贵州省九师联盟2024-2025学年高二上学期11月联考数学试题(人教B版）_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年11月试卷_1126贵州省九师联盟2024-2025学年高二上学期11月联考

高二数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，考生务必用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教 B版选择性必修第一册第一章~第二章第 5节。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．直线x 2的倾斜角为（ ）
π π π
A．0 B． C． D．
2 4 2
 
2．若两互相平行的平面，的法向量分别为a 1,2,2，b2,m,4，则实数m的值为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
3．过点2,1且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程是（ ）
A．x y30 B．x2y 0
C．x y30或x2y 0 D．x y30或x y10
4．已知a，b是方程x2  5x20的两个不等实数根，则点Pa,b与圆C:x2  y2 8的位置关系是
（ ）
A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定
5．将直线l:x2y20向下平移2个单位长度得到直线l :x2ym0；将直线l:x2y20
1
绕坐标原点逆时针旋转90°得到直线l :2x yn 0，则（ ）
2
A．m0，n 2 B．m2，n 2
C．m0，n 1 D．m2，n 1
6．下列说法错误的是（ ）
 
A．若a为直线l 的方向向量，则a0也是l 的方向向量
        
B．已知 a,b,c 为空间的一组基底，若mac， a,b,m 也是空间的一组基底
           
C．非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面
     
D．若PABC 0，PCAB 0，则PBAC 0x2 y2
7．已知F是椭圆C:  1ab0的一个焦点，B是C的上顶点，BF 的延长线交C于点A，
a2 b2
 
若BF 4FA，则C的离心率是（ ）
3 2 3 15
A． B． C． D．
2 2 5 5
8．已知圆M :x2 y32 4，过x轴上的点Px ,0作直线l 与圆M交于A、B两点，若存在直线l
0
使得2 PA  AB ，则x 的取值范围为（ ）
0
A． 6, 6 B． 7, 7 C．2 2,2 2 D．3,3
     
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
x2 y2
9．设椭圆C:  1ab0的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与C交于A，B两点，若
a2 b2 1 2 1
FF 6，且C上的动点P到F 的距离的最大值是8，则（ ）
1 2 1
3
A．b4 B．C的离心率为
5
C．弦AB的长可能等于4π D．△ABF 的周长为16
2
10．平行六面体ABCD ABC D 的底面ABCD是正方形，AA  AB 1，AAB AAD 60，
1 1 1 1 1 1 1
AC BD O，AC BD O ，则下列说法正确的是（ ）
 1 1 1 1 1
A．AC  5
1
 1 1 
B．BO  AB AD AA
1 2 2 1
C．四边形BBDD 的面积为 2
1 1
 5 1 
D．若AM  AO AO  AB ，则点M在平面BBDD 内
3 3 1 1 1 1
1 1
11．关于曲线E: x 2  y 2 1，下列说法中正确的是（ ）
A．曲线E关于直线 y x对称
B．曲线E围成的区域面积小于2
1
C．曲线E上的点到x轴、y轴的距离之积的最大值是
161
D．曲线E上的点到x轴、y轴的距离之和的最大值是
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
   
12．已知空间向量a 2,2t,t，b2t,t4,t1，t是实数，则 ba 的最小值是______．
13．方程k 3x2 7ky2 1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______．
1
14．设直线l: y kx 与圆C:x2  y2 1交于A，B两点，对于任意的实数k，在y轴上存在定点
3
D0,t，使得ADB的平分线在y轴上，则t的值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知点A1,6，B3,2，直线l 的方程为ax ya10aR．
（1）若直线l 不经过第二象限，求a的取值范围；
（2）若点A，B到直线l 的距离相等，求a的值
16．（本小题满分15分）
如图，在三棱锥P ABC中，PA底面ABC，AB 1，PA AC  3，ABC 60．
（1）求点A到平面PBC 的距离；
（2）求PA与平面PBC 所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
在平面直角坐标系xOy中，长度为2的线段MN 的两个端点分别在x轴，y轴上运动，动点P满足
  
2OP 3OM  5ON ．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
 
（2）若F2,0，A3,0，求PFPA的取值范围．
18．（本小题满分17分）
在如图所示的空间几何体ABCDE中，四边形ACDE是平行四边形，平面EAB 平面ABC，
EB  AB，AB  AC  BC 2，EAB 60，F为AC的中点．
（1）求证：AC 平面BEF ；
21 CP
（2）线段CD上是否存在点P，使得平面PFB与平面EFB夹角的余弦值为 ?若存在，求出 的
7 CD值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分17分）
     
