辽宁省实验中学等校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年07月试卷_0723辽宁省五校联考2023-2024学年高二下学期7月期末考试

2023—2024 学年度下学期期末考试高二年级数学科试卷
命题学校：辽宁省实验中学
命题人：马祥 樊本强 校对人：张鑫
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
f  1x  f  1 
1．已知函数 f  x  x2  x ，则 lim （ ）
x0 2x
3 3 5 5
A． B． C． D．
2 4 2 4
2．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时
还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ）
A．0.75 B．0.6 C．0.52 D．0.48
3．已知S 为等差数列 a 的前n项和，a 2a a 20，则S （ ）
n n 2 8 18 17
85
A． B．85 C．170 D．340
2
 π 2
4．已知命题p：x 0,  ， xsinx x，则命题p的真假以及否定分别为（ ）
 2 π
 π 2
A．真，p：x 0,  ， xsinx x
 2 π
 π 2
B．真，p：x 0,  ， xsinx或sinx x
 2 π
 π 2
C．假，p：x 0,  ， xsinx x
 2 π
 π 2
D．假，p：x 0,  ， xsinx或sinx x
 2 π
5 ． 已 知 随 机 变 量  ，  ， ~ B  9, 1  ， ~ N  ,2  ， 且 E  D  ， 若
 3
P 2a1  P 2a 1，则实数a（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．2
 
6．集合 xZ ex 1 xe 的子集个数为（ ）（其中e为自然对数的底数）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．设数列 a 满足a 1，a ln  a 1 m,nN*，若对一切nN*，a 2，则实数m的取值范
n 1 n n1 n
学科网（北京）股份有限公司围是（ ）
A．m2 B．1m2 C．m3 D．2m3
8．已知定义在 R 上的单调递增的函数 f  x  满足：任意 xR ，有 f  1x  f  1x 2 ，
f  2x  f  2x 4，则下列结论错误的是（ ）
．．
A．当xZ时， f  x  x
B．任意xR， f x f  x 
C．存在非零实数T，使得任意xR， f  xT  f  x 
D．存在非零实数k，使得任意xR， f  x kx 1
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．等比数列 a 的公比为q，则下列说法正确的是（ ）
n
A．  ln a  为等差数列 B．若a a 且a a ，则 a 递增
n 2 1 5 4 n
a a 
C． a 2a 为等比数列 D． n n2为等比数列
n n1

a2

n
10．甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另
一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当
两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜，在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率
为0.6，每次投球都是相互独立的，若规定两人起始分都为2分，记P  i0,1,2,3,4 为“甲累计总分为i
i
时，甲最终获胜”的概率，则（ ）
A．一轮比赛中，甲得1分的概率为0.5 B．P  0 0，P  4 1
C．P 0.2P 0.3P 0.5P D． P P  i0,1,2,3 为等差数列
i i1 i1 i i1 i
11．已知函数 f  x  x  ex a 2 ，aR，则下列说法正确的是（ ）
A．若a0，则 f  x  x
B．aR，使得 f  x 在,上单调递增
C．若x1为 f  x 的极值点，则ae
D．aR，坐标平面上存在点P，使得有三条过点P的直线与 f  x 的图象相切
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分．
学科网（北京）股份有限公司12．从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件，记X为所抽取的次品，则E  X ______．
13．已知实数x，y满足x2 xy10，则x2  y2的最小值为______．
3 
14．设高斯函数  x  表示不超过x的最大整数（如  2.1 2，  3 3， 1.7 2），已知a
n

