湖北省沙市中学2023-2024学年高二下学期7月月考数学试题+答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_0801湖北荆州沙市中学2025届（新）高三上学期7月月考

2023-2024 学年度下学期 2022 级 7 月月考数学试卷 命题人：镇祥平 审题人：冷劲松 考试时间：2024年7月26日 一、单选题 1．已知m为实数，若复数z= ( m2−4 ) +(m+2)i为纯虚数，则复数z的虚部为（ ） A．2 B．−2i C．4 D．−4i 2．命题p:∃x ∈(0,+∞)，使得x2−λx +1<0成立.若p为假命题，则λ的取值范围是（ ） 0 0 0 A． {λλ≤2 } B． {λλ≥2 } C． {λ−2≤λ≤2 } D． {λλ≤−2或λ≥2} 3．质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然 数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5，5和 7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两 个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则P(B|A)=（ ） 10 9 13 41 A． B． C． D． 11 11 15 45          4．已知两个非零向量a，b 满足 a+b = a−b ，则 a+b 在b 上的投影向量为（ ）   1  1  A．−b B．b C． b D． − b 2 2 5．设a=log 2，b=log 3，c=0.60.2，则（ ） 5 25 A．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．a>c>b 6．已知 f (x)，g(x)是定义域为R的函数，且 f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足 g(x )−g(x ) f (x)+g(x)=ax2+x+2，若对任意的1−3成立，则实数a的 1 2 x −x 1 2 取值范围是（ ）  3   3   3  A．[ 0,+∞) B．  − ,0  C．− ,+∞ D．  − ,+∞  4   4   4  1 学科网（北京）股份有限公司2 x2 y2 7．设F,F 分别是离心率为 的椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点，过点F的直线交椭 1 2 2 a2 b2 1 圆C于A,B两点，且 AF =3 FB ，则cos∠AFB=（ ） 1 1 2 1 2 2 3 A． B． C． D． 5 5 5 5 8．已知b是a,c的等差中项，直线axbyc0与圆x2+y2+4y−1=0交于A,B两点，则 AB 的 最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．2 5 二、多选题 9．已知a>0,b>0，且a+b=1，则（ ） 1 2 A．ab的最小值是 B．2a2+b2最小值为 4 3 1 2a C． a+ b的最大值是 2 D． + 的最小值是1+ 2 a b  π 10．关于函数 f (x)=2sin2x− +1，下列结论正确的是（ ）  3 π  A． ,0是 f (x)的一个对称中心 6   π B．函数 f (x)在0, 上单调递增  6 5π C．函数 f (x)图像可由函数g(x)=2cos2x+1的图像向右平移 个单位得到 12  π π D．若方程2f (x)−m=0在区间  ,  上有两个不相等的实根，则m∈  2 3+2,6  12 2 11．在正方体ABCD−ABCD 中，E,F,G分别为BC,CC,BB 的中点，则下列结论正确的是 1 1 1 1 1 1 （ ） A．直线DD与EF所成的角为30 1 B．直线AG与平面AEF平行 1 1 C．若正方体棱长为1，三棱锥A −AEF的体积是 1 12 D．点B 和B到平面AEF的距离之比是3∶1 1 2 学科网（北京）股份有限公司三、填空题 12．已知x,x 是方程x2−(k−2)x+k2+3k+5=0(k∈R)的两个实数根，则x2+x2的最大值 1 2 1 2 为 . 13．已知圆锥的顶点S和底面圆周都在球O的球面上，且母线长为2，A,B为其底面圆周上的两 点，若△SAB面积的最大值为 3 ，则球O的表面积为 ． x2 14．