高二年级数学试卷
时间： 120 分钟分数： 150 分
试卷说明：试卷共两部分： 第一部分： 选择题型（ 1-11 题 58 分）
第二部分：非选择题型（ 12-19 题 92 分）
第 I 卷（ 选择题共 58 分）
一 、单选题（ 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题所给的四个选项中，有且只
有一项是符合题目要求的）
1. 直线 的倾斜角为 ( )
A. 45° B. 30° C. 60° D. 120°
2. 若直线 X+Y-M=0 被圆 C ： 截得的弦长为 ，则 m= ( )
A. 2 B. J5 C. D.
3. 今有 2 个红球 、2 个黄球 、3 个白球， 同色球不加以区分 ，将这 7 个球排成—列的不同方法有
A. 210 种 B. 162 种 C. 720 种 D. 840 种
4. 若 (a+x)(l+x)" 的展开式关于 x 的系数和为 64，则展开式中含 x' 项的系数为
A. 26 B. 18 C. 12 D. 9
5. 关于空间向量， 以下说法正确 是 ( )
A. 若对空间中任意—点 ，有 ，则 P、A 、B 、C 四点共面
i-t2-al b=(1,2,1) a j
B. 已知向量
， ，
则 在 上的投影向量为
C. 若直线 的方向向量为 »=(1,-1,1) ， 平面 a 的法向量为 i=(-1, l,-1) ，则直线
D. 点 M(3,2,1) 关于平面YOZ 对称的点的坐标是(3,-2,-I)
F p c o
6. 已知 为椭圆 的右焦点 ， 为椭圆 上—点， 为圆 上—点
，则 IPQ I- IPF I的最小值为 ( )
A. －5 B. －4 C. －3 D. －2
7. 如图所示 ，在棱长为2 的正方体ABC D-AB, CD 中 ，E 、F 分别为棱dA 和 BB, 的中点， 以 D 为原
点，
第 1页/共 5页DA ， DC ， 所在直线为 x、y 、z 轴建立空间直角坐标系 ，则下列结论正确的是 ( )
A.
B. 是平面 EFD 的—个法向量
C. 直线CF 与平面EFD夹角的正弦值为
D. 点 C 到平面 EFD 的距离为
8. 已知双曲线 C： 的左焦点为 F，过 F 作双曲线 C 的—条渐近线的垂线 ，垂足
为
A， 并与双曲线 C 交于点 B， 且有所=2丽 ，则双曲线 C 的渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
二 、多选题（ 本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题所给的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分）
9. 下列有关说法错误的是 ( )
A. 在 展开式中无常数项
B. 5s"除以 8 的余数为 1
C. 已知 ，则 x 的取值为 7.
D. 甲 、乙 、丙 、丁 4 个人到3 个国家做学术交流 ，每人只去—个国家 ，每个国家都需要有人去 ，则不
同的安排方法有 36 种
10. 已知抛物线 的焦点为 F,M,N 是抛物线上两点 ，则下列结论正确的是 ( )
第 2页/共 5页F
A. 点 的坐标为
B. 直线l: y- x+1= 0 与抛物线c 相切
C. 已知点A(1,4)
，
则达MAF 的周长最小值为而+5
D. 若 ，则 的面积为
11. 如图 ，已知正方体ABC D-ABC D的棱长为2,M 是 DD, 的中点， N 为正方形ABCD 所在平面
内—动点 ，则下列结论正确的是 ( )
A. 若 N 到直线 与直线DC 的距离相等 ，则 N 的轨迹为抛物线
B. 若MN = 2 ，则 MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为
C. 若直线MN 与平面ABCD 所成的角为60e ，则 N 的轨迹为椭圆
D. 若直线D,W 与直线AB 所成的角为 ，则 N 的轨迹为双曲线
第Ⅱ卷（ 非选择题共 92 分）
三、填空题（ 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分）
12 . 直线 l: mx-y+2-3m=0(meR) 与圆 c: x2+y2-2y-15=0 交于两点p、Q ， 则弦长 Irg 的
最小值是___________.
13. 如 图 ， 在 平 行 六 面 体 中 ， ，
， , 则直线 与直线 所成角的余弦值为_____.
