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问津教育联合体 2027 届高二 10 月联考
数学试卷
考试时间：2025年10月14日 14:30-16:30 试卷满分：150分
一.单选题：每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过 ， 两点的直线的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2. 集合 ，集合 ，从 ， 中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是
奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在四面体 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 是线段 上靠近点 的一个
三等分点，令 ，则 （ ）
A. B.
.
C D.
4. 如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4， 为圆锥底面圆的直径， 是 的中点， 是母线
的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A. B.
C. D.
5. 抛掷一枚骰子两次.设事件 为“第一次向上的点数是2”，事件 为“第二次向上的点数是奇数”，事件
为“两次向上的点数之和能被5整除”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件 与事件 互为对立事件
B.
C.
D. 事件 与事件 相互独立
6. 已知向量 ， ， ，当 时，向量 在向量 上的投影向量为
（ ）（用坐标表示）
.
A B. C. D.
7. 如图，在长方体 中， ， ， ，点 是棱 的中点，点 是
棱 的中点， 是侧面四边形 内一动点（含边界），若 平面 ，则线段 长度的
最小值为（ ）A. B. 5 C. 4 D. 3
8. 如图，在正方体 中， 是 中点，点 在线段 上，若直线 与平面
所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
二.多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 空间中三点 是坐标原点，则（ ）
A. B.
C. 点 关于平面 对称 点为 D. 与 夹角的余弦值是
的
10. 下列叙述错误的是（ ）
A. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 或B. 若一条直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为
的
C. 直线 倾斜角越大，它的斜率就越大
D. 若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行
11. 已知正方体 的棱长为1，动点P满足 （ ， ，
），下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，
B. 当 ， ， 时，则P到平面 的距离的最小值是
C. 当 ， 时， 的最小值为
D. 当 ，且 时，则P的轨迹总长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间三点 ， ， ，则 到直线 的距离为__________.
13. 已知点 ， ，经过点 作直线 ，若直线 与线段 没有公共点，则直线 的
斜率 的取值范围是__________.
14. 已知平行六面体 中，各条棱长均为 ，底面是正方形，且
，设 ， ， .则异面直线 与 所成的角的余弦值为
__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知坐标平面内直线 经过 、 两点，直线 经过 、 两
点.
（1）若直线 ，求实数 的值；
（2）若直线 ，求实数 的值.
16. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek-V3.1模型，此次升级也标志着
国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步.为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对
， 两部门开展专项技能培训.
（1）已知该公司 ， 两部门分别有3位领导，需要从这6位领导中随机选取3位当组长负责组织培训工
作，假设每人被抽到的可能性都相同，求组长中有两位来自于 部门的概率；
（2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ， ， ，每轮的培
训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率.
17. 如图，四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， ，且 底
面 ， 是棱 的中点，点 在棱 上．
（1）证明： ；（2）若 平面 ，求二面角 的余弦值．
18. 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的
两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当
一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛
中，甲胜乙和乙胜丙的概率均为 ，甲胜丙的概率为 ，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛乙
轮空.
的
（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰 概率；
（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率；
19. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，
， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 .
①若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
②在线段 上是否存在点 ，使得点 ， ， 在以 为球心的球上？若存在，求线段 的长；若
不存在，说明理由.
