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雅礼中学 2025 年下学期 10 月质量检测试卷
高二数学
时量：120 分钟 分值：150 分
命题人：陈智 审题人：陈朝阳，赵红顺
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数 ，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【详解】 ，
所以 .
故选：D.
2. 已知椭圆 的方程为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据椭圆的简单几何性质计算可得.
【详解】因为椭圆 的方程为 ，
所以 ，则
所以 的离心率为 ．
故选：B
第 1页/共 21页3. 如图，在平行六面体 ABCD﹣ABC D 中，M 为 AC 与 BD 的交点．若 ， ，
1 1 1 1 1 1 1 1
，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出．
【详解】 ，
故选：B．
4. 已知直线的一个方向向量为 ，其倾斜角为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求得直线的斜率为 ，可得 ，将所求的式子转化为齐次式，弦化切得解.
【详解】因为直线的一个方向向量为 ，
所以直线的斜率为 ，即 ，
第 2页/共 21页故选：B．
5. 已知 的方差为 3，则 的方差为（ ）
A. 6 B. 7 C. 12 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】利用方差的性质求解即可.
【详解】因为 的方差为 3，
所以 的方差为 .
故选：C.
6. 已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为 和 ，另一组对边所在的直
线方程分别为 和 ，则 （ ）
A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线间距离求值.
【详解】 与 间距离 ，
与 间距离 ，
又由正方形可知 ，
即 ，
解得 ，
故选：D.
7. “ ”是“直线 与曲线 恰有 1 个公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
第 3页/共 21页【答案】A
【解析】
【 分 析 】 先 分 析 曲 线 图 形 ， 再 结 合 直 线 与 该 曲 线 的 位 置 关 系 ，
再 判 断
“ ” 与 “直线 与曲线 恰有 1 个公共点” 之间的条件关系.
【详解】曲线 表示圆心 ，半径为 的圆的上半部分（包括与 轴的交点），
直线 的斜率为 1，在 轴上的截距为 ，
当直线 与曲线 恰有 1 个公共点时，该直线与曲线相切或有一个交点，
如图所示：
相切时，圆心 到直线 距离等于 2，则 ，
即 或 （舍去，因为当 时与下半部分相切，不符合题意）.
由图象可知，有一个交点时， .
综上可知，当直线 与曲线 恰有 1 个公共点时， 或 .
于是，当“ ”时，直线“ 与曲线 恰有 1 个公共点”，则充分性成立；
当直线 与曲线 恰有 1 个公共点时， 或 ，则必要性不成立.
所以， “ ”是“直线 与曲线 恰有 1 个公共点”的充分不必要条件.
故选：A
8. 已知正方体 的棱长为 ，空间中的点 满足： ，其中
，且 ，则点 的轨迹的长度为（ ）
A. B. C. D.
第 4页/共 21页【答案】C
【解析】
【分析】易得 平面 ，设 为 的交点，利用正方体的性质及线面垂直的判定定理得
平面 ，进而可得 ，在平面 中建立平面直角坐标系，设 ，
求出点 的轨迹方程，即可求解.
【详解】因为 ，所以 平面 ，
如图 1 所示，设 为 的交点，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为点 平面 ，故 平面 ，
所以 ，则 ，
因为正方体的棱长为 ，所以 ，即 ，
在平面 内建立平面直角坐标系，如图 2 所示，
则 ，
第 5页/共 21页设 ，
则 ， ，
所以 ，
又 ，故 ，即 ，
整理得 ，即 ，
故点 的轨迹是半径为 的圆，所以点 的轨迹长度为 ．
故选：C．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知圆锥的顶点为 ， 为底面直径， 是面积为 1 的直角三角形，则（ ）
A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为
C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据圆锥轴截面的形状以及面积可得 A 正确，求出母线长以及底面半径可计算出 B 正确，C 错误，
由侧面展开图计算即可求出 D 正确.
【详解】设该圆锥的母线长为 ，如下图所示：
第 6页/共 21页因为轴截面 是面积为 1 的直角三角形，即 为直角；
所以 ，解得 ，A 正确；
设该圆锥的底面圆心为 ，在 中， ，所以 ，
则圆锥的高 ，所以该圆锥的体积 ，
侧面积为 ，B 正确、C 错误；
设该圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，则 ，
所以 ，D 正确．
故选：ABD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若直线 与直线 平行，则
B. ，都有原点 在圆 外
C. 一条光线从点 射出，经 轴反射后，与圆 相切，则反射后光线
所在的直线方程为
D. 圆 与圆 的公切线恰有 2 条
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、光线反射问题以及两圆的公切线问题，需要逐
一分析每个选项.
