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2023-2024 学年下学期期末自检
高二数学
一､选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设集合 则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知 ，则复数 （ ）
A. B. C. D.
3. 设 均为单位向量，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知锐角 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知等比数列 是其前 项和， ，则 （ ）
A. B. 8 C. 7 D. 14
6. 通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游
区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，
某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
的
7. 我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形 六面体称为“刍童”.如图，在刍童中， ，平面 与平面 之间的距离为3，则此“刍童”的体积
为（ ）
A. 36 B. 46 C. 56 D. 66
8. 若 ， 分别是双曲线 ： 的右支和圆 ： 上的动点，且 是双曲
线 的右焦点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小繁给出的远项中，有多项待合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 不存在常数项 B. 二项式系数和为1
C. 第4项和第5项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为128
10. 已知函数 ，则（ ）
.
A B. 有两个极值点
C. 点 是曲线 的对称中心 D. 有两个零点
11. 如图，正方体 的棱长为1，点 在截面 内，且 ，则（ ）A. 三棱锥 体积为 B. 线段 的长为
的
C. 点 的轨迹长为 D. 的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数 为奇函数，则 的值为_____________ .
13. 镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之
一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且
米，则云台阁的高度为________米.
14. 设 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，以 为直径的圆与双曲线在第一
象限交于点 ，且 ，则双曲线C的离心率为__.若 内切圆圆心I的横坐标为2，则
的面积为___.
四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共
77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 记 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，且 ，求 的面积．
16. 如图，四棱锥 的底面 是圆柱底面圆的内接矩形， 是圆柱的母线，
， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17. 随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，
一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数量/盒
购物群数量/个 12 18 32 18
（1）求实数 的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；
（2）假设所有购物群销售脐橙的数量 ，其中 为（1）中的平均数， .若该脐
橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在 （单位：盒）内的群为“ 级群”，销售数
量小于256盒的购物群为“ 级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级
群”奖励600元，每个“ 级群”奖励100，对“ 级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群
的个数按四舍五入取整数）附：若 ，则 ， ，
.
.
18 已知椭圆 及直线 ．
（1）若直线 与椭圆没有公共点，求实数 的取值范围；
的
（2） 为椭圆 上一动点，若点 到直线 距离 最大值为 ，求直线 的方程．
19. 设函数 ．
（1）当 ，求 在点 处的切线方程；
（2）证明：当 时， ；
