贵州省九师联盟2024-2025学年高二上学期11月联考数学试题(人教B版）_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年11月试卷_1126贵州省九师联盟2024-2025学年高二上学期11月联考

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150分，考试时间 120分钟。 2．答题前，考生务必用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4．本卷命题范围：人教 B版选择性必修第一册第一章~第二章第 5节。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．直线x 2的倾斜角为（ ） π π π A．0 B． C． D． 2 4 2   2．若两互相平行的平面，的法向量分别为a 1,2,2，b2,m,4，则实数m的值为（ ） A．4 B．4 C．2 D．2 3．过点2,1且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程是（ ） A．x y30 B．x2y 0 C．x y30或x2y 0 D．x y30或x y10 4．已知a，b是方程x2  5x20的两个不等实数根，则点Pa,b与圆C:x2  y2 8的位置关系是 （ ） A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定 5．将直线l:x2y20向下平移2个单位长度得到直线l :x2ym0；将直线l:x2y20 1 绕坐标原点逆时针旋转90°得到直线l :2x yn 0，则（ ） 2 A．m0，n 2 B．m2，n 2 C．m0，n 1 D．m2，n 1 6．下列说法错误的是（ ）   A．若a为直线l 的方向向量，则a0也是l 的方向向量          B．已知 a,b,c 为空间的一组基底，若mac， a,b,m 也是空间的一组基底             C．非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面       D．若PABC 0，PCAB 0，则PBAC 0x2 y2 7．已知F是椭圆C:  1ab0的一个焦点，B是C的上顶点，BF 的延长线交C于点A， a2 b2   若BF 4FA，则C的离心率是（ ） 3 2 3 15 A． B． C． D． 2 2 5 5 8．已知圆M :x2 y32 4，过x轴上的点Px ,0作直线l 与圆M交于A、B两点，若存在直线l 0 使得2 PA  AB ，则x 的取值范围为（ ） 0 A． 6, 6 B． 7, 7 C．2 2,2 2 D．3,3       二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 x2 y2 9．设椭圆C:  1ab0的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与C交于A，B两点，若 a2 b2 1 2 1 FF 6，且C上的动点P到F 的距离的最大值是8，则（ ） 1 2 1 3 A．b4 B．C的离心率为 5 C．弦AB的长可能等于4π D．△ABF 的周长为16 2 10．平行六面体ABCD ABC D 的底面ABCD是正方形，AA  AB 1，AAB AAD 60， 1 1 1 1 1 1 1 AC BD O，AC BD O ，则下列说法正确的是（ ）  1 1 1 1 1 A．AC  5 1  1 1  B．BO  AB AD AA 1 2 2 1 C．四边形BBDD 的面积为 2 1 1  5 1  D．若AM  AO AO  AB ，则点M在平面BBDD 内 3 3 1 1 1 1 1 1 11．关于曲线E: x 2  y 2 1，下列说法中正确的是（ ） A．曲线E关于直线 y x对称 B．曲线E围成的区域面积小于2 1 C．曲线E上的点到x轴、y轴的距离之积的最大值是 161 D．曲线E上的点到x轴、y轴的距离之和的最大值是 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。     12．已知空间向量a 2,2t,t，b2t,t4,t1，t是实数，则 ba 的最小值是______． 13．方程k 3x2 7ky2 1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______． 1 14．设直线l: y kx 与圆C:x2  y2 1交于A，B两点，对于任意的实数k，在y轴上存在定点 3 D0,t，使得ADB的平分线在y轴上，则t的值为______． