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荆州中学 2024-2025 学年高二上学期 9 月月考
数学试卷
命题人： 审题人：
时间：150分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的．
1．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. 图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是（ ）
A. 这10年粮食年产量的极差为15
B. 这10年粮食年产量的平均数为31
C. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
D. 这10年粮食年产量的中位数为29
3．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体
积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，若 与 的夹角为 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．向量 是空间的一个单位正交基底，向量 在基底 ， ， 下的坐标为 ，则 在基
底 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司6. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动
方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动
盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金
为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得
三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 在锐角 中，角A，B，C的对边分别为 ， ， ， 为 的面积，且
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．8π B．16π C．26π D．32π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越
大
C．若一条直线的倾斜角为 ，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 或
10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出
两个球．设事件 “摸出的两个球的编号之和小于5”，事件 “摸出的两个球的编号都大于2”，
事件 “摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．事件 与事件 是互斥事件 B．事件 与事件 是对立事件
C．事件 与事件 是相互独立事件 D．事件 与事件 是互斥事件
11.如图，在直三棱柱 中，已知 为 的中点，过 的
截面与棱 分别交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．线段 长度的取值范围是
C．当点 为 中点时，截面 的周长为
D．存在点 ，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在平行六面体 中， ， ， ，则
．
13.已知 ， ， 三点，则 到直线 的距离为 .
14.如图，已知 为等边三角形，点 G是 的重心.过点G的直线l与线段AB交于点D，与线
段 AC交于点 .设 ， ，且 设 的周长为
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学科网（北京）股份有限公司， 的周长为 ，设 ，记 ，则 的值域为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动
了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.
假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别
是 ，答对第二题的概率分别是 .
(1)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
(2)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
16.已知 的内角 所对的边分别为 ，且
（1）求角A；
（2）若 为边 上一点， 为 的平分线，且 ，求 的面积.
17．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， ，
， 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18．对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为
[50,60)，[60,70)， ，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平
均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若
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学科网（北京）股份有限公司分数在区间 的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和 ，第三组 的学生实际成
绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组[80,90)的学生实际成绩的平均数与方差.
19．在空间直角坐标系 中，己知向量 ，点 .若直线 以 为方向向量
且经过点 ，则直线 的标准式方程可表示为 ；若平面 以 为法
向量且经过点 ，则平面 的点法式方程表示为 .
（1）已知直线 的标准式方程为 ，平面 的点法式方程可表示为
，求直线 与平面 所成角的余弦值；
（2）已知平面 的点法式方程可表示为 ，平面外一点 ，点 到平面
的距离；
（3）（i）若集合 ，记集合 中所有点构成的几何体为 ，求几何
体 的体积；
（ii）若集合 .记集合 中所有点构成的几何体为 ，
求几何体 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.
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