辽宁省实验中学等校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年07月试卷_0723辽宁省五校联考2023-2024学年高二下学期7月期末考试

2023—2024 学年度下学期期末考试高二年级数学科试卷 命题学校：辽宁省实验中学 命题人：马祥 樊本强 校对人：张鑫 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． f  1x  f  1  1．已知函数 f  x  x2  x ，则 lim （ ） x0 2x 3 3 5 5 A． B． C． D． 2 4 2 4 2．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时 还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ） A．0.75 B．0.6 C．0.52 D．0.48 3．已知S 为等差数列 a 的前n项和，a 2a a 20，则S （ ） n n 2 8 18 17 85 A． B．85 C．170 D．340 2  π 2 4．已知命题p：x 0,  ， xsinx x，则命题p的真假以及否定分别为（ ）  2 π  π 2 A．真，p：x 0,  ， xsinx x  2 π  π 2 B．真，p：x 0,  ， xsinx或sinx x  2 π  π 2 C．假，p：x 0,  ， xsinx x  2 π  π 2 D．假，p：x 0,  ， xsinx或sinx x  2 π 5 ． 已 知 随 机 变 量  ，  ， ~ B  9, 1  ， ~ N  ,2  ， 且 E  D  ， 若  3 P 2a1  P 2a 1，则实数a（ ） A．0 B．-1 C．1 D．2   6．集合 xZ ex 1 xe 的子集个数为（ ）（其中e为自然对数的底数） A．2 B．4 C．8 D．16 7．设数列 a 满足a 1，a ln  a 1 m,nN*，若对一切nN*，a 2，则实数m的取值范 n 1 n n1 n 学科网（北京）股份有限公司围是（ ） A．m2 B．1m2 C．m3 D．2m3 8．已知定义在 R 上的单调递增的函数 f  x  满足：任意 xR ，有 f  1x  f  1x 2 ， f  2x  f  2x 4，则下列结论错误的是（ ） ．． A．当xZ时， f  x  x B．任意xR， f x f  x  C．存在非零实数T，使得任意xR， f  xT  f  x  D．存在非零实数k，使得任意xR， f  x kx 1 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．等比数列 a 的公比为q，则下列说法正确的是（ ） n A．  ln a  为等差数列 B．若a a 且a a ，则 a 递增 n 2 1 5 4 n a a  C． a 2a 为等比数列 D． n n2为等比数列 n n1  a2  n 10．甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另 一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当 两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜，在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率 为0.6，每次投球都是相互独立的，若规定两人起始分都为2分，记P  i0,1,2,3,4 为“甲累计总分为i i 时，甲最终获胜”的概率，则（ ） A．一轮比赛中，甲得1分的概率为0.5 B．P  0 0，P  4 1 C．P 0.2P 0.3P 0.5P D． P P  i0,1,2,3 为等差数列 i i1 i1 i i1 i 11．已知函数 f  x  x  ex a 2 ，aR，则下列说法正确的是（ ） A．若a0，则 f  x  x B．aR，使得 f  x 在,上单调递增 C．若x1为 f  x 的极值点，则ae D．aR，坐标平面上存在点P，使得有三条过点P的直线与 f  x 的图象相切 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分． 学科网（北京）股份有限公司12．从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件，记X为所抽取的次品，则E  X ______． 13．已知实数x，y满足x2 xy10，则x2  y2的最小值为______． 3  14．设高斯函数  x  表示不超过x的最大整数（如  2.1 2，  3 3， 1.7 2），已知a n   7 10n   ，   b a ,b a 10a nN*,n2 ,则a ______；b ______． 1 1 n n n1 4 2024 四、解答题，本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）甲、乙两人对局比赛，甲赢得每局比赛的概率为 p  0 p1 ，每局比赛没有平局． 