文档内容
郴州市 2024 年上学期期末教学质量监测试卷
高二数学
（试题卷）
注意事项：
1.试卷分试题卷和答题卡．试卷共6页，有四大题，19小题，满分150分．考试时间120分
钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准者证条形码粘贴在答
题卡的指定位置，
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效考生在答题卡上
按答题卡中注意事项的要求答题.
4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个
最佳答案，多选或不选得0分）
1. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知 为虚数单位，若复数 在复平面内对应的点分别为 ，则复数 （ ）
A. B. C. D.
.
3 （ ）
A. B. 4 C. D. 2
4. 已知 为椭圆 上一动点， 分别为其左右焦点，直线 与 的另一交
点为 的周长为16.若 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）.
A B. C. D.
5. 若 为一组数 的第六十百分位数，则二项式 的展开式的常数项是（ ）
A. 28 B. 56 C. 36 D. 40
6. 三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（ ）
A. 360种 B. 540种 C. 720种 D. 900种
7. 已知函数 的两个零点分别为 ，若 三个数适当调整顺序后
可为等差数列，也可为等比数列，则不等式 的解集为（ ）
.
A B. C. D.
8. 设函数 在 上存在导数 ，有 ，在 上 ，若
，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 如图，正方体 的边长为 为 的中点，动点 在正方形 内（包含边
界）运动，且 .下列结论正确的是（ ）A. 动点 的轨迹长度为 ；
B. 异面直线 与 所成角的正切值为2；
C. 的最大值为2；
D. 三棱锥 的外接球表面积为 .
10. 已知定义域在R上的函数 满足： 是奇函数，且 ，当 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周期 B.
C. 在 上单调递增 D. 是偶函数
11. 锐角 中，角 的对边为 .且满足 .下列结论正确的是（ ）
A. 点 的轨迹的离心率
B.
C. 的外接圆周长
D. 的面积
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若直线 ： 与曲线 ： 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是_______.
13. 已知数列 满足： ．若 ，则数列 的前 项和
__________.
14. 暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹．已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其
半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且
当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的．如图，已知该座山的底面半径
，高 ，则盘山步道的长度为__________，其中上山（到山顶的直线距离减小）
和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 在锐角 中，内角 所对的边分别为 ， ，且满足 .
（1）证明： ；
（2）求 的取值范围.
16. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 为线段
的
中点， 为线段 （不含端点）上的动点.（1）证明：平面 平面 ；
（2）是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理
由.
17. 已知函数 .
（1）若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
（2）当 时，求证 在 上恒成立.
18. 已知 是抛物线 上一点， 是抛物线的焦点，已知 ，
（1）求抛物线的方程及 的值；
（2）当 在第一象限时， 为坐标原点， 是抛物线上一点，且 的面积为1，求点 的坐标；
（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于 的两个点分别记为 ，问抛物线的准线上是否存
在一点 使得， .
19. 材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件 发生的概率为 ，试验进行到事件 第一次发生时停
止，此时所进行的试验次数为 ，其分布列为 ，我们称 服从几何
分布，记为 .
材料二：求无穷数列的所有项的和，如求 ，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前 项和 ，再求 时 的极限：
根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为
随机变量 .
（1）证明： ；
（2）求随机变量 的数学期望 ；
（3）求随机变量 的方差 .
