文档内容
湖南省高二年级期末考试
数 学
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 双曲线C： 的焦距为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 虚数z满足 ，则z的虚部为（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
4. 已知 ， 是两个平面，m，n，l是三条直线，且 ， ， ， ，则“
”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知曲线 在点 处的切线与圆 相切，该圆的半径为（ ）
A. B. C. 或 D. 或1
6. 要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有
1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有（ ）
A. 7种 B. 8种 C. 12种 D. 14种
7. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃
了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：
“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗
学科网（北京）股份有限公司只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按
照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
8. 已知 为偶函数，若函数 与 图象的交点为 ， ，…，
，则 （ ）
A. 45 B. －45 C. 90 D. －90
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 把函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 的图象
关于点 对称，则a的值可能为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数 恰好有三个零点，分别为 ， ， ，且 ，则下列
说法正确的是（ ）
A. B. ， ， 成等差数列
C. ， ， 成等比数列 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为______.
13. 已知数列 的前n项和 满足 ，则 ______.
14. 已知 ， 分别是椭圆C： 的左、右焦点，椭圆C的离心率为 ，P是
学科网（北京）股份有限公司C在第一象限上的一点.若 ，则 ______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ， ，且
.
（1）求A；
（2）若 ， 的面积为 ，求a.
16.（15分）
已知F为抛物线C： 的焦点，且C上一点 到点F的距离为4.
（1）求C的方程；
（2）若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且 ，求l的方程.
17.（15分）
如图，在多面体ABCDE中，平面 平面ABC，四边形BCDE为等腰梯形， ， ，
.
（1）证明： .
（2）若直线BE与平面ABC所成的角为 ，求二面角 的正弦值.
18.（17分）
某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比
分别为 ， ， ）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为 ， ， .
（1）若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.
（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖
学科网（北京）股份有限公司励的概率为依据，甲在 和 之中选其一，则应选择哪个？
19.（17分）
若函数 满足对于任意的 ， 恒成立，则称 为“反
转函数”.已知函数 ， .
（1）当 时，证明： 为“反转函数”.
（2）已知 有三个零点 ， ， ，且 .
①求a的取值范围；
②证明： .
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