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知点A1,6，B3,2，直线l 的方程为ax ya10aR． （1）若直线l 不经过第二象限，求a的取值范围； （2）若点A，B到直线l 的距离相等，求a的值 16．（本小题满分15分） 如图，在三棱锥P ABC中，PA底面ABC，AB 1，PA AC  3，ABC 60． （1）求点A到平面PBC 的距离； （2）求PA与平面PBC 所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 在平面直角坐标系xOy中，长度为2的线段MN 的两个端点分别在x轴，y轴上运动，动点P满足    2OP 3OM  5ON ． （1）求动点P的轨迹C的方程；   （2）若F2,0，A3,0，求PFPA的取值范围． 18．（本小题满分17分） 在如图所示的空间几何体ABCDE中，四边形ACDE是平行四边形，平面EAB 平面ABC， EB  AB，AB  AC  BC 2，EAB 60，F为AC的中点． （1）求证：AC 平面BEF ； 21 CP （2）线段CD上是否存在点P，使得平面PFB与平面EFB夹角的余弦值为 ?若存在，求出 的 7 CD值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分）       设A 1, 3 ，B4,0，C 3, 3 ，D 1, 3 ，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中 的三个点． （1）求圆Q的方程； （2）若圆Q上存在两个不同的点P，使得PA2 PC2 2成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF 斜率分别为k ， 1 k ，且kk 3，证明：直线l恒过定点． 2 1 2 高二数学参考答案、提示及评分细则 π 1．B 直线x 2垂直于x轴，所以其倾斜角为 ．故选B． 2     2．A 因为∥，则它们的法向量a，b共线，所以存在实数，使ba，即 2,m,4,2,2，所以m4．故选A． 3．C 当直线l 过原点时，其方程是x2y 0．符合题意；当直线l 不过原点时，其斜率为1，所以方 程是x y30．故选C． 4．C 因为a，b是方程x2  5x20的两个不等实数根，所以ab 5，ab2，因为 a2 b2 ab2 2ab548，所以点Pa,b在圆C:x2  y2 8外．故选C． 1 1 5．B 将直线l:x2y20即 y  x1向下平移2个单位长度得到直线 y  x1即 2 2 x2y20，所以m2；因为直线l:x2y20在x轴上截距为2，绕坐标原点逆时针旋转90° 得到直线l :2x yn 0，则n 2．故选B． 26．C 若a  为直线l 的方向向量，则a  0也是l 的方向向量，故A正确；对于B，已知  a  ,b  ,c  为             空间的一组基底，则a，b，c不共面，若mac，则a，b，m也不共面，则 a,b,m 也是空间的            基底，故B正确；考虑三棱柱ABC ABC ，AB a，AC b，AA c，满足a与b，b与c，c与 1 1 1 1            a都是共面向量，但a，b，c不共面，故C错误；对于D，PABCPCAB  PABCPC                  ACCB  PABCPCACPCBC  PAPC BCPCAC CABCPCAC       AC CBPC  ACPB 0，故D正确．故选C． 7．D 不妨设F是椭圆C的左焦点，F是C的右焦点，C的焦距为2c，连接BF，AF，则   1 7 BF  BF a，又BF 4FA，所以 AF  a， AF  a．在△ABF中，由余弦定理得 4 4 2 2 5  7  a a2  a     AB2 BF2  AF2 4  4  1 1 cosABF   ，所以12sin2FBO  ．即 2ABBF 5 5 5 2 aa 4 15 c OF 15 sinFBO  ，所以e  sinFBO  ．故选D． 5 a BF 5 AB 4 AB 8．B 根据题意，对于给定的P点，当直线l过圆心M时，  ．此时 有最大值，所以 PA PM 2 PA 4 2，所以 PM 4，即 x2 9 4，解得 7  x  7 ．故选B． PM 2 0 0 9．AB 由 FF 6，以及C上的动点P到F 的距离的最大值是8，得c3，ac8，所以a 5， 1 2 1 c 3 b a2 c2 4，所以C的离心率为e  ，故A，B正确；对于C，因为 AB 2a 10，而 a 5 4π10．所以弦AB的长不可能等于4π，故C错误；对于D，△ABF 的周长为4a 20，故D错 2 误．故选AB．        2 2 2 2  10．