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祁阳一中 2025 年下学期高二十月月考数学试题
（时量120分钟 满分150分）
第I卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 已知点 、 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
2. 若圆 的半径为2，则实数 的值为（ ）
.
A -9 B. -8 C. 9 D. 8
3. 已知直线 的方向向量是 ，平面 的一个法向量是 ，则 与 的位置关系是
（ ）
A. B.
C. l与α相交但不垂直 D. 或
4. 椭圆的两个焦点是 和 ，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程
是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点．若 ， ，
则下列向量中与 相等的向量是（ ）.
A B.
C. D.
6. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直
线被称为“欧拉线”.已知 的顶点 ， ， ，则 的欧拉线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知 ，从点 射出的光线经x轴反射到直线 上，又经过直线 反射到
点，则光线所经过的路程为（ ）
A. B. 6 C. D.
8. 已知圆 与圆 ，过动点 分别作圆 、圆
的切线 ， （ ， 分别为切点），若 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
的
9. 已知直线l 倾斜角等于 ，且l经过点 ，则下列结论中正确的有（ ）A. 直线l在y轴上的截距为 B. l的一个方向向量为
.
C l与直线 垂直 D. l与直线 平行
10. 已知圆 与圆 有四条公切线，则实数a的取值可能是（
）
A. －4 B. －2 C. D. 3
11. 在棱长为2的正方体 中，点P满足 ， 、 ，则（
）
A. 当 时，点P到平面 的距离为
B. 当 时，点P到平面 的距离为
C. 当 时，存在点P，使得
D. 当 时，存在点P，使得 平面
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 点 到直线 ： 的距离为_________.
13. 已知经过椭圆 的右焦点 作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点， 是椭圆的左
焦点，则 的周长_______．
14. 曲线 与直线 有两个交点，则实数 的取值范围为___________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知 的三个顶点分别为 ，求：（1） 边所在直线的方程；
（2） 边的垂直平分线 的方程．
16. 如图，长方体 中， ，E，F 分别在 上，且
，
（1）求证： 平面AEF；
（2）求异面直线AE与 所成角的余弦值．
17. 已知圆心为C的圆经过点 和 ，且圆心C在直线 上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线 与圆C相交于M，N两点，且 ，求实数a的值．
18. 已知圆 ，线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动，且点 满
足线段 ，记 点的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 斜率为 的直线 与曲线 交于 ， 两点，试探究：
①设 为坐标原点，若 ，这样的直线 是否存在，若存在求出 ；若不存在说明理由；
②求线段 的中点 的轨迹方程.19. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，且 ，以
为邻边作平行四边形 ， 为 的中点， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， 四点在同一个球面上，设该球面的球心O．
（i）证明：球心O在平面 内；
（ii）求平面 与平面 夹角的余弦值．