第 3页/共 5页14. 加斯帕尔•蒙日是 18~ 19 世纪法国著名的几何学家 ，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线
的交点都在同—个圆上， 其圆心是椭圆的中心， 这个圆被称为“蒙日圆” .已知椭圆
p p c
，若直线 上存在点 ， 过 可作 的两条互相垂直的切线 ，则椭圆离心率的取值范
围是
__________.
四、解答题（ 共 77 分）
(3x-2)"=a,+ax+az x+…+ax"
15 . 已知 ， 且展开式中有且仅有第6 项 二项式系数最大.
（1） 求(GX-2)"展开式的所有二项式系数之和；
（2） 求 的值；
（3） 判断 (3x-2)" 的展开式中第几项系数的绝对值最大.
16 . 如图 ， 四棱锥P-ABC D 中 ， 四边形ABCD 为直角梯形 ， 平面PAB上 平面ABC D, PA上AB ．
.
（1） 求平面PBC 与平面PAD 夹角 余弦值；
（2）若点E在 上 且 PE=AP B(0<入<I)
， ．
（i） 当 时， 求P到平面AEC 的距离：
（ii） 是否存在 ，使得PD 与平面 AEC 所成角的正弦值为 ？ 若存在 ，请求出 : 的值；若不存在 ，
请
第 4页/共 5页说明理由．
17. 已知椭圆 上的点到其右焦点F(1,0) 的最大距离为 3．
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 设椭圆的左 、右顶点分别为A,B ， 过点F 的直线 与椭圆交于M,N 两点（ 异于A,B ）．
e4N
①若 的面积为 ， 求直线 的方程；
②若直线AN 与直线BM 交于点P ，证明：点P在—条定直线上．
18. 如图，在正四棱锥P-ABC D 中，所有棱长都相等，点 E,F 分别是棱PC, PB 中点，点 G 在棱AB
上，且 .
（1）若 证明： cri 平面 BDE ；
，
（2） 当异面直线GF 与 BD 所成角为 时， 求实数 的值；
（3） 求平面BDE 与平面PDG 夹角余弦值的取值范围.
C F C
19. 已知双曲线 ： 的实轴长为 ，右焦点 到双曲线 的渐近线距离为 .
（1） 求双曲线 方程；
（2）过点E(2,0) 作直线 交双曲线的右支于A,B 两点，连接A0 并延长交双曲线左支于点P( 为坐标
原点）， 求SPAB 的面积的最小值；
（3） 设定点T lt,0) ， 过点 r 的直线 交双曲线 C 于 M,N 两点， M,N 不是双曲线的顶点 ，若在双
曲线C 上存在—点 ，使得直线SM 的斜率与直线SN 的斜率之和为定值， 求实数 的取值范围.
第 5页/共 5页高二年级数学试卷
时间： 120 分钟分数： 150 分
试卷说明：试卷共两部分： 第一部分： 选择题型（ 1-11 题 58 分）
第二部分：非选择题型（ 12-19 题 92 分）
第 I 卷（ 选择题共 58 分）
一 、单选题（ 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题所给的四个选项中，有且只
有一项是符合题目要求的）
3x-FY-2=0
1 . 直线 的倾斜角为 ( )
A. 45° B. 30° C. 60° D. 120°
【答案】 C
【解析】
【分析】 首先通过直线方程求出直线斜率， 进而求出直线倾斜角 .
【详解】 已知直线 的斜率为 ，
由于直线倾斜角的取值范围是 ， 故该直线的倾斜角为 60° .
故选：C.
1+y-m0 c m=
2. 若直线 被圆 ： 截得的弦长为 ，则 ( )