ACD 因为AC  AB AD AA ，所以AC2  AB AD AA  AB  AD  AA 2AB 1 1 1 1 1      AD2ADAA 2AA AB 111211cos90211cos60211cos605， 1 1 AC  5 ，故A正确；因为 1     1  1  1 1  BO  BB BO  AA  BD  AA  AD AB  AB AD AA ，故B错误；因为 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1            BDBB  BDAA  AD AB AA  ADAA  ABAA 11cos6011cos600，所以 1 1 1 1 1 BB  BD．四边形BBDD 为矩形，其面积S  BBBD 1 2  2 ．故C正确；因为 1 1 1 1  5 1  5 1 AM  AO AO  AB ，由于  11，所以M，O，O ，B 四点共面，即M在平面BBDD 3 3 1 1 3 3 1 1 1 1 内，故D正确．故选ACD． 1 1 11．ABC 对于方程 x 2  y 2 1，以x代替y，同时以y代替x方程不变，所以曲线E关于 y x 1 1 对称，故A正确；对于B，设m,n，m,t分别为 x 2  y 2 1与x y 1图象上第一象限内的点，  2   0m1．则nt  1 m 1m2 m m 0．所以m,n在m,t的下方，所以曲线E围 2  1 1  1 1  x 2  y 2  1 成的面积小于 x  y 1围成的面积，故B正确；对于C，因为 x 2 y 2   ，等号仅当  2  4   2 1 1 1 x  y  时成立，所以曲线E上的点到x轴、y轴的距离之积 x y     ，故C正确；对于 4 4 16 2 1 1  1 1  x 2  y 2 x  y  x 2  y 2  1 1 D，因为  ，所以 x  y 2  ，等号仅当 x  y  时成立，所以 2 2  2  2 4   1 曲线E上的点到x轴、y轴的距离之和的最小值为 ，故D错误故选ABC． 2   12．3 因为ba 2t,t4,t12,2t,tt,t4,1，所以     ba  t2 t42 12  2t2 8t17  2t22 9 ，所以当t 2时， ba 取最小值， 且最小值为3． k 30, x2 y2  13．3,5 方程k 3x2 7ky2 1可化为  1，所以7k 0, 解得 1 1  1 1 k 3 7k   , k 3 7k 3k 5，故实数k的取值范围是3,5． y t y t 14．3 设Ax ,y ，Bx ,y x x 0，由题得k k 0，即 1  2 0，整理得 1 1 2 2 1 2 AD BD x x 1 2 1 1 x y t x y t0．又 y kx  ， y kx  ，所以 2 1 1 2 1 1 3 2 2 3  1  1   1  1  y kx , x  kx  t   x  kx  t  0，整理得2kx x   t  x  x 0①．由 3 得 2  1 3  1  2 3  1 2 3  1 2  x2  y2 1 2 8 k  2 8 2  k2 1  x2  kx 0，所以x  x  3 ，x x  9 ，代入①并整理得2k  kt 0，此 3 9 1 2 k2 1 1 2 k2 1 3 式对任意的k都成立，所以t 3． 15．解：（1）直线l 的方程为ax ya10，即 y axa1， a0, 因为直线l 不经过第二象限，所以 a10, 解得1a0，所以a的取值范围为1,0． a6a1 3a2a1 （2）法一：由点到直线的距离公式知：  ，即 2a5  4a3， 1a2 1a2 1 所以2a54a3或52a 4a3，解得a 4或a  ． 3 法二：若点A，B到直线l 的距离相等，则直线AB∥l或直线l 经过线段AB的中点， 62 当AB∥l时，a  ，解得a 4， 13 13 62 线段AB的中点坐标为 , ，即2,2，  2 2  1 当直线l 经过线段AB的中点时，2a2a10，解得a  ， 3 1 综上，a 4或a  ． 3 16．解法一：（1）如图．作AD  BC交BC于点D，连接PD． 因为PA底面ABC，BC 平面ABC，所以PA BC．又AD PA A，所以BC 平面PAD．  又BC 平面PBC ，所以平面PBC 平面PAD． 作AH  PD交PD于H，因为平面PBC 平面PAD  PD，AH 平面PAD，  所以AH 平面PBC ，即AH 就是点A到平面PBC 的距离， 2 3  3 15 因为AD  ABsin60 ，PA 3，所以PD  PA2  AD2  3   ， 2 2 2   3 3 PAAD 15 2 在Rt△PAD中，AH    ， PD 15 5 2 15 所以点A到平面PBC 的距离是 ． 5 （2）由（1）知APD就是PA与平面PBC 所成角． 3 15 AD 5 因为AD  ，PD  ，所以在Rt△PAD中，sinAPD   ， 2 2 PD 5 5 即PA与平面PBC 所成角的正弦值为 ． 5 解法二：（1）因为PA底面ABC．所以PA AB，PA AC． 在△ABC中，AB 1，AC  3，ABC 60． 