设A 1, 3 ，B4,0，C 3, 3 ，D 1, 3 ，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中
的三个点．
（1）求圆Q的方程；
（2）若圆Q上存在两个不同的点P，使得PA2 PC2 2成立，求实数的取值范围；
（3）设斜率为k直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF 斜率分别为k ，
1
k ，且kk 3，证明：直线l恒过定点．
2 1 2
高二数学参考答案、提示及评分细则
π
1．B 直线x 2垂直于x轴，所以其倾斜角为 ．故选B．
2
   
2．A 因为∥，则它们的法向量a，b共线，所以存在实数，使ba，即
2,m,4,2,2，所以m4．故选A．
3．C 当直线l 过原点时，其方程是x2y 0．符合题意；当直线l 不过原点时，其斜率为1，所以方
程是x y30．故选C．
4．C 因为a，b是方程x2  5x20的两个不等实数根，所以ab 5，ab2，因为
a2 b2 ab2 2ab548，所以点Pa,b在圆C:x2  y2 8外．故选C．
1 1
5．B 将直线l:x2y20即 y  x1向下平移2个单位长度得到直线 y  x1即
2 2
x2y20，所以m2；因为直线l:x2y20在x轴上截距为2，绕坐标原点逆时针旋转90°
得到直线l :2x yn 0，则n 2．故选B．
26．C 若a  为直线l 的方向向量，则a  0也是l 的方向向量，故A正确；对于B，已知  a  ,b  ,c  为
           
空间的一组基底，则a，b，c不共面，若mac，则a，b，m也不共面，则 a,b,m 也是空间的
          
基底，故B正确；考虑三棱柱ABC ABC ，AB a，AC b，AA c，满足a与b，b与c，c与
1 1 1 1
          
a都是共面向量，但a，b，c不共面，故C错误；对于D，PABCPCAB  PABCPC
                
ACCB  PABCPCACPCBC  PAPC BCPCAC CABCPCAC
    
 AC CBPC  ACPB 0，故D正确．故选C．
7．D 不妨设F是椭圆C的左焦点，F是C的右焦点，C的焦距为2c，连接BF，AF，则
  1 7
BF  BF a，又BF 4FA，所以 AF  a， AF  a．在△ABF中，由余弦定理得
4 4
2 2
5  7 
a a2  a
   
AB2 BF2  AF2 4  4  1 1
cosABF   ，所以12sin2FBO  ．即
2ABBF 5 5 5
2 aa
4
15 c OF 15
sinFBO  ，所以e  sinFBO  ．故选D．
5 a BF 5
AB 4 AB
8．B 根据题意，对于给定的P点，当直线l过圆心M时，  ．此时 有最大值，所以
PA PM 2 PA
4
2，所以 PM 4，即 x2 9 4，解得 7  x  7 ．故选B．
PM 2 0 0
9．AB 由 FF 6，以及C上的动点P到F 的距离的最大值是8，得c3，ac8，所以a 5，
1 2 1
c 3
b a2 c2 4，所以C的离心率为e  ，故A，B正确；对于C，因为 AB 2a 10，而
a 5
4π10．所以弦AB的长不可能等于4π，故C错误；对于D，△ABF 的周长为4a 20，故D错
2
误．故选AB．
       2 2 2 2 
10．ACD 因为AC  AB AD AA ，所以AC2  AB AD AA  AB  AD  AA 2AB
1 1 1 1 1
    
AD2ADAA 2AA AB 111211cos90211cos60211cos605，
1 1
AC  5 ，故A正确；因为
1
    1  1  1 1 
BO  BB BO  AA  BD  AA  AD AB  AB AD AA ，故B错误；因为
1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1
          
BDBB  BDAA  AD AB AA  ADAA  ABAA 11cos6011cos600，所以
1 1 1 1 1
BB  BD．四边形BBDD 为矩形，其面积S  BBBD 1 2  2 ．故C正确；因为
1 1 1 1
 5 1  5 1
AM  AO AO  AB ，由于  11，所以M，O，O ，B 四点共面，即M在平面BBDD
3 3 1 1 3 3 1 1 1 1
内，故D正确．故选ACD．
1 1
11．ABC 对于方程 x 2  y 2 1，以x代替y，同时以y代替x方程不变，所以曲线E关于 y x
1 1
对称，故A正确；对于B，设m,n，m,t分别为 x 2  y 2 1与x y 1图象上第一象限内的点，
 2  
0m1．则nt  1 m 1m2 m m 0．所以m,n在m,t的下方，所以曲线E围
2
 1 1 
1 1  x 2  y 2  1
成的面积小于 x  y 1围成的面积，故B正确；对于C，因为 x 2 y 2   ，等号仅当
 2  4
 