5
A. 2 B. C. D.
【答案】 C
【解析】
【分析】 由弦长公式可得 ， 再根据点到直线的距离公式求解即可．
c(1,-1) x+y-M =0 d c r=2
【详解】 设圆心 到直线 的距离为 圆 的半径
， ，
则弦长为 ，
解得 ，
,
解得m = 生2
．
第 1页/共 24页故选：C．
3. 今有 2 个红球 、2 个黄球 、3 个白球， 同色球不加以区分 ，将这 7 个球排成—列的不同方法有
A. 210 种 B. 162 种 C. 720 种 D. 840
种【答案】 A
【解析】
【分析】 先在 7 个位置中选3 个位置排白球 ，有 种排法 ，再从剩余的 4 个位置中选 2 个位置排红球 ，
有
种排法， 剩余的 2 个位置排黄球有 种排法， 由乘法原理可得答案．
【详解】 解： 由题意可知， 因同色球不加以区分， 实际上是—个组合问题．
先在 7 位置中选 3 个位置排白球 ，有 种排法， 再从剩余的 4 个位置中选 2 个位置排红球 ，有 种排
法，
剩余的 2 个位置排黄球有 种排法，
G G
所以共有 • • ＝210．
故选 A
【点睛】 本题考查排列组合的基本知识． 分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手
段，也是基础方法．
4. 若 (a+x)(l+x)' 的展开式关于 x 的系数和为 64，则展开式中含 x 项的系数为
A. 26 B. 18 C. 12 D. 9
【答案】 B
【解析】
x=l a=3 x3
【分析】 取 解得 ，展开式中含 项有两种情况 ，相加得到答案.
【详解】 令 x=1 得 (a+1)·22=64 所以
，
a=3 (3+x)(l+x)' x'
所以 展开式中含 项为
．
,
所以展开式中含x3项的系数为 18，
故选 B．
【点睛】 本题考查了二项式定理， 把握展开式中含x3项的两种情况是解题的关键.
5. 关于空间向量， 以下说法正确的是 ( )
第 2页/共 24页A. 若对空间中任意—点 ，有 ，则 P、A 、B 、C 四点共面
B. 已知向量 ， b=(1,2,1) ，则a 在j 上的投影向量为
»=(1,-1,1) u i=(-1, l,-1)
C. 若直线 的方向向量为 ， 平面 的法向量为 ，则直线
D . 点 M(3,2,1) 关于平面YOZ 对称的点的坐标是(3,-2,-
1) 【答案】 B
【解析】
【分析】 对于 A， 由 ， 可判断；对于 B ，应用 求解即
ll u
可；对于 C， 可证得 ；对于 D， 直接求出对称点即可.
【详解】 对于 A 项： 因为 ，
则 ， 而 ，
所以 P、A 、B 、C 四点不共面 ，A 错误；
;
对于 B 项 ： 在 上的投影向量为 ， 故 B 正确；
对于 C 项： 因为所 = - ，则 ll u ， 故 C 错误；
对于 D 项：点M(3,2,1) 关于平面YOZ 对称的点的坐标是(-3,2,1) ， 故 D 错误.
故选：B
F p c o
6. 已知 为椭圆 的右焦点 ， 为椭圆 上—点， 为圆 上—点 ，
则
的最小值为 ( )
A. －5 B. －4 C. －3 D. －2
【答案】 B
【解析】
【分析】 利用椭圆的定义把焦半径进行转化， 再把到圆上点的距离最值转化为到圆心 ，从而即可求两边
之和的最小值了.
第 3页/共 24页【详解】
在椭圆C 中， a=4 ， ，则 ，则 F(3,0) ，则椭圆C 的左焦点为 ，
圆M的圆心为M (0,4) ， 半径为 1，
由椭圆的定义可得 ，
所以 ，
再由圆外的点P到圆上动点Q 的最小值为到圆心的距离减去半径，
所以有 ，
利用当且仅当 P 、 r' 、 M 三点共线且 P 在线段 MF' 上时， IP! I-IP F I 取最小值，
所以有
故 的最小值为－4.
故选：B．
【点睛】 方法点睛：要利用椭圆的定义和圆的有关平面几何求最值的结论来求解.
7. 如图所示 ，在棱长为2 的正方体ABC D-AB, CD 中 ，E 、F 分别为棱dA, 和 B8, 的中点， 以 D 为原
点， DA ， DC ， DD, 所在直线为 x、y 、z 轴建立空间直角坐标系 ，则下列结论正确的是 ( )
A.
EFD
B. 是平面 的—个法向量
·
第 4页/共 24页C. 直线 CF 与平面EFD夹角的正弦值为
D. 点 C 到平面 的距离为
【答案】 C
【解析】
【分析】对于 A， 由空间向量判断异面直线垂直即可；对于 B， 由平面法向量求解即可；对于 C ，运用向
量夹角余弦值公式计算即可；对于 D， 由点到平面的距离公式计算即可.