【详解】若两直线 与 平行，需满足 ，
由 得 ，解得 或 ；
当 时，两直线分别为 和 ，平行；
当 时，两直线分别为 和 ，平行；
所以 和 都满足条件，故 A 选项错误；
将原点 代入圆 的左边得 ，右边为 ，
第 7页/共 21页比较 与 ： ，即原点到圆心的距离的平方大于半径的平方，所以原点在圆
外，故 B 选项正确；
点 关于 轴 对称点为 ，反射光线过 且与圆 相切，
设反射光线方程为 ，即 ，
由圆心 到直线的距离等于半径 ，得 ，即 ，
化简得： ，解得 或 ，
反射光线方程为 或 ，故 C 选项错误；
圆 化为标准方程： ，圆心 ，半径 ；
圆 化为标准方程： ，圆心 ，半径 ，
两圆心距 ，
因为 ，两圆相交，公切线有 条，故 D 选项正确.
故选：BD.
11. 已知 ，则（ ）
A. B. 的最大值为 26
C. 的最小值是 D. 的最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】 变形为 ，从而可得 表示圆上一点 与定点 所在直线的斜
率加上 ，进而可判断 A； 结合 的范围即可判断 B； 表示圆
上一点 到直线 的距离的 倍，进而可判断 C；化简 D 选项可知 D 表示圆上一点
到点 距离之差的 2 倍，由此求解可判断 D.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
第 8页/共 21页对于 A， ，
则 表示圆上一点 与定点 所在直线的斜率加上 ，
由图可知，过点 与圆 相切得的线斜率存在，
设切线方程为 ，即 ，
则 ，解得 或 ，
由图可知， ，
所以 ，故 A 正确；
对于 B，由 ，得 ，
则 ，
所以 的最大值为 ，故 B 正确；
对于 C，圆上一点 到直线 的距离为 ，
，所以求 的最小值，即求 ，
所以 即为 到直线 的距离减半径，
到直线 的距离为 ，
所以 ，
第 9页/共 21页所以 的最小值为 ，故 C 错误；
对于 D，因为 ，
所以
，
表示圆上一点 到点 距离之差的 2 倍，
所以 ，
当 （ 在 两点中间）三点在一条直线上时取等，
所以 的最大值是 ，故 D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 是相互独立事件，且 ，则 _____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据独立事件的乘法公式求出 ，再根据 求解即
可.
【详解】因为 是相互独立事件，
所以 ，
则 .
故答案为： .
13. 直线 ： 与直线 ： 交于点 Q，m 是实数，O 为坐标原点，则 的最
大值是______．
【答案】
【解析】
第 10页/共 21页【分析】利用两点间距离公式求出 ，再分析得到最值即可.
【详解】因为 ： 与直线 ： 的交点坐标为 ，
所以 ，
若 最大，则 最小，则 最小，
而 ，当且仅当 时取等，此时 ，
所以 的最大值是 ．
故答案为：
14. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，上顶点为 ，过 且垂直于 的直线与 交于
、 两点，则 的周长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件可得 ，然后根据椭圆的定义求解即可.
【详解】由椭圆 ，得 ，
则 ，所以 ，
过 且垂直于 的直线与椭圆 交于 两点，
所以 为线段 的垂直平分线，
所以 ，
则 的周长为
.
故答案为： .
第 11页/共 21页四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更
是文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从
所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六
段： 得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）求样本成绩的平均数和众数；
（3）用分层抽样的方法在分数落在 内的答卷中随机抽取一个容量为 5 的样本，现将该样本看成一
个总体，再从中任取 2 份，求至多有 1 份答卷的分数在 内的概率．
【答案】（1） ；
（2） ； ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）由各矩形对应频率之和为 1，可得答案；
（2）由频率分布直方图计算平均数，众数可得答案；
（3）由题可得应从 中抽 2 个，从 中抽 3 个，然后设 中的样本为： ，
中的样本为： ，由列举法可得答案.
【小问 1 详解】
第 12页/共 21页由题， ，则 ；
【小问 2 详解】
由（1），平均数为： ；
由频率分布直方图 这组频率最高，则中众数为： ；
【小问 3 详解】
落在 内的样本容量为： ，
落在 内的样本容量为： .
则应从 中抽 2 个，从 中抽 3 个.
设 中的样本为： ， 中的样本为： .
则从中任取 2 份的情况有：
， ，共 10 种.
分数在 内有： 共 7 种，
则至多有 1 份答卷的分数在 内的概率为： .