椭圆C： +y2 =1的左、右焦点分别为F、F ，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点， 1 2 4 连接PF、PF ，设∠FPF 的平分线PQ交椭圆C的长轴于点Q(m,0)，则m的取值范围 1 2 1 2 为 ． 四、解答题 a 1 15．（13分）已知数列{a }满兄a = n ，a = ，数列{b }的前n项和为S ，且 n n+1 a +1 1 2 n n n 2S =3n+1−3． n （1）求数列{a }，{b }的通项公式， n n  1  （2）求数列 的前n项和为T ． a b  n n n 16．（15分）某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男 教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． （1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； （2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望E(X)； （3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活 1 动，且选择参加1项或2项的可能性均为 ，每名男教师至少从中选择参加2项活 2 1 动，且选择参加2项或3项的可能性也均为 ，每人每参加1项活动可获得“体育明星” 2 3 学科网（北京）股份有限公司积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的 期望E(Y)． 17．（15分）在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥ AD,AB= AD=8,PA=6，平面 PBC⊥平面PAC,M,N分别为PB,PD的中点． （1）证明：MN //平面ABCD． （2）证明：BC ⊥ AC． 5 3 （3）若二面角C−PB−A的正切值为 ，求三棱锥C−PAD 3 的体积． x2 y2  2 18．（17分）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F，点P  1,   在椭圆C上．且离心 a2 b2  2  2 率为 ． 2 （1）求椭圆C的方程； （2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求△ABF 面积的最大值． ex 19．（17分）已知函数 f (x)= −lnx+x−a. x （1）当a=1，求函数y= f (x)的图象在点( 1, f (1))处的切线方程； （2）若 f(x)≥0恒成立，求a的取值范围； （3）证明：若 f (x)有两个零点x,x ，则xx <1. 1 2 1 2 4 学科网（北京）股份有限公司7 月月考数学答案 1．C 2．A 3．A 4．B 5．B 6．D 7．D 8．C 9．BC 10．BC 11．BCD 16π  3 3 12．18 13． 14．− ,  3  2 2 1 5 1 1 n+1 15．(1)a = ，b =3n (2)T = −  +  n n+1 n n 4 3n−14 6  a 1 1  1  1 【详解】（1）a n+1 = a n + n 1 ， a n+1 = a n +1，∴数列 a n   是以 a 1 =2为首项，1为公差的等差数 列， ∴ 1 = 1 +(n−1)=2+n−1=n+1，∴a = 1 ；2S =3n+1−3， a a n n+1 n n 1 当n=1时，2S =31+1−3=6，即b =S =3，当n≥2时，2S =3n −3，所以 1 1 1 n−1 2b =2S −2S =3n+1−3− ( 3n−3 ) =2⋅3n，即b =3n，当n=1时，b =3=31，∴b =3n； n n n−1 n 1 n 1 n+1 （2）由（1）得 = a b 3n n n 1+1 2+1 3+1 (n−1)+1 n+1 1 1+1 2+1 (n−1)+1 n+1 ∴T = + + +⋅⋅⋅+ + ， T = + +⋅⋅⋅+ + ， n 3 32 33 3n−1 3n 3 n 32 33 3n 3n+1 1 1  1−  2 2  1 1 1  n+1 2 9 3n−1 n+1 5 1 1 n+1 作差可得 3 T n = 3 + 32 + 33 +⋅⋅⋅+ 3n   − 3n+1 = 3 + 1 − 3n+1 ，∴T n = 4 − 3n−1  4 + 6   . 1− 3 16．