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辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量 是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．外切 D．相交
4．一个口袋里装有大小不同的2个红球和4个白球，从中取3个球，则至少含有1个红球和1个白球的取
法有（ ）
A．35种 B．32种 C．16种 D．14种
5．在四面体 中， ， ， ，点 满足 ， 为 的中点，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
6．将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且
最多不超过2人，则不同的分配方案有（ ）
A．90种 B．180种 C．60种 D．120种
7．在三棱锥 中， 两两互相垂直， 为 的中点，且 ，则直线 与
平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．8．已知椭圆 ，过点 的直线l与C交于 两点，若 的中点坐标为 ，
则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在 的展开式中，则（ ）
A．x的系数为135 B．第4项的二项式系数为10
C．无常数项 D．所有项的系数之和为125
10．已知直线 与圆 交于 两点，则（ ）
A．直线 恒过定点 B．圆 与 轴相切
C． 最大值为2 D． 的面积最大值为
11．已知正三棱柱 中， ，且满足 ， ，则
（ ）
A．当 时， 与 所成角的余弦值为
B．当 时，平面 平面
C．存在 ， ，使平面 平面
D．存在 ， ，使二面角 为钝角
三、填空题
12．已知 ， 是双曲线 的左右焦点，点P在双曲线上，若 ，则 .13．计算： .（结果用数字作答）
14．已知椭圆 的左右焦点为 ， ，双曲线 （ ， ）的左右顶点分别
为 ， ，C与D在第一，第二象限的交点为 ，则 ；若直线 ， 的斜
率之积为 ，则D的渐近线方程为 .
四、解答题
15．已知 ， 是椭圆 的焦点， ，且过点 .
(1)求C的方程；
(2)若点P在C上， ，求 的面积.
16．如图，在四棱锥 中，底面ABCD是正方形， 是边长为2的等边三角形， .
(1)证明：平面 平面ABCD：
(2)求二面角 的余弦值.
17．已知点M到定点 的距离比它到直线 的距离小2，记动点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)直线 交C于P，Q两点，点 ，直线AP，AQ的斜率之和为0，求直线 的斜率.
18．如图，四棱锥 中，底面ABCD是正方形， ， ，E、F分别
是线段PA，CD的中点.(1)求EF；
(2)求直线EF与BD所成的角的余弦值.
19．某核磁实验基地建设两条电磁辐射隔离带，两条电磁辐射隔离带的形状可近似的看成双曲线.记双曲线
（ ， ），其渐近线方程为 ，且过点 .
(1)求C的方程；
(2)在点 处存在一个强辐射中心，并释放着一个近似圆形的高能粒子团，记为 ，其半径 可变（
范围不超过隔离带），控制中心为更好的监测高能粒子区域，在点 发射两条与 相切的伽马
射线，两条切线与电磁辐射隔离带分别交于 ， 两点（异于点 ）.若经过 点反射的光线不经过 点，
则系统才能正常工作，为使系统正常运行，需要摆放一个光线屏蔽器，求此光线屏蔽器所在位置的坐标.参考答案
1．C
解析：由直线的方向向量为 可知直线斜率 ，
又因为倾斜角 ，且 ，所以 .
故选：C
2．A
解析：由标准方程 可得 ，即 ；
所以准线方程为 .
故选：A
3．D
解析：圆 的圆心为 ，半径 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
，
，
所以圆 与圆 相交，
故选：D.
4．C
解析：从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球有 种取法，
其中全部为白球有 种取法，
则至少含有1个红球和1个白球的取法有 种.
故选：C.
5．B解析：由题意
，
所以 ，解得 ，
故选：B
6．A
解析：由题先将5名志愿者分成三组有 种分法，
再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有 种分法，
所以所求的不同的分配方案有 种.
故选：A.
7．A
解析：因为 两两互相垂直，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如下
图所示：
由 可设 ，则 ，因此 ，
显然 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ；
所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 .
故选：A
8．B
解析：
由题意得， .
设 ，则 ，
∵点 在椭圆上，∴ ，
两式相减得， ，即 ，
∴ ，∴ ，∴C的离心率 .
故选：B.
9．BC
解析： 的展开式的通项公式为 ，
对于A，令 ，则 ，故 的系数为 ，
故A错误；
对于B，令 ，则 ，故第4项的二项式系数为 ，故B正确；
对于C，因为 为奇数，故展开式中无常数项，故C正确；
对于D，令 ，则所有项的系数之和为 ，故D错误；
故选：BC.
