第04讲空间向量及其运算的坐标表示（思维导图+3知识点+8考点+过关检测）（解析版）_2024-2025高二（7-7月题库）_0708暑假自学课2024年新高二数学暑假提升精品讲义7.10新增

第 04 讲 空间向量及其运算的坐标表示 模块一 思维导图串知识 1．了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示； 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 2．掌握空间向量运算的坐标表示； 模块三 核心考点举一反三 3．掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用； 模块四 小试牛刀过关测 4．掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运 用公式解决问题. 知识点 1 空间直角坐标系 1、空间直角坐标系的定义：在空间选定点 和一个单位正交基底 ，以点 为原点，分别以 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴. 轴、 轴，它们都叫作坐标轴．这时我们 就建立了一个空间直角坐标系 ， 叫作原点， 都叫作坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫 作坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分． 2、右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方 向，若中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们建立的坐标系都 是右手直角坐标系． 知识点 2 空间向量的坐标表示 1、空间中点和向量的坐标的定义：在空间直角坐标系 中 为坐标向量，对空间任意一点 ，对 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司应一个向量 ，且 点的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使 ． 在单位正交基底 下与向量 对应的有序实数组 ，叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，记作 ． 也叫点 在空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点 的横坐标， 叫做点 的纵坐标， 叫做点 的竖坐标． 2、几类特殊位置的点的坐标 （1） 轴上的点的坐标为 （2） 轴上的点的坐标为 （3） 轴上的点的坐标为 （4） 平面内的点的坐标为 （5） 平面内的点的坐标为 （6） 平面内的点的坐标为 3、空间中点的对称点的坐标：设点 为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点 关于原点对称的点是 （2）与点 关于 轴对称的点是 （3）与点 关于 轴对称的点是 （4）与点 关于 轴对称的点是 （5）与点 关于 平面对称的点是 （6）与点 关于 平面对称的点是 （7）与点 关于 平面对称的点是 【注意】对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． 知识点 3 空间向量的坐标运算   1、空间向量的坐标运算：若a(x ,y ,z )，b(x ,y ,z )，则： 1 1 1 2 2 2   （1）ab(x x ,y  y ,z z )； 1 2 1 2 1 2   （2）ab(x x ,y  y ,z z )； 1 2 1 2 1 2 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 （3）a (x ,y ,z )(R)； 1 1 1   （4）ab x x  y y z z 1 2 1 2 1 2   2、空间向量平行和垂直：若a(x ,y ,z )，b(x ,y ,z )，则 1 1 1 2 2 2     （1）a//b ab x x ，y y ，(x y z 0) 1 2 1 2 2 2 2     （2）ab ab0 x x  y y z z 0 1 2 1 2 1 2   3、空间向量的长度、夹角公式：若a(a ,a ,a )，b(b,b ,b )，则 1 2 3 1 2 3 （1）|a  | a  a   a2 a 2 a 2 ，|b  | b  b   b2 b 2 b 2 ． 1 2 3 1 2 3    ab ab a b a b    cosa  b   1 1 2 2 3 3 (a  0,b 0) （2）   ． |a||b | a2 a 2 a 2  b2 b 2 b2 1 2 3 1 2 3 【注意】（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：           ab ab|a||b|cosab cosab    ，其中θ的范围是 |a||b| [0,]         （2） AC,BD  AC,DBCA,BDCA,DB. （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 4、空间两点的距离公式 若A(x ,y ,z )，B(x ,y ,z )，则 1 1 1 2 2 2    ①AB OBOA(x ,y ,z )(x ,y ,z ) (x x ,y  y ,z z ) 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．  2 ②| AB| AB  (x x )2 (y  y )2 (z z )2 ， 2 1 2 1 2 1 或d  (x x )2 (y  y )2 (z z )2 ． A,B 2 1 2 1 2 1 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司考点一：空间向量与点坐标的表示 例1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点 ，则点 坐标为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ， 则 ， 所以 ，解得 ， 所以点 坐标为 .故选：B. 【变式1-1】（23-24高二上·北京·期中）已知点 ， ， ，则点 的坐标为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ，则 ，又 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，解得 ，即 .故选：A 【变式1-2】（22-23高二上·云南临沧·月考）在平行六面体 中， ， 则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点 的坐标为 ，则由 ，得 ，解得 ， ，则点 的坐标为 ，故选：B. 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式1-3】（23-24高二上·青海海东·月考）（多选）如图，在长方体 中， ， ， ，点E在线段AO的延长线上，且 ，下列向量坐标表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】在空间直角坐标系 中， ， ， ， ， ， 对于A，因为 ， ，所以 ，故A不正确； 对于B，因为 ， ，所以 ，故B正确； 对于C，因为 ， ，所以 ，故C正确； 对于D，因为 ， ，所以 ，故D不正确. 