2 （1）若赛制为3局2胜， p ，求最终甲获胜的概率； 3 （2）若赛制为5局3胜，记 f  p 为“恰好进行4局比赛且甲获得最终胜利”的概率，求 f  p 的最大值 及此时p的值． a 1 16．（15分）已知数列 a 满足a  n ，a  ，数列 a 的前n项和为S ，且2S 3n13． n n1 a 1 1 2 n n n n （1）求数列 a ， b 的通项公式； n n  1  （2）求数列 的前n项和为T ． a b  n n n 18．（15分）目前AI技术蓬勃发展，某市投放了一批AI无人驾驶出租车为了了解不同年龄的人对无人驾驶 出租车的使用体验，随机选取了100名使用无人驾驶出租车的体验者，让他们根据体验效果进行评分． （1）现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如 下数据，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关． 好评 差评 合计 青年 20 中老年 10 合计 40 100 （2）设消费者的年龄为x，对无人驾驶出租车的体验评分为y．若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于 x的线性回归方程为yˆ 1.5x15，且年龄x的方差为s2 9，评分y的方差为s2 25．求y与x的相关 x y 系数r，并据此判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当 r 0.75时，认为相关性强， 否则认为相关性弱）． n n  x x  y  y   x x  y  y  i i i i 附：b ˆ i1 ，r  i1 ．  n  x x 2  n  x x 2 n  y  y 2 i i i i1 i1 i1 学科网（北京）股份有限公司n  ad bc 2 独立性检验中的K2  ，其中n  abcd ．  ab  cd  ac  bd  临界值表：   P K2 k 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 0 a  lnx1  18．（17分）已知函数 f  x  lnx 2 ，a0． x （1）求证：x0时，ex  x2； （2）讨论 f  x 的单调性； （3）求证：a0， f  x 恰有一个零点． f  a  f  a  19．（17分）已知函数 f  x ，定义：对给定的常数a，数列 a 满足qa， f a  n ， n n1 a a n 则称数列 a 为函数 f  x 的“L  a —数列”．（ f x 为 f  x 的导函数） n （1）若函数 f  x  x2，数列 a 为函数 f  x 的“L 1 —数列”，且a 1，求 a 的通项公式； n 1 n （2）若函数g  x lnx，数列 a 为函数g  x 的“L  1 —数列”，求证：1a a ； n n1 n （ 3 ） 若 函 数 h  x  x36sinx ， 正 项 数 列  b  为 函 数 h  x  的 “ L  b  — 数 列 ”， 已 知 n b  b,b  ,nN*．记数列 b 的前n项和为S ． n1 n n n 求证：当b0时，S b  n1  b2b ． n n 1 2023—2024 学年度下学期期末考试高二年级数学科试卷 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D A B B C C A C ABD BC ABD 6 12． 13．2 22 14．4285；2 5 四、解答题： 2 2 4 15．【解】（1）设前两局比赛甲赢为事件A，∴P  A     3 9 学科网（北京）股份有限公司2 1 2 8 设前两局比赛甲赢一局且最后甲胜为事件B，∴P  B C1    2 3 3 3 27 20 甲胜的概率为P  A P  B  27 （2）恰进行4局比赛且甲最后胜，则前三局比赛甲赢两局，第四局甲赢 f  p C2p2 1 p  p3p33p4 3 3 ∴ f p 9p2 12p3 3p2 34p ，∴ f p 0 p  4  3  3 当 p 0,  ， f p 0，∴ f  p 在 0,  上为增函数  4  4 3  3  当 p  ,1 ， f p 0，∴ f  p 在  ,1 上为减函数 4  4  3 81 3 ∴ f  p   f    ，此时 p ． max 4 256 4 a 1 1  1  1 16．【解】（1）∵a  n ，∴  1，∴ 是以 2为首项，以1为公差的等差数列 n1 a 1 a a a  a n n1 n n 1 1 1 1 ∴   n1  d 2n1n1，∴a  a a n n1 n 1 ∵2S 3n13，∴2S 3n 3  n2  n n1 3n13n ∴b S S   3n,  n 2  n n n1 2 32 3 当n1，b S   3，符合上式．∴b 3n，nN* 1 1 2 n 1 n1 （2）由（1）得  a b 3n n n 11 21 31  n1 1 n1 ∴T      n 3 32 33 3n1 3n 1 11 21  n1 1 n1 ∴ T     3 n 32 33 3n 3n1 1 1  1  2 2  1 1 1  n1 2 9 3n1 n1 作差： T           3 n 3 32 33 3n 3n1 3 1 3n1 1 3 学科网（北京）股份有限公司5 1 1 n1 ∴T      n 4 3n14 6  17．