2
1 1 1
x  y  时成立，所以曲线E上的点到x轴、y轴的距离之积 x y     ，故C正确；对于
4 4 16
2
1 1  1 1 
x 2  y 2 x  y  x 2  y 2  1 1
D，因为  ，所以 x  y 2  ，等号仅当 x  y  时成立，所以
2 2  2  2 4
 
1
曲线E上的点到x轴、y轴的距离之和的最小值为 ，故D错误故选ABC．
2
 
12．3 因为ba 2t,t4,t12,2t,tt,t4,1，所以
   
ba  t2 t42 12  2t2 8t17  2t22 9 ，所以当t 2时， ba 取最小值，
且最小值为3．
k 30,
x2 y2 
13．3,5 方程k 3x2 7ky2 1可化为  1，所以7k 0, 解得
1 1

1 1
k 3 7k   ,
k 3 7k
3k 5，故实数k的取值范围是3,5．
y t y t
14．3 设Ax ,y ，Bx ,y x x 0，由题得k k 0，即 1  2 0，整理得
1 1 2 2 1 2 AD BD x x
1 2
1 1
x y t x y t0．又 y kx  ， y kx  ，所以
2 1 1 2 1 1 3 2 2 3
 1
 1   1  1  y kx ,
x  kx  t   x  kx  t  0，整理得2kx x   t  x  x 0①．由 3 得
2  1 3  1  2 3  1 2 3  1 2
 x2  y2 1
2 8
k 
2 8 2
 k2 1  x2  kx 0，所以x  x  3 ，x x  9 ，代入①并整理得2k  kt 0，此
3 9 1 2 k2 1 1 2 k2 1 3
式对任意的k都成立，所以t 3．
15．解：（1）直线l 的方程为ax ya10，即 y axa1，
a0,
因为直线l 不经过第二象限，所以
a10,
解得1a0，所以a的取值范围为1,0．
a6a1 3a2a1
（2）法一：由点到直线的距离公式知：  ，即 2a5  4a3，
1a2 1a2
1
所以2a54a3或52a 4a3，解得a 4或a  ．
3
法二：若点A，B到直线l 的距离相等，则直线AB∥l或直线l 经过线段AB的中点，
62
当AB∥l时，a  ，解得a 4，
13
13 62
线段AB的中点坐标为 , ，即2,2，
 2 2 
1
当直线l 经过线段AB的中点时，2a2a10，解得a  ，
3
1
综上，a 4或a  ．
3
16．解法一：（1）如图．作AD  BC交BC于点D，连接PD．
因为PA底面ABC，BC 平面ABC，所以PA BC．又AD PA A，所以BC 平面PAD．

又BC 平面PBC ，所以平面PBC 平面PAD．
作AH  PD交PD于H，因为平面PBC 平面PAD  PD，AH 平面PAD，

所以AH 平面PBC ，即AH 就是点A到平面PBC 的距离，
2
3  3 15
因为AD  ABsin60 ，PA 3，所以PD  PA2  AD2  3   ，
2 2 2
 
3
3
PAAD 15
2
在Rt△PAD中，AH    ，
PD 15 5
2
15
所以点A到平面PBC 的距离是 ．
5
（2）由（1）知APD就是PA与平面PBC 所成角．
3 15 AD 5
因为AD  ，PD  ，所以在Rt△PAD中，sinAPD   ，
2 2 PD 5
5
即PA与平面PBC 所成角的正弦值为 ．
5
解法二：（1）因为PA底面ABC．所以PA AB，PA AC．
在△ABC中，AB 1，AC  3，ABC 60．
3
1
AC AB ABsinABC 1
2
由正弦定理  ，得sinACB    ，
sinABC sinACB AC 3 2
又AB AC ，所以ACBABC 60，所以ACB 30，
于是BAC 90，即AB  AC．
AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，
   
