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湖南师大附中 2025～2026 学年度高二第一学期第一次大练习
数学
时量：120 分钟 满分：150 分 得分__________
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设 ， 是平面内两个定点，动点 P 满足 ，则 P 点的轨迹方程是（ ）．
A. B.
C. D.
3. 已知 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）
A 若 m∥α，n∥α，则 m∥n B. 若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α
C. 若α∥β，m⊥α，n∥β，则 m⊥n D. 若 m∥n，n α，则 m∥α
⊂
4. 已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 圆 与圆 的位置关系为（ ）．
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
6. 已知实数 x，y 满足 ，且 ，则 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
7. 已知点 ，直线 与直线 交于点 ，则 的值可
以为（ ）．
第 1页/共 4页A. 7 B. 6 C. 8 D. 19
8. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， 为坐标原点．若椭圆 上的点 满
足 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知点 ， 到直线 l 的距离相等，且 l 过点 ，则 l 的方程可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B.
C. 的图象关于点 中心对称
D. 将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则 是
区间 上的增函数
11. 在正方体 中，点 P 为线段 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A.
B. 平面 与平面 所成角的正弦值是
C. 当 时， 的值最小
第 2页/共 4页D. 若平面 上的动点 满足 ，则点 M 的轨迹是椭圆
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12 若直线 与圆 交于 A，B 两点，则 ______．
13. 在正四棱台 中， ，则该棱台 体积为________．
14. 某校举办“数学文化节”，其中一项活动为“多人石头剪刀布挑战赛”．规则如下：每次挑战由 n 名同
学同时参与（ ），每人独立选择出“石头”“剪刀”或“布”中的一种手势．若所有人出的手势完全
相同（如全为石头），或三种手势均同时出现，则视为平局．否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石
头”的规则判定胜负．已知每位同学出每种手势的概率均等，则一次挑战中出现平局的概率为________．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 的面积为 且 ，求 的周长．
16. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有 3 道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是 ，
乙答对每道题目的概率都是 ，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；
（1）求甲、乙两人共答对 5 道题目的概率．
（2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到 题目，则面试通过，否则就一直抽题到第 3 次为止，
求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
17. 已知椭圆 ： 的长轴长为 4，且点 在椭圆 上，其中 是椭圆 的离心率
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若斜率为 的直线 与椭圆 交于 ､ 两点，且点 在第一象限，点 ､ 分别为椭圆 的右顶点
和上顶点，求四边形 面积 的最大值.
18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ．
第 3页/共 4页（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ， ，P，A，B，C 在同一个球面上，球心为 O．
（ⅰ）求 与平面 所成角的正弦值；
（ⅱ）N 为 的中点，线段 上是否存在点 H，使得 H，A，O，N 四点共面？若存在，求出点 H 的位
置；若不存在，说明理由．
19 设函数 ， ．
（1）求证： ；
（2）分别求 和 时函数 的最小值；
（3）求函数 的最小值（用 k 表示）．
参考公式：当 且 时， ．
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