 7
10n
 
，
 
b a ,b a 10a nN*,n2 ,则a ______；b ______．
1 1 n n n1 4 2024
四、解答题，本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）甲、乙两人对局比赛，甲赢得每局比赛的概率为 p  0 p1 ，每局比赛没有平局．
2
（1）若赛制为3局2胜， p ，求最终甲获胜的概率；
3
（2）若赛制为5局3胜，记 f  p 为“恰好进行4局比赛且甲获得最终胜利”的概率，求 f  p 的最大值
及此时p的值．
a 1
16．（15分）已知数列 a 满足a  n ，a  ，数列 a 的前n项和为S ，且2S 3n13．
n n1 a 1 1 2 n n n
n
（1）求数列
a
，
b
的通项公式；
n n
 1 
（2）求数列 的前n项和为T ．
a b  n
n n
18．（15分）目前AI技术蓬勃发展，某市投放了一批AI无人驾驶出租车为了了解不同年龄的人对无人驾驶
出租车的使用体验，随机选取了100名使用无人驾驶出租车的体验者，让他们根据体验效果进行评分．
（1）现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如
下数据，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关．
好评 差评 合计
青年 20
中老年 10
合计 40 100
（2）设消费者的年龄为x，对无人驾驶出租车的体验评分为y．若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于
x的线性回归方程为yˆ 1.5x15，且年龄x的方差为s2 9，评分y的方差为s2 25．求y与x的相关
x y
系数r，并据此判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当 r 0.75时，认为相关性强，
否则认为相关性弱）．
n n
 x x  y  y   x x  y  y 
i i i i
附：b ˆ i1 ，r  i1 ．
 n  x x 2  n  x x 2 n  y  y 2
i i i
i1 i1 i1
学科网（北京）股份有限公司n  ad bc 2
独立性检验中的K2  ，其中n  abcd ．
 ab  cd  ac  bd 
临界值表：
 
P K2 k 0.050 0.010 0.001
0
k 3.841 6.635 10.828
0
a  lnx1 
18．（17分）已知函数 f  x  lnx 2 ，a0．
x
（1）求证：x0时，ex  x2；
（2）讨论 f  x 的单调性；
（3）求证：a0， f  x 恰有一个零点．
f

a

f

a

19．（17分）已知函数 f  x ，定义：对给定的常数a，数列 a 满足qa， f a  n ，
n n1 a a
n
则称数列
a
为函数
f

x
的“L 
a
—数列”．（ f
x
为
f

x
的导函数）
n
（1）若函数 f  x  x2，数列 a 为函数 f  x 的“L 1 —数列”，且a 1，求 a 的通项公式；
n 1 n
（2）若函数g  x lnx，数列 a 为函数g  x 的“L  1 —数列”，求证：1a a ；
n n1 n
（ 3 ） 若 函 数 h  x  x36sinx ， 正 项 数 列  b  为 函 数 h  x  的 “ L  b  — 数 列 ”， 已 知
n
b  b,b  ,nN*．记数列 b 的前n项和为S ．
n1 n n n
求证：当b0时，S b  n1  b2b ．
n n 1
2023—2024 学年度下学期期末考试高二年级数学科试卷
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D A B B C C A C ABD BC ABD
6
12． 13．2 22 14．4285；2
5
四、解答题：
2
2 4
15．【解】（1）设前两局比赛甲赢为事件A，∴P  A    
3 9
学科网（北京）股份有限公司2 1 2 8
设前两局比赛甲赢一局且最后甲胜为事件B，∴P  B C1   
2 3 3 3 27
20
甲胜的概率为P  A P  B 
27
（2）恰进行4局比赛且甲最后胜，则前三局比赛甲赢两局，第四局甲赢 f  p C2p2 1 p  p3p33p4
3
3
∴ f p 9p2 12p3 3p2 34p ，∴ f p 0 p 
4
 3  3
当 p 0,  ， f p 0，∴ f  p 在 0,  上为增函数
 4  4
3  3 
当 p  ,1 ， f p 0，∴ f  p 在  ,1 上为减函数
4  4 
3 81 3
∴ f  p   f    ，此时 p ．
max 4 256 4
a 1 1  1  1
16．【解】（1）∵a  n ，∴  1，∴ 是以 2为首项，以1为公差的等差数列
n1 a 1 a a a  a
n n1 n n 1
1 1 1
∴   n1  d 2n1n1，∴a 
a a n n1
n 1
∵2S 3n13，∴2S 3n 3  n2 
n n1
3n13n
∴b S S   3n,  n 2 
n n n1 2
32 3
当n1，b S   3，符合上式．∴b 3n，nN*
1 1 2 n
1 n1
（2）由（1）得 
a b 3n
n n
11 21 31  n1 1 n1
∴T     
n 3 32 33 3n1 3n
1 11 21  n1 1 n1
∴ T    
3 n 32 33 3n 3n1
1 1 
1

