文档内容
第一章：空间向量与立体几何综合检测卷
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．（23-24高二上·河北保定·期末）在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点坐标为 ，故选：A
2．（23-24高二上·福建福州·月考）已知四面体 ， 是 的中点，连接 ，则
＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，四面体 ， 是 的中点，
因为 是 的中点，所以
所以 .故选：A.
3．（23-24高二上·四川德阳·期末）已知空间向量 ， ，若 ，则
（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．4
【答案】C
【解析】因为 ， ，则 ，
由 可得： ，解得： ，则 .故选：C.
4．（23-24高二上·北京·期中）已知点 ， 为坐标原点，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，即 ，
所以 ，所以 ，故选：D.
5．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，在平行六面体 中， 为 的交点.若
，则向量 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图知， ，
即 .故选：C
6．（22-23高二上·云南临沧·月考）若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A， ，所以 三个向量共面，排除；
对于B， ，所以 三个向量共面，排除；
对于D， ，所以三个向量共面，排除.故选：C.
7．（23-24高二上·河南焦作·月考）如图，过二面角 内一点 作 于 于 ，若
，则二面角 的大小为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 且 ，
因为 ，解得 ，
可得 ，
且 ，所以 ，
所以二面角 的大小为 ．故选：C.
8．（22-23高二上·江西南昌·期末）已知点 在 确定的平面内， 是平面 外任意一点，实数
满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，又点D在 确定的平面内， 是平面 外任意一点，
所以 ，即 ，
则 .故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（22-23高二上·云南临沧·月考）已知空间中三点 ，则正确的有（ ）
A． 与 是共线向量 B． 的一个单位向量是
C． 与 夹角的余弦值是 D．平面 的一个法向量是
【答案】BC
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】由题意知， ，
因为 ，所以 与 不是共线向量，即A错误；
的单位向量为 ，
所以 的单位向量为 或 ，即B正确；
，所以 与 夹角的余弦值为 ，即C正确；
设平面 的一个法向量为 ，则 即 ，
令 ，则 ，所以 ，即D错误,故选：BC.
10．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一组基底
B．已知向量 ，则 、 与任何向量都不能构成空间的一组基底
C． 、 、 、 是空间四点，若 、 、 不能构成空间的一组基底，则 、 、 、 共面
D．已知 是空间向量的一组基底，则 也是空间向量的一组基底
【答案】BCD
【解析】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错误；
对于B项，若 ，则 、 与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B正确；
对于C项，若 、 、 不能构成空间的一组基底，则 、 、 共面，
又 、 、 过相同的点 ，则 、 、 、 四点共面，故C正确；
对于D项，若 ， ， 共面，
则 ，可知 ， ， 共面，
与 为空间向量的一组基底相矛盾，故 ， ， 可以构成空间向量的一组基底.
故选：BCD.
11．（23-24高二上·山东滕州·月考）如图，四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，
， 、 分别是 的中点， 是棱 上的动点，则（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．
B．存在点 ，使 平面
C．存在点 ，使直线 与 所成的角为
D．点 到平面 与平面 的距离和为定值
【答案】ABD
【解析】根据已知条件，以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴
建立空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ，
， ， ， ；
由 是棱 上的动点，设 ， ，
因为 ， ，所以 ，
即 ，故A正确；
当 为 中点时， 是 的中位线，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故B正确；
， ，若存在点 ，
使直线 与 所成的角为 ，则 ，
化简得 ，无解，故C错误；
由题意可知：点 到平面 的距离 ，
为平面 的法向量，所以点 到平面 的距离为 ，
所以 ，故D正确.故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知 ，则 ．
【答案】
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】由 ，得 .
13．（23-24高二上·陕西渭南·期末）直线 的方向向量为 ，且 过点 ，则点 到
的距离为 ．
【答案】
【解析】依题意， ，
所以点 到 的距离 .
14．（23-24高二上·浙江宁波·期末）如图， 的二面角的棱上有 ， 两点，直线 ， 分别在这个
二面角的两个半平面内，且都垂直于 已知 ， ，BD=7，则 的长为 .
【答案】
【解析】由已知， ， , ，
所以 ，
所以 ，故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
15．（23-24高二上·山东菏泽·月考）已知空间向量 .
(1)求 ；
(2)判断 与 以及 与 的位置关系.
【答案】(1) ；(2) ； .
【解析】（1）由题知， ，
所以 .
（2）因为 ，
所以 ，所以 ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为 ，
所以 ，所以 .
16．（23-24高二上·广东广州·期中）如图,给定长方体 , , ,点 在棱
的延长线上,且 .设 , , .
(1)试用 表示向量 ;
(2)求 .
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为点 在棱 的延长线上,且 ,
所以 ,
则 .
（2）由题意得 ,
则 ,
所以 .
17．（23-24高二上·广东湛江·月考）在正四棱柱 中， ， 为棱 中点 ．
(1)证明 平面 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为 是正四棱柱，所以 侧面 ，
而 平面 ，所以
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）如图建立空间直角坐标系，则 ， ，设 ，则 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ， ，
则 ， ， ，
设 是平面 的法向量，
所以 取 ，
设 是平面 的法向量，
所以 取 ，
设二面角 为 ，则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
18．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为直角梯
形， ， ， ， ，点 在 上，且 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求异面直线 与 夹角的余弦值；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）依题意可知 两两相互垂直，
以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得 ，
， ，
即异面直线 与 夹角的余弦值为 .
（2）设平面 的一个法向量 ，
，
由 ，得 ，于是平面 的一个法向量 ，
点 到平面 的距离 ．
19．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，已知平行六面体 的侧棱长为3，底面是边长为
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4的菱形，且 ，点 ， 分别在 和 上．
(1)若 ， ，求证： ， ， ， 四点共面；
(2)求 ；
(3)若 ，点 为线段 上（包括端点）的动点，求直线 与平面 所成角的正弦值的取
值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)
【解析】（1） ， ， ，
，所以 , , , 四点共面.
（2） 平面 ，
上的所有的点到平面 的距离都相等，
同理 上所有的点到 的距离也相等，
，
，
点 在平面 的射影落在 上，过点 作 ，过点 作 ，
平面 ， ，
又 与 是平面 内两条相交直线，
平面 , ，
在直角三角形 中， ， ，解得 ,
又在直角三角形 中， ， ，
在直角三角形 中，可得 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司；
（3）设 与 的交点为 ，以点 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
由（2）可知 ， ，
， ， ， ，
由 ，可求得 ， ，
， ，
设 为平面 的法向量，
，取 ， ， ，
，
， ，
设 ， ，
，
设直线 与平面 所成角的为 ，
，
， ，
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