(1) 8 (2)分布列及期望见解析. (3)E(Y)=13 9 【详解】（1）设“有女教师参加活动”为事件A，“恰有一名女教师参加活动”为事件B， 8 则P(AB)= C1 4 C1 2 = 8 ，P(A)= C1 4 C1 2 +C2 2 = 3 ，所以P(B|A)= P(AB) = 15 = 8 . C2 15 C2 5 P(A) 3 9 6 6 5 CkC2−k （2）依题意知X 服从超几何分布，且P(X =k)= 2 4 (k =0,1,2) C2 6 5 学科网（北京）股份有限公司C2 2 C1C1 8 C2 1 P(X =0)= 4 = ，P(X =1)= 4 2 = ，P(X =2)= 2 = ， C2 5 C2 15 C2 15 6 6 6 所以X 的分布列为： X 0 1 2 2 8 1 P 5 15 15 2 8 1 2 E(X)=0× +1× +2× = . 5 15 15 3 （3）设一名女教师参加活动可获得分数为X ，一名男教师参加活动可获得分数为X ，则X 的 1 2 1 1 所有可能取值为3,6，X 的所有可能取值为6,9，P(X =3)=P(X =6)= ， 2 1 1 2 1 1 9 E(X )=3× +6× = ， 1 2 2 2 1 1 1 15 P(X =6)=P(X =9)= ，E(X )=6× +9× = ，有X 名女教师参加活动，则男教师有 2 2 2 2 2 2 2 9 15 2−X 名参加活动，Y = X + (2−X)=15−3X ，所以 2 2 2 E(Y)=E(15−3X)=15−3E(X)=15−3× =13. 3 即两个教师得分之和的期望为13分. 17 (3)48【详解】（1）如图，连接BD． 因为M,N分别为PB,PD的中点，所以MN为△PBD的中位线，则 MN∥BD． 因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD，所以MN //平面ABCD． （2）如图，过A作AH ⊥PC交PC于H． 因平面PBC⊥平面PAC，平面PBC∩平面PAC =PC，AH⊂平面PAC，故AH⊥平面 PBC．因为BC⊂平面PBC，所以AH ⊥BC．因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD，所以 PA⊥BC．因为PA∩AH = A，所以BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，所 以BC ⊥ AC． （3）如图3，过C作CF⊥AB交AB于F，过F作FE⊥PB交PB于E，连接 CE．因PA⊥平面ABCD，CF ⊂平面ABCD,则CF⊥PA,因 AB∩PA= A,AB,PA⊂平面PAB,故得CF ⊥平面PAB.因PB⊂平面PAB,则 CF ⊥PB．因为FE⊥ PB,FECF =F，FE,CF ⊂平面CEF,所以PB⊥平面 CEF.又CE⊂平面CEF，则PB⊥CE，则∠FEC即为二面角C−PB−A的平面 FC 5 3 角，依题意，tan∠FEC = = ．设EF =3x，则FC =5 3x．因为 EF 3 6 学科网（北京）股份有限公司BF EF BF 3x AB=8,PA=6，所以PB=10．由△BEF∽△BAP，得 = ，即 = ，则 PB PA 10 6 BF FC 5x 5 3x BF =5x,AF =8−5x．又由△BFC∽△CFA，得 = ，即 = ，解得 CF FA 5 3x 8−5x 2 2 1 1 x= ．AF =8−5× =6,因CF//AD,则ACD的面积为 ×AD×AF = ×8×6=24，故 5 5 2 2 1 V =V = ×6×24=48． C−PAD P−CAD 3 x2 2 18．(1) +y2 =1 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 2 4 c 1 【详解】（1）因为椭圆离心率为 = ，则a= 2c,a2 =b2 +c2 =2c2,b2 =c2， a 2  2  2 1 1 1 1 点P1, 在椭圆C上，点P1, 代入椭圆方程，有 + = + =1,b2 =1，则   2     2   a2 2b2 2b2 2b2 x2 a2 =2，所以椭圆C的方程为 +y2 =1. 2 y=kx+m  （2）（ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m，由x2 ，消去y，整理  +y2 =1  2 得 ( 1+2k2) x2+4kmx+2m2−2=0，因为l交椭圆C于A,B两点，所以 Δ=8 ( 2k2−m2+1 ) >0，设A(x,y ),B(x ,y )，所以 1 1 2 2 4km 2m2−2 x +x =− ,xx = ，因为直线AF 和直线BF关于PF对称，PF ⊥x轴， 1 2 1+2k2 1 2 1+2k2 y y kx +m kx +m 2kxx +(m−k)(x +x )−2m 所以k +k = 1 + 2 = 1 + 2 = 1 2 1 2 =0， AF BF x −1 x −1 x −1 x −1 (x −1)(x −1) 1 2 1 2 1 2 2m2−2 −4km 所以2kxx +(m−k)(x +x )−2m=2k× +(m−k)× −2m=0， 1 2 1 2 1+2k2 1+2k2 所以4km2 −4k−4km2 +4k2m−4mk2 −2m=0，解得m=−2k.