【详解】 如图，
对于 A C(0,2,0), D1(0,0,2), E(2,0,1), F(2,2,1)
， ，
故
F=(2,0,1),可正·1⃞F=4+0-1⃞(cid:2)0
， ，
故 与iF 不垂直， 进而可得D,E 与 CF 不垂直， 故 A 错
误；对于 B 由 C(0,2,0), D(0,0,2), E(2,0,1), F(2,2,1)
， ，
所以可驱=(2,0,-1),可F=(2,2,-1)
设平面DEF 的法向量为i= (X, J,3)
，
，
则 ，
令x=l 则 y= I,i= 2
， ，
所以平面D,EF 的—个法向量 ，
因为 （ 为实数）， 故 B 错
F=(2,0,1),i-(1,I,2)
误；对于 C
， ，
第 5页/共 24页则 ，
则直线 CF 与平面 EFD 夹角的正弦值为 ， 故 C 正
D-(0,-2,2)
确；对于 D
， ，
点 到平面 的距离为 ， 故 D 错
误.故选：C
8. 已知双曲线 C： 的左焦点为 F，过 F 作双曲线 C 的—条渐近线的垂线 ，垂足
为
A， 并与双曲线 C 交于点 B， 且有 ，则双曲线 C 的渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】
【分析】 计算出B点坐标 ，然后代入双曲线方程 ，化简即可得到a,b 关系的方程， 进而得出渐近线方程.
【详解】 不妨设双曲线 的—条渐近线为 ,
因为左焦点F(-C,0) ,所以直线FA 的方程为 与 ，
两式联立可得 ,
B(X, J) =2 丽
设 因为 所以
， ， ，
即 ，所以 ，
将 点坐标代入双曲线方程得： ，
上式整理得 ， 即 ，所以 ，所以渐近线方程为 .
故选：A.
二 、多选题（ 本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题所给的四个选项中，有多项
符
第 6页/共 24页合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分）
9. 下列有关说法错误的是 ( )
A. 在 展开式中无常数项
B. 5s"除以 8 的余数为 1
C. 已知 ，则 x 的取值为 7.
D. 甲 、乙 、丙 、丁 4 个人到3 个国家做学术交流 ，每人只去—个国家 ，每个国家都需要有人去 ，则不
同的安排方法有 36 种
【答案】
ABC 【解
析】
【分析】应用二项式通项公式计算判断 A，应用二项式展开式计算判断余数判断 B，应用组合数性质判断
C，分组分配结合排列数组合数计算判断 D.
【详解】 对于 A：在 展开式中 为常数项 ，A 选项错误；
,
因为 能被 8 整
除，且 ，所以s5"除以 8 的余数为 7 ，B 选项错误；
x+2=2x-5 x+2+2x-5 =15
当 时 或
，
所以x=7 或x = 6 ，C 选项错误；
，
甲 、乙 、丙 、丁 4 个人到3 个国家做学术交流 ，每人只去—个国家 ，每个国家都需要有人
CA=36
去，则不同的安排方法有 种 ，D 选项正确；
故选：ABC.
10. 已知抛物线 的焦点为 F,M,N 是抛物线上两点 ，则下列结论正确的是 ( )
F
A. 点 的坐标为
B. 直线 与抛物线 相切
第 7页/共 24页C. 已知点A(1,4
，
则达MAF 的周长最小值为而+5
D. 若 ，则 的面积为
【答案】 BCD
【解析】
【分析】 对 A ，将方程化成标准方程得解；对 B ，将直线 与抛物线 方程联立， 由判别式等于 0， 判
断；对 C， 过点M向准线Y=-l 作垂线， 垂足为B ， 结合抛物线定义可得当A,M ,B 三点共线时，
最小 ，此时达MAF 的周长最小 ，得解；对 D ，设直线MN 的方程为 ，联立直线
iF- : F X=-2X -X]=3VE
与抛物线方程 即可得到 再由 得 即可求出 再
， ， ， ， ，
由面积公式计算即可判断 D.
