文档内容
2025—2026 学年度上学期 2024 级
10 月月考数学试卷
命题人：朱鑫 审题人：余会林
一、单选题
1. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. 1 C. D.
2. 某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择 类图书的概率为 ，选择 类图书的概率为
两类图书都不选的概率为 ，则 两类图书都选的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知 是空间的一个基底，向量 ， ， ，且A，B，C，D
四点共面，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，已知点 是线段 上 的动点，则 的取值范围是（
）
A. B.
C. D.
5. 如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是 ，则制作这样一个粮仓(不含底面)的用料面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知定点 和直线 ，则点P到直线l的距离d的最
大值为（ ）
.
A B. C. D.
的
7. 已知 、 是两条不同 直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）.
A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则
.
C 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则
8. 数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心
都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.
已知 的顶点 ，则 的欧拉线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 直线 在y轴的截距是2
B. 直线 的倾斜角为C. 直线l的方向向量是 ，则直线l的斜率是
D. 点 在直线 上，则直线l方程为 ．
10. 已知实数 满足圆的方程 ，则（ ）
A. 圆心 ，半径为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
11. 如图，在棱长为1的正方体 中，下列命题正确的是（ ）
A. 平面 平面 ，且两平面的距离为
B. 当点 在线段 上运动时，四面体 的体积恒等于四面体 的体积
C. 与正方体所有棱都相切的球的体积为
D. 若 是正方体的内切球的球面上任意一点， 是 外接圆的圆周上任意一点，则 的最小值
是
三、填空题12. 在平面直角坐标系 中，曲线 在圆周上，且 ， 中点
为 ，则 的轨迹方程为______．
13. 过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为______．
14. 小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有 的10个小球，每次随机抽取一
个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，
则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进 步的概率为 ，则 ______， ______．
（用 表示 ）
四、解答题
15. 已知直线 和 的交点为P．
（1）若直线l经过点P且与直线 平行，求直线l的一般式方程；
（2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点， 为线段 的中点，求 的面积．
（其中O为坐标原点）．
16. 如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是下底面圆周上一点，点 是线段 中点
（1）证明：直线 平面
（2）若 ，三棱锥 的体积.
17. 若 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，， 是边 上一点.
（1）求 外接圆的半径；
（2）若 是 的平分线，且 的周长为15，求线段 的长；
（3）若 ，且 ，求 的面积.
18. 如图所示，直角梯形 中， ， 垂直 ， ，四边形
为矩形， ，平面 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的正弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角 正弦值为 ，若存在，求出线段
的
的长，若不存在，请说明理由.
19. 如图，在直角坐标系 中， ，已知 为角 的终边上
一点，且 为角 的终边上一点，且 ，记 与矩形 重合的部分的面积
为 ．（1）求 的解析式；
（2）求 的最大值．