16. 已知 ， ， 分别是 的内角 ， ， 的对边，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】（1）根据 ，利用正弦定理得到 ，再利用两角和的正弦公式求解；
（2）由三角形的面积得到 a，b 的关系，再结合（1）的结论，利用余弦定理求解.
【小问 1 详解】
解：在 中， ，
由正弦定理得： ，则 ，
第 13页/共 21页即 ，即 ，
由正弦定理得 ，即 ；
【小问 2 详解】
由 ，得 ，
则 ，得 ，
由余弦定理得 ，
即 ，整理得 ，
即 ，解得 ，
则 ，
所以 的周长为 .
17. 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， ， ，
平面 ，且 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，可证四边形 为平行四边形，可得 ∥ ，可证结
论；
第 14页/共 21页（2）以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 与
平面 的一个法向量，再根据二面角的余弦公式求解即可.
小问 1 详解】
取 中点 ，连接 ， ，
∵ ， ，点 为 中点， ∴ ，
又 ∥ ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ∥ ， ，∵ 为正方形，
∴ ∥ ， ，∴ ∥ ， ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ∥ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ ∥平面 ．
【小问 2 详解】
以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
第 15页/共 21页，令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
，令 ，则 ， ，所以 ，
，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
18. 已知过定点 的直线 被圆 截得的弦长为 ．
（1）求直线 的方程．
（2）线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动， 是线段 的中点，记点 的轨迹为
曲线 ．
（i）求曲线 方程；
（ii）已知点 为直线 上一动点，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 、 ，判断直线
是否过定点?求出该定点，并说明理由；
【答案】（1） 或
（2）（i） ；（ii）过定点 ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆 弦长公式求出圆心到直线的距离，分直线 的斜率是否存在两种情况，再根据点到直
线的距离等于半径即可得解；
（2）（i）设 ，由 M 是线段 的中点，可得 ，代入圆的方程化
简可得结果；
（ii）由题意可得 在以 为直径的圆上，求出以 为直径的圆的方程，进而求出公共弦 所在直
线的方程，进而可得出结论.
【小问 1 详解】
第 16页/共 21页圆 的圆心为 ，半径 ，
设圆心到直线 的距离为 ，
则 ，所以 ，
当直线 的斜率不存在时，方程为 ，圆心到直线 的距离为 ，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设方程为 ，即 ，
则圆心 到直线的距离为 ，解得 或 ，
时，直线 的方程为 ，
时，直线 的方程为 ，即 ，
综上所述，直线 的方程为 或 ；
【小问 2 详解】
（i）设点 ，
由点 的坐标为 ，且 是线段 的中点，
则 ，可得 ，即 ，
因为点 在圆 上运动，所以点 坐标满足圆的方程 ，
即 ，整理得 ，
所以点 的轨迹方程为 ；
（ii）圆 的圆心 ，半径 ，
第 17页/共 21页因为点 为直线 上一动点，
则可设 ，
因为 都是圆 的切线，
所以 ，
所以 也在以 为直径的圆上，
以 为直径的圆的圆心为 ，
半径为 ，
所以以 为直径的圆的方程为 ，
即 ①，
化为 ②，
由① ②整理得 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，
令 ，解得 ，
所以直线 过定点 .
第 18页/共 21页19. 已知椭圆 的两个焦点为 和 ，点 为椭圆 的上顶点， 为等腰直角三角形．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 为椭圆 上一动点，求点 到直线 距离的最值；
（3）分别过 ， 作平行直线 ，若直线 与曲线 交于 两点，直线 与曲线 交于 两点，
其中点 在 轴上方，求四边形 的面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）最大值为 ，最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出 即可得解；
（2）求出与直线 平行且与椭圆相切直线方程，则切线与 的距离即为
最值；
（3）设直线 方程为 ，则直线 的方程为 ， ，联立方程，利用
韦达定理求出 ，再根据弦长公式求出 ，利用两平行直线间的距离公式求出 间的距离，
第 19页/共 21页从而可得出四边形 的面积的表达式，进而可得出答案.
【小问 1 详解】
由题意得 ，
因为点 为椭圆 的上顶点， 为等腰直角三角形，
所以 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
设与直线 平行且与椭圆相切直线方程为 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，解得 ，
平行直线 与 的距离 ，
所以 ，
所以点 到直线 距离的最大值为 ，最小值为 ；
【小问 3 详解】
由题意可得直线 的斜率不为零，
设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，消 得 ，
设 ，
第 20页/共 21页则 ，
则 ，
直线 之间的距离 ，
则四边形 的面积 ，
令 ，则 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
又 ，所以 ，所以 ，
由椭圆的对称性可得四边形 的面积 ，
所以四边形 的面积的取值范围为 .