【详解】 对于 A， 由 ，得抛物线C 的标准方程为 ，所以焦点为F(0,1) ， 故 A 错误；
对于 B， 由 ，得 ，代入x2=4y化简得 ， d = 0 ，
所以直线 与抛物线 相切， 故 B 正确；
对于 C， 如图， ，所以当 最小时， 达MAF 的周长最小，
M Y=-l B A,M,B
过点 向准线 作垂线 ，垂足为 ，则 ， 当 三点共线时， 最小
，最小值为 5，
所以达MAF 的周长的最小值为、T+5 ， 故 C 正确；
对于 D， 由题直线MN 斜率—定存在 ，设直线IlN : Y = KX+I
x"=4y x' -4kir- 4= I
，代入 整理得
， ， ，
M(x,) N(x:,2)
设 则
， ， ，
·
第 8页/共 24页,
由 ，得 ，解得 或 ，所
以所以 ， 故 D 正确.
故选：BCD.
11. 如图 ，已知正方体ABC D-ABC L的棱长为2,M 是 DD, 的中点， N 为正方形ABCD 所在平面
内—动点 ，则下列结论正确的是 ( )
A. 若 N到直线 与直线DC 距离相等 ，则 N 的轨迹为抛物线
B. 若MN = 2 ，则 MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为
C. 若直线MN 与平面ABCD 所成的角为60e ，则 N 的轨迹为椭圆
D. 若直线D,W 与直线AB 所成的角为60e ，则 N 的轨迹为双曲线
【答案】
ABD 【解
析】
【分析】 A： 由 BB山平面ABCD ， 可得 NB 即为 N 到直线 的距离， 由抛物线的定义即可判断；
B：
由题意可得 MN 中点的轨迹为以MD 中点为圆心， 为半径且平行于平面ABCD 的圆 ，计算可判断；
C：由MN 与平面ABCD 所成的角为LMND ，计算可得DN 为定值， 可判断点N 的轨迹为以D为圆
心，
DN 为半径的圆 ，从而可判断；D： 由 D,W 与 AB 所成的角可得 ， 可得点N 的轨迹方程
，从而可判断．
第 9页/共 24页【详解】 对于 A， BBL平面 ABCD ， NB 即为 N 到直线 的距
离，在平面ABCD 内 ，点 N 到定点B的距离与到定直线DC 的距离
相等，
: 点 N 的轨迹就是以B为焦点， DC 为准线的抛物线， 故 A 正确；
对于 B 若MN= 2 则
， ， ,
可得MN 中点的轨迹为以UO 中点为圆心， 为半径且平行于平面ABCD 的圆，
其面积为 ， 故 B 正确；
对于 C， 与平面 所成的角为 ，则 ， 可得 ，
: 点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆， 故 C 错误；
对于 D， 如图， 建立空间直角坐标系，
,
设 N(x, y,0) 则可不=(x, y,-2)
， ， ，
因为 ，
3y'-r'=4 N
化简得 ， 即 ，所以 的轨迹为双曲线， 故 D 正确；
故选：ABD .
【点睛】 关键点点睛：D 选项中， 建立空间直角坐标系 ，利用向量的夹角公式列式求解是解题关
键.
第Ⅱ卷（ 非选择题共 92 分）
第 10页/共 24页·
三、填空题（ 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分）
l: mx-y+2-3m=0(meR) c: x2+y-2y-15=0 p、Q Irg
12. 直线 与圆 交于两点
，
则弦长 的
最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】 先把圆 的方程化成标准形式 ，从而得出圆心坐标和半径， 再通过直线方程得出直线过定点，
发现定点在圆的内部 ，从而根据圆的有关知识知： 当定点是弦的中点时， 弦长最短 ，从而求出弦长的最
小值.
c: x2+y2-2y-15=0 c: x2+(y-I}
【详解】 圆 化成标准形式为圆
2=16 圆心 c(0,1 半径r=4
， ， ，
l: mx-y+2-3m=0=mfx-3)-y+2=0 c
直线 过定点 并在圆 内
， ，
: P! 最短时 点M 13,2) 为弦 的中点 即CM lp! 时
， ， ，
所以 .
故答案为： 2、石 .
