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河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）
2025-2026 学年高二上期 09 月测试（二）
数学答案（物理方向）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C D C A B C C AC BD ABC
13．
12． 14．
15．(1) ；
(2)
【分析】（1）根据频率分步直方图中所有矩形面积和为1计算 的值，根据中位数左边的
频率和为 求解中位数即可；
（2）根据分层抽样的定义可求得在 ， 分别抽取 人和 人，再利用列举法
即可求得概率.
【详解】（1）根据频率分步直方图可知组距为 ，所有矩形面积和为 ，
所以 ，解得 ；
因为 ， 两组频率之和为 ，而 的频率为
，
故中位数在 之间，设为 ，
则 ，解得 ，
即该社区居民身体质量指数 的样本数据中位数为 .
（2）由频率分步直方图可知 的频数为 ， 的频数为
，
所以两组人数比值为 ，
按照分层抽样抽取 人，则在 ， 分别抽取 人和 人，记 这组两个样本编号为 ， 这组编号为 ，
故从 人随机抽取 人所有可能样本的构成样本空间：
设事件 “从6个人中随机抽取两人，抽取到两人的 值不在同一组”
则 ，
故 ，即从这6个人中随机抽取两人，抽取到两人的 值不在同一组的概率为
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的夹角即可求解线线角，
（2）根据空间向量即可求解点面距离.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 ,
所以 ,
设直线 与 所成的角为 ，则 ，（2） 则 ，
设平面 的法向量为 ， ,
由 得 取 ，则 ，
所以点 到平面 的距离为
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式化简，结合正弦定理可得角 ；
（2）根据正弦定理进行边角互化，结合三角函数性质可得最值.
【详解】（1）由已知 ，
即 ，
又在 中， ，
则 ，
可得 ，即 ，
又由正弦定理可知 ，
即 ，
又 ，
所以 ；
（2）由（1）可得 ， ，则 ，
又在 中， ，
即
，
由 ， ，则 ，
所以当 ，即 时， 取最大值为 .
18．(1)
(2)存在，
【分析】（1）首先求得 ，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线
和平面 所成角的正弦值.
（2）设 ，利用二面角 的大小列方程，求得 ，进而求得
.
【详解】（1）分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG，
∵ 为 的中点， 是边长为1的等边三角形，∴ 是直角三角形，
， ， ，
∵CB、CD的中点为F、G， ∴ ， ， ，
∵ ， 为 的中点，∴ ，
又∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 是三棱锥 底面 的高， 是直角三角形∵ ，∴ ，
以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为 轴，如图建立空间直角坐标
系，
则 ， ， ， ， ， ，
，
∴ ， ， ，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ， ， ，
，
∴直线 和平面 所成角的正弦值等于 ；
（2）在棱 上存在点 ，使二面角 的大小为 .
设
由（1）知， ，，
是平面 的一个法向量，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
即 ，
取 ， ， ，
∵二面角 的大小为 ，
∴ ，
即 ，
整理得， ，解得， 或 （舍去），
所以， ， ，
所以，在棱 上存在点 ，使二面角 的大小为 ， .
19．(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据题意，分 与 代入计算，求解不等式，即可得到结果；（2）（ⅰ）将问题转化为 的实根个数问题，然后求得 与
时，根的个数，从而可得 的范围，即可得到结果；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结
论可得 ，再由对勾函数的单调性，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得函数 的定义域为 ．
当 时，不等式 等价于 ，显然满足条件；
当 时，不等式 等价于 ，即 ，
解得 ．
综上， 的解集为 ，
即当 的取值范围为 时， 成立．
（2）（ⅰ）令
原题可转化为 的实根个数问题（二重根为一个零点）．
当 时，即为 ，所以 至多一个实根①；
当 时，即为 ，所以 至多两个实根②．
由①知， ，所以 ，此时①有一解；由②知， 所以即求 的交点个数，
即 ，为椭圆的一部分， 过椭圆的上顶
点 ，
当 过点 时， ；当 过点 时， ；
所以当若 或 或 时，②有一个根或两个相等的根；若
或 时，②有两个根；
综上所述，当 时， 的取值范围为 .
（ⅱ）由（ⅰ）得当 时， ，且三个零点分别为 ，
显然 ，所以 ．
易得函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ．
【点睛】关键点点睛：本题关键是分段讨论零点个数.