所以直线l的方程为 y=kx−2k =k(x−2)，所以直线l过定点(2,0) .  x=ny+2  （ⅱ）由题意知l斜率不可能为0,设直线l的方程为x=ny+2，由x2 ，消去x，整理得  +y2 =1  2 ( n2+2 ) y2+4ny+2=0，因为l交椭圆C于A,B两点，所以Δ′=(4n)2−8 ( n2+2 ) =8 ( n2−2 ) >0， 7 学科网（北京）股份有限公司4n 2 解得n2 >2，则y +y =− ,y y = ，由题意可知y ,y 同号，不妨设 y > y ， 1 2 n2+2 1 2 n2+2 1 2 1 2  4n  2 2 2 2 n2−2 所以 y − y = y −y = (y +y )2−4y y = −  −4× = ， 1 2 1 2 1 2 1 2  n2+2 n2+2 n2+2 所以S = 1 ×1×( y − y )= 1 ×1× y −y = 1 × 2 2 n2−2 = 2 n2−2 ABF 2 1 2 2 1 2 2 n2+2 n2+2 t 1 1 2 令n2−2=t,(t>0)则 S ABF = 2× (t+4)2 = 2× t+ 16 +8 ≤ 2× 2 16+8 = 4 ，当且仅当 t 2 t=4即n2 =6时取等号，所以△ABF 面积的最大值为 . 4 19．(1)y=e (2)(−∞,e+1] ex 【详解】（1）当a=1， f (x)= −lnx+x−1， x 1 1  1 1 1  1 x−1ex  f′(x)= − ex− +1= 1− ex +1− =  +1，因为 f (1)=e, f′(1)=0，所以函数 x x2  x x x  x x  x  y= f (x)的图象在点 ( 1, f (1)) 处的切线方程为y=e. x−1ex  （2） f(x)的定义域为(0,+∞)，则 f′(x)=  +1，令 f′(x)=0,得x=1 当 x  x  x∈(0,1), f′(x)<0, f(x)在(0,1)上单调递减，当x∈(1,+∞), f′(x)>0, f(x)在(1,+∞)上单调递增， f(x)≥ f(1)=e+1−a， 若 f(x)≥0,则e+1−a≥0,即a≤e+1，所以a的取值范围为(−∞,e+1]. （3）由题知, f (x)一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设x 1x ，要证xx <1,即证 1 2 1 2 1 x < ， 1 x 2 1  1   1  因为x, ∈(0,1),即证 f (x )> f  ，又因为 f (x )= f (x ) ,故只需证 f (x )> f  ，即证 1 x 1 x  1 2 2 x  2 2 2 ex 1 1 ex 1  1 1 −lnx+x−xex −lnx− >0,x∈(1,+∞)，即证当x>1时，有 −xex −2lnx− x−  >0成 x x x  2 x 立， ex 1 1 1 ex 1 下面证明x>1时， −xex >0,lnx− x− <0，设g(x)= −xex,x>1，则 x 2 x x 8 学科网（北京）股份有限公司1 1   1 1  1  1 1 1 1 g′(x)= − ex−ex +xex⋅− = 1− ex−ex1−  x x2    x2  x x  x  1ex 1 x−1ex 1 ex 1 1  x−1 =1−  −ex=  −ex，设ϕ(x)= (x>1),ϕ′(x)= − ex = ex >0，所以  x x  x  x  x x x2  x2 ϕ(x)>ϕ(1)=e，而 e 1 x 0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(1,+∞)单调递增，即 x ex 1 1 1 g(x)>g(1)=0，所以 −xex >0，令h(x)=lnx− x− ,x>1， x 2 x 1 1 1  2x−x2−1 −(x−1)2 h′(x)= − 1+ = = <0，所以h(x)在(1,+∞)单调递减，即 x 2 x2  2x2 2x2 1 1 ex 1  1 1 h(x)0，所以xx <1. 2 x x  2 x 1 2 9 学科网（北京）股份有限公司