13. 如 图 ， 在 平 行 六 面 体 中 ， ，
，
, 则直线 与直线 所成角的余弦值为_____.
【答案】
【解析】
iT-: ib
【分析】 由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得 、 ，利用向
量
T 丽
数量积的运算律求 、 ， 最后应用夹角公式求直线夹角余弦值.
·
第 11页/共 24页【详解】 因为 ， ，
可得 ， ，
又因为 ， ，
可得 ，
,
m AC
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 .
故答案为：
14. 加斯帕尔•蒙日是 18~ 19 世纪法国著名的几何学家 ，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线
的交点都在同—个圆上， 其圆心是椭圆的中心， 这个圆被称为“蒙日圆” .已知椭圆
p p c
，若直线 上存在点 ， 过 可作 的两条互相垂直的切线 ，则椭圆离心率的取值范
围是
__________.
【答案】
【解析】
【分析】 首先通过椭圆切点在顶点的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径， 问题转化为直线与蒙日圆有交
点问题 ，根据直线与圆的位置关系列式即可求解.
【详解】 对于椭圆 ，
y=0 x=±G
令 可得 令 可得
， ， ， ，
由 ， 可知点 在“蒙日圆”上，
第 12页/共 24页所以椭圆 的“蒙日圆” 的半径为 ，
所以“蒙日圆”方程为x2+y2=a2+6
，
p p
因为点 在椭圆的“蒙日圆”上， 又因为点 在直线
上，所以直线l:4x-3y +30= I 和“蒙日圆”有公共
点.
即圆心(0,0) 到直线 的距离不大于半径，
即 ，所以 ，则 ，
所以椭圆离心率 ，所以 ， 即椭圆离心率的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对“蒙日圆”定义的理解，能够利用椭圆的四条特殊切线确定蒙日圆的半
径 ，将问题转化为直线与圆有交点的问题.
四、解答题（ 共 77 分）
(3x-2)"=a,+ax+a zi+…+ax"
15 . 已知 ， 且展开式中有且仅有第 6 项的二项式系数最大.
（1） 求(GX-2)"展开式的所有二项式系数之和；
（2） 求 的值；
（3） 判断(GX-2)"的展开式中第几项系数的绝对值最大.
【答案】（1） 1024
（2） -1023
（3） 第 5 项系数的绝对值最大
【解析】
【分析】（1） 由 “ 第 6 项二项式系数最大” 确定 n=10 ，利用二项式系数之和公式2"求解.
（2） 通过赋值 得 ，赋值 代入展开式， 变形后求得目标式子的值.
（3） 写出展开式通项， 建立不等式组求解系数绝对值最大的项对应的 值 ，确定项
数. 【小问 1 详解】
因为展开式中第 6 项 二项式系数最大 ，所以 n=10 ，
·
第 13页/共 24页所以展开式的所有二项式系数之和为21" = 1024 .
【小问 2 详解】
令 x= 0 ， 得a,=(0-2)"=1024 .
令 ，得 ，
所以 .
【小问 3 详解】
(3x+2)" T.,=c,3""x2'x""
展开式的通项 .
由 得 .
r=4 (3x-2)"
因为r 为整数 ，所以 ，所以 的展开式中第 5 项系数的绝对值最大.
16 . 如图 ， 四棱锥P-A8CD 中 ， 四边形ABCD 为直角梯形 ， 平面PAB 上 平面ABC D, PA上AB ．
.
（1） 求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值；
（2）若点E 在 上 且 PE=AP B(0<入<I)
， ．
（i） 当 时， 求P到平面AEC 的距离：
（ii） 是否存在 ，使得PD 与平面 AEC 所成角的正弦值为 ？ 若存在 ，请求出 : 的值；若不存在 ，
请说明理由．
【答案】（1）
第 14页/共 24页（2）（i） ；（ii） 存在， 或
【解析】
【分析】（1） 由题可证得PA 上 平面ABCD ， 且 AB上AD ，所以可以点 为坐标原点建立空间直角
坐标系 ，根据面面角的向量求法， 求得平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值；
（2）（i） 由点面距的向量求法 ，求得p到平面AEC 的距离；（ii）假设存在 a 满足题意 ，根据线面角的
向量求法， 求得 的值.