B1,0,0，C 0, 3,0 ，P 0,0, 3 ，        
所以PA 0,0, 3 ，BC  1, 3,0 ，PC  0, 3, 3 ．
 
  mBC x 3y 0,
设平面PBC 的法向量mx,y,z，则 取 y 1，则x  3，z 1，
 
mPC  3y 3z 0,
  
所以平面PBC 的一个法向量m 3,1,1 ，
   
PAm 0 301  3 1
15
所以点A到平面PBC 的距离是   ．

m 312 12 5
     
（2）由（1）知平面PBC 的一个法向量m 3,1,1 ，PA 0,0, 3 ，
 
0 301  3 1
  5
设PA与平面PBC 所成角为，则sin cos PA,m   ，
3 5 5
5
即PA与平面PBC 所成角的正弦值为 ．
5
17．解：（1）设Px,y，Mm,0，N0,n，
  
因为 MN 2，所以m2 n2 4，2OP 3OM  5ON ，即2x,y3m,0 50,n，
2 2
所以2x 3m，2y  5n，即m x，n  y，
3 5
x2 y2
代入m2 n2 4并化简得动点P的轨迹C的方程为  1．
9 5
x2 y2 5x2  
（2）设Px,y，则有  1， y2 5 ，PF 2x,y，PA3x,y，
9 5 9
  5x2 4x2 4 9 2 25
PFPA2x3x y2  x2 x65  x1  x   ，
9 9 9 8 16
因为3 x3，9   25  
所以当x  时，PFPA取最小值 ；当x 3时，PFPA取最大值6，
8 16
   25 
所以PFPA的取值范围为  ,6 ．
 
 16 
18．（1）证明：因为AB  BC，F是AC的中点，所以AC  FB，
因为平面EAB 平面ABC，平面EAB 平面ABC  AB，EB  AB，EB平面EAB，所以EB 

平面ABC，
因为AC 平面ABC，所以EB  AC ，
又AC  FB，EB FB  B，EB，FB平面BEF ，所以AC 平面BEF ．

（2）解：以F为坐标原点，FA，FB所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于BE的直线为z轴，建
 
立如图所示的空间直角坐标系，则F0,0,0，A1,0,0，B 0, 3,0 ，C1,0,0,
 
因为EAB 60，AB 2，所以BE 2 3，则E 0, 3,2 3 ，
          
所以FC 1,0,0，FB  0, 3,0 ，FE  0, 3,2 3 ，CD  AE  1, 3,2 3 ，
        
设CP tCD  t 3t,2 3t ，0t 1，则FP  FCCP  1t, 3t,2 3t ．

设平面PFB的法向量为mx,y,z，
 
 FBm 3y 0,
则

取x 2 3t，则 y 0，z t1，
 FPm1tx 3ty2 3tz 0,
  
所以平面PFB的一个法向量为m 2 3t,0,t1 ，

显然n1,0,0是平面EFB的一个法向量，
 
nm
  2 3t 21 1 1
所以 cos n,m    ，解得t  或t  （舍），
 
n m 12t2 t12 7 3 5
21 CP 1
所以线段CD上存在点P，使得平面PFB与平面EFB夹角的余弦值为 ，此时  ．
7 CD 3
19．解：（1）若圆Q经过A，C，则圆心必在AC的垂直平分线x 1上，不合题意；根据题意得圆Q只能过点A，B，D三点，
线段AB的垂直平分线的方程为 3x y2 3 0，
线段AD的垂直平分线的方程为 y 0，
 3x y2 3 0, x 2,
联立方程组 解得
y 0, y 0,
所以圆心为2,0，半径为2，所以圆Q的方程为x22  y2 4．
（2）设Px,y，因为PA2 PC2 2，
所以x12


y 3
2 x32


y 3
2
2，
化简得x12


y 3
2
4，所以4．
根据题意有 4 2 2 3 4 2，解得208 3208 3．
（3）设直线l 的方程为 y kxm，Ex ,y ，Fx ,y ，x x 0
1 1 2 2 1 2
y kxm

由 得  1k2 x2 2km2xm2 0，
 x22  y2 4
2km2 m2
所以x  x  ，x x  ，
1 2 1k2 1 2 1k2
y y kx mkx m k2x x kmx  x m2
所以kk  1 2  1 2  1 2 1 2
1 2 x x x x x x
1 2 1 2 1 2
2km2km
m2
k2 
1k2
1
4k
3，所以m2k，
m2 m
1k2
所以直线l 方程为 y kx2，即直线l 过定点2,0．