3 1 AC AB ABsinABC 1 2 由正弦定理  ，得sinACB    ， sinABC sinACB AC 3 2 又AB AC ，所以ACBABC 60，所以ACB 30， 于是BAC 90，即AB  AC． AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，     B1,0,0，C 0, 3,0 ，P 0,0, 3 ，         所以PA 0,0, 3 ，BC  1, 3,0 ，PC  0, 3, 3 ．     mBC x 3y 0, 设平面PBC 的法向量mx,y,z，则 取 y 1，则x  3，z 1，   mPC  3y 3z 0,    所以平面PBC 的一个法向量m 3,1,1 ，     PAm 0 301  3 1 15 所以点A到平面PBC 的距离是   ．  m 312 12 5       （2）由（1）知平面PBC 的一个法向量m 3,1,1 ，PA 0,0, 3 ，   0 301  3 1   5 设PA与平面PBC 所成角为，则sin cos PA,m   ， 3 5 5 5 即PA与平面PBC 所成角的正弦值为 ． 5 17．解：（1）设Px,y，Mm,0，N0,n，    因为 MN 2，所以m2 n2 4，2OP 3OM  5ON ，即2x,y3m,0 50,n， 2 2 所以2x 3m，2y  5n，即m x，n  y， 3 5 x2 y2 代入m2 n2 4并化简得动点P的轨迹C的方程为  1． 9 5 x2 y2 5x2   （2）设Px,y，则有  1， y2 5 ，PF 2x,y，PA3x,y， 9 5 9   5x2 4x2 4 9 2 25 PFPA2x3x y2  x2 x65  x1  x   ， 9 9 9 8 16 因为3 x3，9   25   所以当x  时，PFPA取最小值 ；当x 3时，PFPA取最大值6， 8 16    25  所以PFPA的取值范围为  ,6 ．    16  18．（1）证明：因为AB  BC，F是AC的中点，所以AC  FB， 因为平面EAB 平面ABC，平面EAB 平面ABC  AB，EB  AB，EB平面EAB，所以EB   平面ABC， 因为AC 平面ABC，所以EB  AC ， 又AC  FB，EB FB  B，EB，FB平面BEF ，所以AC 平面BEF ．  （2）解：以F为坐标原点，FA，FB所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于BE的直线为z轴，建   立如图所示的空间直角坐标系，则F0,0,0，A1,0,0，B 0, 3,0 ，C1,0,0,   因为EAB 60，AB 2，所以BE 2 3，则E 0, 3,2 3 ，            所以FC 1,0,0，FB  0, 3,0 ，FE  0, 3,2 3 ，CD  AE  1, 3,2 3 ，          设CP tCD  t 3t,2 3t ，0t 1，则FP  FCCP  1t, 3t,2 3t ．  设平面PFB的法向量为mx,y,z，    FBm 3y 0, 则  取x 2 3t，则 y 0，z t1，  FPm1tx 3ty2 3tz 0,    所以平面PFB的一个法向量为m 2 3t,0,t1 ，  显然n1,0,0是平面EFB的一个法向量，   nm   2 3t 21 1 1 所以 cos n,m    ，解得t  或t  （舍），   n m 12t2 t12 7 3 5 21 CP 1 所以线段CD上存在点P，使得平面PFB与平面EFB夹角的余弦值为 ，此时  ． 7 CD 3 19．解：（1）若圆Q经过A，C，则圆心必在AC的垂直平分线x 1上，不合题意；根据题意得圆Q只能过点A，B，D三点， 线段AB的垂直平分线的方程为 3x y2 3 0， 线段AD的垂直平分线的方程为 y 0，  3x y2 3 0, x 2, 联立方程组 解得 y 0, y 0, 所以圆心为2,0，半径为2，所以圆Q的方程为x22  y2 4． （2）设Px,y，因为PA2 PC2 2， 所以x12   y 3 2 x32   y 3 2 2， 化简得x12   y 3 2 4，所以4． 根据题意有 4 2 2 3 4 2，解得208 3208 3． （3）设直线l 的方程为 y kxm，Ex ,y ，Fx ,y ，x x 0 1 1 2 2 1 2 y kxm  由 得  1k2 x2 2km2xm2 0，  x22  y2 4 2km2 m2 所以x  x  ，x x  ， 1 2 1k2 1 2 1k2 y y kx mkx m k2x x kmx  x m2 所以kk  1 2  1 2  1 2 1 2 1 2 x x x x x x 1 2 1 2 1 2 2km2km m2 k2  1k2 1 4k 3，所以m2k， m2 m 1k2 所以直线l 方程为 y kx2，即直线l 过定点2,0．