【小问 1 详解】
由平面PAB上 平面ABCD 平面 PABn 平面ABCD =AB PA C 平面 PAB PA上
， ， ，
AB得 PAl 平面ABCD
.
因为 AD, ABC 平面ABCD 所以PA 上 AD, PA 上 AB
， ， ．
又四边形ABCD 为直角梯形且AB{ CD
则 AB LAD 故 AD, AB, AP 两两垂直
， ，
建立如图所示的空间直角坐标系A -yi
．
，
A(0,0,0), P(0,0,2), B(0,2,0), C(1,1,0), D(1,0,0)
则
，
所
以 ，
显然a番=(0,2,0) 是平面PAD 的—个法向量
设平面PBC 的—个法向量为m 丽=(X,
，
J,31)
，
则 ，
取 ，从而
，
所以 ，
第 15页/共 24页所以平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值为 .
【小问 2 详解】
因为 所以E(0,22,2-2A), a征=(0,2h,2-2A), Z C=(1,1,0)
， ，
设平面AEC 的—个法向量为 ，
则 ，
r…
令 则 从而
， ， .
（i） 当 时， ，
从而P到平面 的距离为 .
AEC
（ii）假设存在 满足题意， PD 与平面AEC 所成角为 ，
则 .
化简得 ，解得 或 ．
故存在 或 ，使得 与平面 所成角 正弦值为 .
第 16页/共 24页17. 已知椭圆
上的点到其右焦点F(1,0) 的最大距离为 3．
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 设椭圆的左 、右顶点分别为A,B ， 过点F 的直线 与椭圆交于M ,N 两点（ 异于A,B ）．
ssy
①若 的面积为 ， 求直线 的方程；
②若直线AN 与直线BM 交于点P ，证明：点P在—条定直线
上． 【答案】（1）
（2）① 3x、6y-3=0 ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得出c,a 的值， 进而得出a2,B求出椭圆方程；
M(x, y), N(x3, y)
（2）①设直线 的方程及 ，联立椭圆方程 ，利用韦达定理 ，表示出弦长， 结合
点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程求解；
②联立直线AN, BM 得出代数关系式， 结合韦达定理构造方程 ，化简计算求解．
【小问 1 详解】
上的点到其右焦点F(1,0) 的最大距离为 3，
椭圆
: t=I, a+c = 3 故 a=2
， ，
,
: C
椭圆 的方程为
； 【小问 2 详解】
F(1,0) M(x, y), N(x,,2)
①设过点 的直线方程为 点
， ，
第 17页/共 24页(3m'+4)y'+6my-9=0
联立 得
， ，
则 ，
则 ，
: Af-2,0)
又 点 到直线 的距离 ，
令 ，化简整理得
45m'+12m'-28=(sm2-2小(15m'+14)=0 解得
， ， ， ，
直线 的方程为 ．
Af-2,0), B(2,0) M(x, y), N(x3, y)
②由①知
， ，
直线 ， 直线 ，
联立直线AW, BM ，整理得 ，
:
由①知 ， ，
,
即 2x-8= 0 解得x=4
，
".点p在直线x=4
，
上
．
第 18页/共 24页18. 如图，在正四棱锥P-ABC D 中，所有棱长都相等，点 E,F 分别是棱PC, PB 的中点，点 G 在棱AB
上，且 .
cri BDE
（1）若 证明： 平面 ；
，
（2） 当异面直线GF 与 BD 所成角为 时， 求实数 的值；
（3） 求平面BDE 与平面PDG 夹角余弦值的取值范围.
【答案】（1） 证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1） 连接AC ， OE ，根据中位线性质和基本事实 4 可证得 ， 再根据线面平行的判定
定理即可证得结论；
48=2E
（2）根据题设条件建立空间直角坐标系 ，设 ， 求出相关点和向量的坐标， 结合
即可求得 的值；
（3）利用 （2） 中建立的坐标系分别求出两平面的法向量 ，根据空间向量夹角的坐标公式表示出两平面
夹角余弦的解析式， 结合二次函数的性质即可求得范围.
