人答对题目总数不少于 道的概率.
16.（本小题满分15分）
某地区有小学生 人，初中生 人，高中生 人，教育局组织“人工智能科普”网络知
识问答，现用分层抽样的方法从中抽取 名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率
分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
（2）成绩位列前 %的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科
普达人”的成绩至少为多少分；
（3）已知落在 内的平均成绩为 ，方差是 ，落在 内的平均成绩是 ，方差是 ，求落在 内的平均成绩和方差.
附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为： .记两组数据总体样本
平均数为 ，则总体样本方差
17.（本小题满分15分）
已知 表示圆 的方程．
（1）求实数 的取值范围；
（2）当圆 的面积最大时，求过点 的圆的切线方程．
18.（本小题满分17分）
已知椭圆 的左、右焦点分别 ，左、右顶点分别为 ，若______．
请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答.（若都选择，则按照第一个解答给分）
① ， ．
②椭圆 长轴长为 ，焦距为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作两条互相垂直的弦与椭圆 相交于 两点.当点 变化时，直线 是否过定点？
若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.19.（本小题满分17分）
在平面内，若直线 将多边形分为两部分，多边形在 两侧的顶点到直线 的距离之和相等，则称
为多边形的一条“等线”，已知 为坐标原点，双曲线 的左、右焦点分
别为 ，双曲线 的离心率为 ，点 为 右支上一动点，直线 与双曲线 相切于点 ，且与
的渐近线交于 两点，当点 在第四象限且 轴时，直线 为 的等线.
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若 是四边形 的等线，求四边形 的面积；
（3）设 ，点 的轨迹为曲线 ，证明: 在点 处的切线 为 的等线.