故选：BC. 考点二：空间中点的对称问题 例2. （23-24高二下·四川绵阳·开学考试）在空间直角坐标系 中，点 关于原点对 称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点 关于原点对称的点的坐标为 ，故选：D. 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式2-1】（23-24高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系 中，点 关于x轴对称的点的坐标 为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点 关于x轴对称的点的坐标为 .故选：B 【变式2-2】（23-24高二上·河北石家庄·月考）点 关于平面 对称的点的坐标是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点 关于平面 对称的点的坐标是 .故选：B 【变式2-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）在空间直角坐标系中，点 关于 平面对称的点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在空间直角坐标系中，点 关于 平面对称点的坐标为 ．故选：A. 考点三：空间向量运算的坐标表示 例3. （23-24高二上·江西赣州·期中）在空间直角坐标系中，向量 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得： .故选：D. 【变式3-1】（23-24高二上·天津·期末）已知空间向量 ， ，则 （ ） 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意空间向量 ， ， 则 .故选：A. 【变式3-2】（23-24高二上·福建福州·期中）（多选）已知向量 ，则下列结论正 确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为 ，则 ，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误；故选：AC 【变式3-3】（23-24高二上·新疆·月考）已知 ， ， . (1)求 的值； (2) . 【答案】(1) ；(2) 【解析】（1）由 ， 可得 ， . ，故 （2） ， ， 可得 ， ， 故 考点四：空间向量平行的坐标表示 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司例4. （22-23高二上·河南平顶山·月考）已知 ，则下列向量中与 平行的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为 ，所以A不正确； 对于B，因为 ，所以B正确； 对于C，因为 ，所以C不正确； 对于D，因为 ，所以D不正确． 故选：B． 【变式4-1】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量 ，若 三点共线， 则 （ ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【解析】因为 三点共线，所以 与 共线，又向量 ， 所以 ，所以 ，所以 .故选：A 【变式4-2】（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量 ，若 ， 则实数 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， 因为 ，所以 ，解得 .故选：A. 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式4-3】（23-24高二上·广东江门·期中）已知向量 ， ，若 ，则 （ ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】因为 ， ， 所以 ， ， 因为 ， 所以 ，解得 ，故选：C 考点五：空间向量垂直的坐标表示 例5. （23-24高二上·北京·期中）已知向量 ，则 的位置关系是 （ ） A．垂直 B．平行 C．异面 D．不确定 【答案】A 【解析】因为向量 ， 所以 ，所以 ，故选：A. 【变式5-1】（23-24高二下·广西桂林·开学考试）下列四对向量中，垂直的是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【解析】对A，因为 ，故两向量不垂直，故A错误； 对B，因为 ，故两向量垂直，故B正确； 对C，因为 ，故两向量不垂直，故C错误； 对D，因为 ，故两向量不垂直，故D错误； 故选：B. 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式5-2】（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知 ， ，且 ，则 （ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为 ， ，且 ，所以 ， 解得 .故选：D 【变式5-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量 ， ，且 与 互相 垂直，则实数 等于 （ ） A． B． 或 C． 或 D． 或 【答案】C 【解析】 ， ， 由 与 互相垂直，有 ， 解得 或 ．故选：C． 考点六：空间向量夹角的坐标表示 例6. （23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知 ， ，且 ，则向量 与 的夹 角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 向量 ， ，由 ，得 ，解得 ， ， 因此 ，而 ，则 ， 所以向量 与 的夹角为 .故选：D 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式6-1】（23-24高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知点 ， ， ， 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意， ， ， 故 ， ， ， ．故选：A 【变式6-2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知 、 ，且 与 夹角为钝角， 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 、 ，且 与 夹角为钝角， 则 且 与 不反向， 若 ，则 ，解得 ， 若 与 反向，设 ，则 ，解得 ， 综上可得 的取值范围是 .故选：D 【变式6-3】（23-24高二上·广东珠海·月考）已知向量 ， ， ，若向 量 与 所成角为锐角，则实数 的范围是 . 【答案】 【解析】由向量 ， ，可得 ， 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为 ，可得 ，解得 ， 所以 ，所以 与 ， 又因为向量 与 所成角为锐角， 所以 ，解得 ， 若向量 与 共线，则 ，解得 ， 所以实数 的范围是 . 