文档内容
莆田一中2024-2025学年下学期高二期中考数学试卷
选择性必修2、3
一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是符合要求的）
1．下列求导结果正确的是（ ）
( π) ， π
A． B． cos =-sin
6 6
C． D．
2．某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报
其中一个运动队，则不同的报法种数是（ ）
A． B． C． D．
3．在 展开式中， 的系数为（ ）
A．10 B．90 C．270 D．405
4．某网红奶茶店“Chill Tea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店.根据平台数据，顾客
选择 、 、 店的概率分别为30%、50%、20%.已知各分店高峰期制作时间超过15分钟
的概率分别为： 店20%、 店40%、 店30%.若小明随机选择一个分店下单，他等待超
过15分钟的概率是（ ）
A．28% B．32% C．35% D．40%
5．关于函数f (x)=xe-x说法正确的是（ ）
A．没有最小值，有最大值B．有最小值，没有最大值
C．有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值
6．已知直径为12的球内有一内接圆柱（圆柱上下底面圆在球面上），则圆柱体积的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
7．运动会期间，将甲、乙等6名志愿者安排到 ， ， 三个场地参加志愿服务，每名志
愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到
同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．78 B．126 C．150 D．168
8．已知直线 与曲线 相交于A，B两点，与曲线 相交于B，C点，A，
B，C的横坐标分别为 ，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若x10=a +a (x+1)+a (x+1) 2+...+a (x+1) 10 ，则（ ）
0 1 2 10
A．a =-1 B．a =45
0 2
C．a +a +...+a =1 D．|a |+|a |+|a |+...+|a |=1024
1 2 10 0 1 2 10
10．设 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则下
列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．11．已知曲线 与曲线 相交于不同两点 ，曲线
在A，B点处切线交于点 ，设 ，则
（ ）
A． B．存在a值，使得 有极大值
C．对任意满足题意的a值， 有极小值 D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．有6张卡片，分别标有数字 ，现从这6张卡片中随机抽出2张，则抽出的2
张卡片上的数字之和等于5的概率为 ．
13．若函数 在 上存在单调递减区间，则实数 的取值范围为
k
14．若曲线y= 与曲线 有三条公切线，则 的取值范围是 .
x
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.
16．已知等差数列 满足： ， ， 为其前 项和， .
（1）求数列 的通项公式 、前 项和 ；
S
（2）令b = n ，求b 的最大值
n 2n n17．已知函数f (x)=ex-1-ax，(aϵR)．
求函数f (x)的最小值；
若a=0，m≤1，证明f (x)>ln(x+m)
18．某高校有A，B两个餐厅为学生们提供午餐与晚餐服务，张同学、李同学两人每天午
餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚
餐）
张同学 6天 9天 13天 2天
李同学 6天 6天 6天 12天
假设张同学，李同学选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)计算某天张同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率；
(2)记X为张同学和李同学两人在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 ；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，已知
，且推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率比不推出优惠套餐的情况下
去该餐厅就餐的概率大，求证： ．
19．已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 有3个零点 ， ， ，其中 .
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）求证： .参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B B C A C B
二、多选题
题号 9 10 11
答案 BD ACD ACD
三、填空题
12．
【详解】从6张卡片中随机抽出2张，则样本空间中总的样本点数为 ，
其中抽出的2张卡片上的数字之和等于5的组合有1，4或2，3共2种，
所以抽出的2张卡片上的数字之和等于5的概率为 ．
故答案为： .
13．
【详解】依题意， 在区间 上有解，
即 在区间 上有解，
设 ，则 ，故只需求 在 上的最小值，
而 在 时，取得最小值 ，故得 ，
则实数 的取值范围为 .
故答案为：
14．
【详解】设公切线为 是 与 的切点，由 ，得 ，
设 是 与 的切点，由 ，得 ，
所以 的方程为 ，因为 ，整理得 ，
同理 ，因为 ，整理得 ，
依题意两条直线重合，可得 ，
消去 ，得 ，由题意此方程有三个不等实根，设 ，
即直线 与曲线 有三个不同的交点，
因为 ，令 ，则 ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以 有极小值为 ， 有极大值为 ，
因为 ， ， ，所以 ，
当 趋近于 时， 趋近于0；当 趋近于 时， 趋近于 ，
故 的图象简单表示为下图:
所以当 ，即 时，直线 与曲线 有三个交点，
故答案为：
四、解答题
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：在长方体 中， 平面 ， 平面
，∴ ，
∵ ， ， ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵ ，则 ， ， ， ， ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
∵ ，且 ， ， 平面 ，∴ 平面 ，
∴平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量 ，由 ， ，
得 ，取 ，得 ， ，∴ ，∴ ，∴二面角 的正弦值为 .
9
16、（1） ，S =n2 ；（2）
n 8
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以， .
n(n+1)d
所以S =na + =n2
n 1 2
n2
（2）b =
n 2n
n2 (n-1) 2
b ≥b 得到 ≥
n n-1 2n 2n-1
n2 (n+1) 2
b ≥b 得到 ≥
n n+1 2n 2n+1
{n2-4n+2≤0
合并得到
n2-2n-1≥0
所以1+√2≤n≤2+√2， ，所以n=3
9
b =
max 8
17
函数的解析式为f (x)=ex-1-ax,则:,f ’(x)=ex-1-a
①当a≤0时f ’(x)>0恒成立,函数 单调递增，无最值
②当a>0时，令f ’(x)=0，ex-1=a，则x=lna+1
当xϵ(-∞，lna+1)，f ’(x)<0函数 单调递减
当xϵ(lna+1，+∞)，f ’(x)>0函数 单调递增
在x=lna+1处取最小值。f (lna+1)=-alna函数f (x)的最小值为-alna
若a=0时，f (x)=ex-1
需要证明ex-1>ln(x+m)
又ex-1>x，x+m-1ln(x+m)
只需要证明x>x+m-1
又因为m≤1，所以x≥x+m-1
当m=1，x=0带入，不等式成立。
所以f (x)>ln(x+m)
18．(1)
(2)分布列见详解，
(3)证明见详解
【详解】（1）设事件C为“某天张同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐”，
因为30天中张同学午餐去A餐厅用餐的天数为 ，
午餐去A餐厅用餐且晚餐去B餐厅用餐的天数为 ，
所以 ．
（2）由题意可知：X的所有可能取值为1和2，
所以 ，
，
所以X的分布列为
X 1 2
P
X的数学期望 ．
（3）由题知 ，则
可知 ，
可得 ，
即 ，
所以 ，即
19．(1)单调递增区间为 ，无单调递减区间.
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析【详解】（1）当时 ， ， ，
则 在 恒成立，所以 在 单调递增，
故 的单调递增区间为 ，无单调递减区间.
（2）（ⅰ） ，
， ，则 除1外还有两个零点.
，令 ，
当 时， 在 恒成立，则 ，
所以 在 单调递减，不满足，舍去；
当 时，要是 除1外还有两个零点，则 不单调，
所以 存在两个零点，所以 ，解得 ，
当 时，设 的两个零点为 ，则 ， ，
所以 .
当 时， ， ，则 单调递增；
当 时， ， ，则 单调递减；
当 时， ， ，则 单调递增；
又 ，所以 ， ，
而 ，且 ，
，且 ，
所以存在 ， ，使得 ，
即 有3个零点 ， ， .
综上，实数 的取值范围为
（ⅱ）因为 ，
所以若 ，则 ，所以 .当 时，先证明不等式 恒成立，设 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，于是 ，
即当 时，不等式 恒成立.
由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
两边同除以 ，
得 ，
所以 ，