【解】（1）根据题意可得2×2列联表如下： 好评 差评 合计 青年 20 30 50 中老年 40 10 50 合计 60 40 100 100  20103040 2 因为K2  16.66710.828， 50506040 所以有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关． 1 100 100 （2）因为s2   x x 2 9，所以 x x 2 900， x 100 i i i1 i1 1 100 100 因为s2   y  y 2 25，所以 y  y 2 2500， y 100 i i i1 i1 100  x x  y  y  i i 100 100 因为b ˆ i1 1.5，所以 x x  y  y 1.5 x x 2 1.59001350， 100 i i i  x x 2 i1 i1 i i1 100  x x  y  y  i i 1350 1350 所以相关系数r  i1    0.9， 100 100 9002500 3050  x x 2 y  y 2 i i i1 i1 因为0.9>0.75，所以判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关很强． 18．【解】（1）设g  x  x2ex，x0，则g x  x  2x  ex，x0 易知g  x 在 0,2  上递增，在  2,上递减， 4 所以g  x  g  2  1，即x2ex 1ex  x2． e2 2 alnx  2xa  lnx （2） f  x 定义域为 0,， f x  lnx  ,x0,a0 x x2 x2 ①a2时，可知恒有 f x 0，此时 f  x 在 0,上递增；  a a  ②0a2时，可知x 0,   1,时， f x 0；x  ,1 时， f x 0，  2 2  学科网（北京）股份有限公司 a a  所以此时 f  x 在 0,  和 1,上递增，在  ,1 上递减；  2 2  a   a ③a2时，同理可得 f  x 在 0,1 和  ,  上递增，在 1,  上递减． 2   2 （3）由（2）： ①a2时， f  x 在 0,上递增，因为 f  1 20， f  e2  42e2 0，所以此时 f  x 恰有一 个零点； ②0a2时，因为 f  x 的极小值为 f  1 a0，又由（1）知 f  e 1 1 a    1 1  2 e 1 1 a 0 ，结合    a f  x 的单调性，可知此时 f  x 也恰有一个零点； 2 2 a  a  a   a  ③a2时， f  x 的极小值为 f    ln  2ln 1  ln 1 10， 2  2  2   2  又 f  e2  42e2 0，结合 f  x 的单调性，同样 f  x 也恰有一个零点． 综上，a0， f  x 恰有一个零点． 【说明】用极限代替找点，过程合理，扣2分． a2 1 19．【解】（1） f  x  x2  f x 2x，由题意，有2a  n a 1， n1 a 1 n n 1 1 则a 1  a 1 ，又a 12，所以 a 1 是以2为首项、以 为公比的等比数列， n1 2 n 1 n 2 1 1 所以a 1 ，从而a  1． n 2n2 n 2n2 1 lna （2）由题可得  n ， a a 1 n1 n 1 ①设 x lnxx1， x  1， x 可知当x1时， x 0， x 递减， x  1 0； 当0 x1时， x 0， x 递增， x  1 0 即0 x1时，有lnx x1． lna a 1 1 因为a 1，所以0 1  1 1，即0 1a 1，以此类推，可得a 1； 1 a 1 a 1 a 2 n 1 1 2 1 1 1 ②由0 x1时：lnx x1ln  1lnx1 x x x 学科网（北京）股份有限公司1 1 1 lna a 1 1 1 从而  n  n  ，即  a a ． a a 1 a 1 a a a n1 n n1 n n n n1 n 综上：1a a ． n1 n h  b h  b  （3）先证b 的唯一性．令H  x h  x  n x  x 0 ，则H  b  H  b  n1 b b n n h  b h  b  ∵h b  n ，∴H b 0． n1 b b n1 n ∵ H x h x 6  1cosx 0 ， ∴ x 0, 时 ， H x h x 6  xsinx  递 增 ， H x 0 H x 递增，所以这样的b 是唯一的， n1 且当x 0,b 时，H x 0，H  x 递减；x b ,时，H x 0，H  x 递增． n1 n1 下证：bb 2b ． n n1 令 x H  x H  2b x ，x 0,b ， n1 n1 则 x  H x H 2b x ， x H x H 2b x ， n1 n1 ∵x 0,b ，∴2b x  x ，∴ x 0， x 递减， x  b 0 x 递增 n1 n1 n1 ∴ x  bn1 0即H  x  H  2b x ． n1 取xb 0,b ，得H  b  H  2b b H  b  H  2b b b 2b b，即bb 2b ． n1 n1 n n1 n n1 n n1 累加可得S b  n1  b2b ． n n 1 学科网（北京）股份有限公司