【小问 1 详解】
如图， 连接AC ， 交 BD 于 ， 连接0E ，则 为 AC 的中点， 又 E为 PC 的中点 ，所以OEI IPA ；
第 19页/共 24页当 时， G 为 AB 的中点， 又 F为 的中点 ，所以GF/PA ；
所以GF'OE 又 平面 BDE OEC 平面BDE 所以GF ll 平面BDE ；
， ， ，
【小问 2 详解】
如图， 连接0P ， 由正四棱锥P-A8CD 可知0A,0B,0P 两两相互垂直， 建立如图空间直角坐标
系，
设 则 A(2,0,0), B(0,2,0), C(-2,0,0), D(0,-2,0), P(0,0,2)
， ，
所以Ef-1,0,1), F(0,1,1), G(1,1,0) 所以
， ，
所以 ， ；
因为异面直线 与 所成角为 ，所以 ，解得 ，
实数 的值为 ；
【小问 3 详解】
由（2） 知 可=(0,-4,0),死=(-1,-2,1), D丽=(0,2,2), D=(-2,-2,0), G=(-22,2A,0)
，
，
所以 ；
设平面BDE —个法向量为 ，则
s-ue
即 取 则 所以 ；
, ， ， ，
设平面PDG 的—个法向量为7=(a, b,c) ，则
·
第 20页/共 24页, 即 ， 取 ，则 ，所以
i=(1+A, A-1,1-)
；
设平面BDE 与平面PDG 的夹角为 ，
则 ，
因为 ，所以函数 ，
所以 ，
即平面BDE 与平面PDG 夹角余弦值的取值范围是 .
C : F C
19. 已知双曲线 ： 的实轴长为 ，右焦点 到双曲线 的渐近线距离为
.
（1） 求双曲线 的方程；
（2）过点E(2,0) 作直线 交双曲线的右支于A,B 两点，连接A0 并延长交双曲线左支于点P( O 为坐标
原点）， 求SPAB 的面积的最小值；
（3） 设定点T(t,0) ， 过点 r 的直线 交双曲线 C 于 M,N 两点， M,N 不是双曲线的顶点 ，若在双
曲线C 上存在—点 ，使得直线SM 的斜率与直线SN 的斜率之和为定值， 求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） 12
（3） (-1,0)w(0,1)
【解析】
【分析】（1）根据实轴长可求a ，根据焦点到渐近线的距离可求b ， 故可得双曲线方程；
（2）设 ： ，联立直线方程和双曲线方程消去 后结合韦达定理可得
面积的解析式（ 用 表示）， 再结合换元法可求其面积的最大值.
（3） 设直线 的方程为 ，联立化简可得 ， 由条件化简可
·
得 第 21页/共 24页, 结合双曲线的范围可得结论.
【小问 1 详解】
o-1
因为双曲线 的实轴长为 ， 故
，而双曲线的渐近线为 ，
故右焦点F(c,0) 到渐近线的距离为 ，
故双曲线的方程为： .
【小问 2 详解】
显然直线 与 轴不垂直 ，设 ：
，由双曲线的对称性知AP的中点为O ， 故 ，
=(3m'-I)y'+12my+9-=0
联立
故 ,
由于A,B 均在双曲线右支， 故 ， 故
，⽽
，
代入韦达定理得 ，
第 22页/共 24页令 ，则 ，
易知 在 上为减函数 ，则当 时， (s. nas)=12
，综上， SPAB 的面积的最小值为12 .
【小问 3 详解】
sx,, y), M(x,, y,), N(x,, J)
不妨设
，
若直线ly 的斜率为 o ，则直线 与双曲线 c 的交点为双曲线 c 的顶点(-1,0),(1,0) ， 与条件矛
盾，所以可设直线 的方程为 ， 且 ，
联立 ， 消 可得 ，
方程 的判别式
，所以 ，
所以 ，
所以 ，
,
,
,
所以
第 23页/共 24页所以
所以
，因为直线SM 的斜率与直线SN 的斜率之和为定值，
所以 ， 故 ，
故 为定值，
所以 ，
因为 或 ，
-I<t< s(x,, y)
所以 或 ，存在双曲线上的点 满足
su si
，使得直线 的斜率与直线 的斜率之和为定值 ，定值为
，
所以 的范围为(-1,0)w(0,1)
.
第 24页/共 24页