10．BCD
解析：选项A：当 时， ，故直线 恒过定点 ，故A错误；
选项B：圆 的圆心为 ，半径为 ，由圆心到 轴的距离为 ，即等于半径，
故圆 与 轴相切，故B正确；
选项C：由题意 在圆 上，
故当 为圆 的直径时， 最大为2，故C正确；
选项D：设 到 的距离为 ，则 ， ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立.故D正确，
故选：BCD
11．AC
解析：因为三棱柱 是正三棱柱，取 ， 中点 ， ，
分别以 为 轴建立如图所示坐标系，
设 ，则 ， ， ，
， ， ， ，
选项A：当 时， ， ，
此时 与 所成角的余弦值为 ，说法正确；
选项B：当 时， ， ， ，
，
设平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，则 ，解得平面 的一个法向量 ，
，解得平面 的一个法向量 ，
因为 无解，所以平面 与平面 不平行，B说法错误；
选项C：显然当 ， ，即 与 重合， 与 重合时，
由正三棱柱的性质可知平面 平面 ，C说法正确；
选项D：过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，
因为四边形 为正方形，故 ，同理 ，
故 ，故 ，
所以 ，同理 ， ，
所以 ，而 ，
故 ，所以 ，
故 为锐角即 的平面角为锐角，
而 的平面角不超过 的平面角，
故二面角 的平面角小于 ，故D错误.
故选：AC
12．2或14
解析：由双曲线 可知 ，
所以 ，因此 的最小值为 ；再由双曲线定义可知 ，
可知 2或14.
故答案为：2或14
13．
解析：
，
故答案为：
14．
解析：设椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，
则 ，故 ，则 .
由图形对称性得， ，
∴ .
设 ，则 ，则 ， ，
∴ ，
∵点 在双曲线上，∴ ，故 ，
∴ ，解得 ，
∴D的渐近线方程为 ，即 .故答案为： ； .
15．（1）因为 是椭圆短半轴的一个顶点，则 ，
又 ，则 ，
由 ，则 ，
所以C的方程为 .
（2）如下图所示：
根据椭圆的定义及 可得 ①
②
联立①②得 ，
则 的面积为 ，
因为 的面积是 的面积为 ，
所以 的面积为2.
16．（1）证明： 因为 ，所以 .
因为 ， ，所以 平面PCD.
因为 平面ABCD，所以平面 平面ABCD.
（2）法一：因为 ，由（1）可知 平面PCD.
如图所示：在平面PCD内过D作 ，垂足为E，连结AE，
由三垂线定理可得 ，因此 是二面角 的平面角.
在等边 中， ， ，所以 .
于是二面角 的余弦值为 .
法二：以D为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
由（1）可知z轴在平面PCD内.
则 ， ， ， ， .
设平面APC的一个法向量为 ，
由 ，可得 ，可取 .
又 是平面PCD的法向量，故 .
因为二面角 的平面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
17．（1）由点M到点 的距离比它到直线 的距离小2，
得点M到点 的距离等于它到直线 的距离，
因此点M的轨迹C是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，
所以C的方程为 .
（2）由（1）设点 ， ，显然 ，
由直线AP，AQ的斜率之和为0，得 ，解得 ，
所以直线 的斜率 .
18．（1）解法一：以 为基底，则 ， ， .
因为 .
因此
解法二：过点P作 平面ABCD，垂足为Q，连接QB，QD，QA，
由 ， ，所以 ，
在 ， 中，得 ，有 ，则 ，即AQ是 的平分线，
以A为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
由三余弦定理知 ，得 ，
所以 ， ， ， ，
则 ， ，
所以 .
（2）解法一：因为
而 ，所以 ，
于是EF与BD所成的角的余弦值为 .
解法2：
由（1）知 ，所以 ，
于是EF与BD所成的角的余弦值为 .
19．（1）由题意知双曲线的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，
因为双曲线 过点 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 的方程为 .
（2）当过点 的直线与 轴垂直时，不合题意，
设过点 的与圆 相切的直线方程为 ，即
则 与直线相切，得 ，
平方整理得 ，
当 时，不合题意，所以
设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则有 ，设 ， ，
由 得
则有 ， ，
同理 ，
则直线 的斜率
所以直线
所以直线 必过 ，故此光线屏蔽器所在位置的坐标为 .