2 2  1 1 1  n1 2 9 3n1 n1
作差： T          
3 n 3 32 33 3n 3n1 3 1 3n1
1
3
学科网（北京）股份有限公司5 1 1 n1
∴T  



n 4 3n14 6 
17．【解】（1）根据题意可得2×2列联表如下：
好评 差评 合计
青年 20 30 50
中老年 40 10 50
合计 60 40 100
100  20103040 2
因为K2  16.66710.828，
50506040
所以有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关．
1 100 100
（2）因为s2   x x 2 9，所以 x x 2 900，
x 100 i i
i1 i1
1 100 100
因为s2   y  y 2 25，所以 y  y 2 2500，
y 100 i i
i1 i1
100
 x x  y  y 
i i 100 100
因为b ˆ i1 1.5，所以 x x  y  y 1.5 x x 2 1.59001350，
100 i i i
 x x 2 i1 i1
i
i1
100
 x x  y  y 
i i 1350 1350
所以相关系数r  i1    0.9，
100 100 9002500 3050
 x x 2 y  y 2
i i
i1 i1
因为0.9>0.75，所以判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关很强．
18．【解】（1）设g  x  x2ex，x0，则g x  x  2x  ex，x0
易知g  x 在 0,2  上递增，在  2,上递减，
4
所以g  x  g  2  1，即x2ex 1ex  x2．
e2
2 alnx  2xa  lnx
（2） f  x 定义域为 0,， f x  lnx  ,x0,a0
x x2 x2
①a2时，可知恒有 f x 0，此时 f  x 在 0,上递增；
 a a 
②0a2时，可知x 0,   1,时， f x 0；x  ,1 时， f x 0，
 2 2 
学科网（北京）股份有限公司 a a 
所以此时 f  x 在 0,  和 1,上递增，在  ,1 上递减；
 2 2 
a   a
③a2时，同理可得 f  x 在 0,1 和  ,  上递增，在 1,  上递减．
2   2
（3）由（2）：
①a2时， f  x 在 0,上递增，因为 f  1 20， f  e2  42e2 0，所以此时 f  x 恰有一
个零点；
②0a2时，因为 f  x 的极小值为 f  1 a0，又由（1）知 f  e 1 1 a    1 1  2 e 1 1 a 0 ，结合
   a
f

x
的单调性，可知此时
f

x
也恰有一个零点；
2 2
a  a  a   a 
③a2时， f  x 的极小值为 f    ln  2ln 1  ln 1 10，
2  2  2   2 
又 f  e2  42e2 0，结合 f  x 的单调性，同样 f  x 也恰有一个零点．
综上，a0， f  x 恰有一个零点．
【说明】用极限代替找点，过程合理，扣2分．
a2 1
19．【解】（1） f  x  x2  f x 2x，由题意，有2a  n a 1，
n1 a 1 n
n
1 1
则a 1  a 1 ，又a 12，所以 a 1 是以2为首项、以 为公比的等比数列，
n1 2 n 1 n 2
1 1
所以a 1 ，从而a  1．
n 2n2 n 2n2
1 lna
（2）由题可得  n ，
a a 1
n1 n
1
①设 x lnxx1， x  1，
x
可知当x1时，
x
0，
x
递减，
x

1
0；
当0 x1时， x 0， x 递增， x  1 0
即0 x1时，有lnx x1．
lna a 1 1
因为a 1，所以0 1  1 1，即0 1a 1，以此类推，可得a 1；
1 a 1 a 1 a 2 n
1 1 2
1 1 1
②由0 x1时：lnx x1ln  1lnx1
x x x
学科网（北京）股份有限公司1
1
1 lna a 1 1 1
从而  n  n  ，即  a a ．
a a 1 a 1 a a a n1 n
n1 n n n n1 n
综上：1a a ．
n1 n
h

b
h 
b

（3）先证b 的唯一性．令H  x h  x  n x  x 0 ，则H  b  H  b 
n1 b b n
n
h

b
h 
b

∵h b  n ，∴H b 0．
n1 b b n1
n
∵ H x h x 6  1cosx 0 ， ∴ x 0, 时 ， H x h x 6  xsinx  递 增 ，
H x 0 H x 递增，所以这样的b 是唯一的，
n1
且当x
0,b
时，H
x
0，H 
x
递减；x
b
,时，H
x
0，H 
x
递增．
n1 n1
下证：bb 2b ．
n n1
令 x H  x H  2b x ，x 0,b ，
n1 n1
则 x  H x H 2b x ， x H x H 2b x ，
n1 n1
∵x 0,b ，∴2b x  x ，∴ x 0， x 递减， x  b 0 x 递增
n1 n1 n1
∴ x  bn1 0即H  x  H  2b x ．
n1
取xb 0,b ，得H  b  H  2b b H  b  H  2b b b 2b b，即bb 2b ．
n1 n1 n n1 n n1 n n1
累加可得S b  n1  b2b ．
n n 1
学科网（北京）股份有限公司