故答案为： . 考点七：空间向量模长的坐标表示 例7. （22-23高二上·云南临沧·月考）已知向量 ，则 （ ） A．5 B．12 C．13 D．17 【答案】C 【解析】因为向量 ，则 .故选：C. 【变式7-1】（23-24高二上·四川南充·期末）已知向量 ，则 ． 【答案】 / 【解析】由题意可得 ，所以 .故答案为： . 【变式7-2】（23-24高二上·广东惠州·月考）在空间直角坐标系中， ，点 关于y轴的对 称点为C，则 =（ ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】因点 关于y轴的对称点为 ， ， 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 ，故 .故选：C. 【变式7-3】（23-24高二上·江西·月考）已知 ， ，若点 共线，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点 共线，所以 与 共线， 所以 ，解得 ， ， 故 ， ， .故选：C. 考点八：投影向量的坐标表示 例8. （23-24高三下·上海浦东新·月考）空间向量 在 上的投影向量为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】与 方向相同的单位向量为 ， 由 ， ，则 ， ， 所以向量 在向量 上的投影向量为 .故选：A. 【变式8-1】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知空间向量 ，则向量 在坐标平面 上的投 影向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若 起点为原点，则终点为 ， 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司该点在平面 上投影坐标为 ， 所以向量 在平面 上的投影向量是 .故选：D 【变式8-2】（23-24高二下·河北邢台·月考）已知点 ，向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点 ，则 ，且 ， 所以 ， 则向量 在向量 上的投影向量为 .故选：C 【变式8-3】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知点 ，则向量 在 向量 上的投影向量的模为 . 【答案】 / 【解析】点 ， 故 ，所以 ， 所以向量 在向量 上的投影向量的模 . 一、单选题 1．（23-24高二上·广东揭阳·月考）在空间直角坐标系中，若 ， ，则点 的坐标为 （ ） A． B． C． D． 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】B 【解析】因为 ， ， 设 ，故 ， 故 ，解得 ， 故 .故选：B 2．（23-24高二下·重庆·期中）空间直角坐标系中，已知 ，则点 关于 平面的对称点的坐 标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得: 关于 平面的对称点的竖坐标和纵坐标不变，横坐标相反， 即所求的坐标为 .故选：B 3．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知向量 ，则 （ ） A． B． C．4 D．10 【答案】D 【解析】因为向量 ， 所以 ，故选：D 4．（23-24高二上·河南·月考）已知空间三点 ， ， ，则 与 的夹角为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ， ， ∴结合向量夹角范围易知： 与 的夹角为 ．故选：C. 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知向量 ，则 在 上的投影向量为 （ ） 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ， ∴ ， ， ∴ 在 上的投影向量为 ，故选：C. 6．（23-24高二上·河南开封·期中）设 ， ， ， ，且 ， ， 则 （ ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】因为 ， 且 ， 所以 ，解得 ， 所以 ， 又因为 ， 且 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，故选：D. 二、多选题 7．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知空间直角坐标系 中，点 ， ， ， 则下列各点在平面 内的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】 ， 不共线，设 为平面 内一点， 则 ， 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，由于 无解，所以 不在平面 内. ，由 ，解得 ，所以 在平面 内. ，由 ，解得 ，所以 在平面 内. ，由于 ，所以 在平面 内.故选：BCD 8．（23-24高二上·青海西宁·期中）向量 ，若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为 ，所以 ，由题意可得 ， 所以 ，则 ．故选：BC 三、填空题 9．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知 ，则 ． 【答案】 【解析】因为 ， 所以 .故答案为： . 10．（23-24高二上·山东聊城·期末）在空间直角坐标系 中，若点 关于平面 对称的点为 ，则点P的坐标为 . 【答案】 【解析】由题意知，在空间直角坐标系 中，点 关于平面 的对称点为 ， 又 ，所以 ，解得 ，所以点P的坐标为 . 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故答案为： . 11．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知 ，且 共面，则 ． 【答案】 /0.8 【解析】由题意知， 共面， 则存在实数 使得 ， 即 ， 所以 ，解得 .故答案为： . 四、解答题 12．（23-24高二下·江苏南京·月考）已知空间中三点 ， ， ，设 ， ． (1)若 ，且 ，求向量 ； (2)已知向量 与 互相垂直，求 的值； (3)若点 在平面 上，求 的值． 【答案】(1) 或 ；(2) ；(3) 【解析】（1） ，设 ， 因为 ，而 ，所以 ； 故 或 （2） ， ， ， 由 与 互相垂直得： ， 解得 . （3）点 在平面 上， ， ， ，解得： . 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司13．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点， ． (1)求 ； (2)若点P为直线OC上一动点，求 的最小值． 【答案】(1) ；(2) 【解析】（1）由题意可知 ， 所以 ， 则 ； （2）由题意可设 ，则 ， 易知 ， 所以 ， 当 时， 取得最小值 . 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司