文档内容
重庆市名校联盟2024-2025学年高二下学期第一次联合考试
数学试卷
一、单选题
1．口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（
）
A．20 B．26 C．32 D．36
2．函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
3．在二项式 的展开式中，常数项为（ ）
A．180 B．270 C．360 D．540
4．若 ，则 （ ）
A． B．6 C．3 D．-3
5．五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，
则不同的坐法种数为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
6．已知函数 的定义域为 且导函数为 ，函数 的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的增区间是
B．函数 的减区间是
C． 是函数的极大值点
D． 是函数的极大值点7．已知函数 ，若 在 上单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知二项式 的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32
C．展开式中的常数项为540
D．展开式中二项式系数最大的项是第四项
10．有 本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲､乙､丙三人，每人各 本，有90种分法；
B．分给甲､乙､丙三人中，一人 本，另两人各 本，有 种分法；
C．分给甲乙每人各 本，分给丙丁每人各 本，有 种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各 本，另两人各 本，有 种分法；
11．已知函数 ( 为常数)，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， 在 处的切线方程为
B．若 有3个零点，则 的取值范围为
C．当 时， 是 的极大值点
D．当 时， 有唯一零点 ，且
三、填空题
12．某电视台连续播放 个不同的广告，其中 个不同的商业广告和 个不同的公益广告，要求所有的公益广告必
须连续播放，则不同的播放方式的种数为 .
13．已知函数 ，则 = ．
14．已知函数 当 时，若对于区间 上的任意两个不相等的实数 ，都有成立，则实数 的取值范围 .
四、解答题
15．由 ， ， ， ， 组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表
示）
（1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数；
（2）没有重复数字且 和 不相邻的五位数的个数；
（3）恰有两个数字重复的五位数的个数.
16．已知函数 在 时取得极小值 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求 在区间 上的最值．
17．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值（结果用数字表示）．
18．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 零点的个数；
(3)当 时，证明：当 时， .
19．若函数 在 上存在 ，使得 ， ，则称
是 上的“双中值函数”，其中 称为 在 上的中值点.
(1)判断函数 是否是 上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数 ，存在 ，使得 ，且 是 上的“双中值函数”，
是 在 上的中值点.
①求t的取值范围；②证明：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C B C D C ABD ABD
题号 11
答案 ABD
1．B
由间接法以及组合数即可求解.
【详解】从 个球中任取 个球的取法共有 种，
两个球都不是红球的取法有 种，
所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为 .
故选：B.
2．B
求出函数的导数，根据导数与0的关系得出减区间.
【详解】∵ ，∴ ，
令 ，解得 ，
即函数 的单调递减区间为 ，
故选：B.
3．A
根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，所以常数项为 .
故选：A
4．C
由导数的定义可得；
【详解】 .
故选：C.
5．B
先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果.【详解】由题意，五人全排列共有 种不同的排法，
其中甲乙丙三人全排列共有 种不同的排法，
其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法，
所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为 .
故选：B
6．C
根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.
【详解】根据 的图象可知：
当 时， ； 时， ，当 时， ，当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
因此函数 在 时取得极小值，在 取得极大值.
故ABD错误，C正确.
故选：C
7．D
先判断函数为奇函数，根据奇函数的性质有：要使函数 在 上单调，只要函数 在 上单调，对
函数求导，代特殊值求得 ，结合函数在 上单调，可知在 上 恒成立，即可知
，确定 值并检验即可求解.
【详解】因为 ，且 ，
所以 为奇函数，要使函数 在 上单调，只要函数 在 上单调；
又 ，且 ，
又函数 在 上单调，故函数 在 上只能单调递减，由 ，即 ，解得 ，
当 时， ， 时， ， ，
故有 在 上恒成立，
经检验知， 时符合题意．
故选：D
8．C
【详解】令 ，
，
时， ，则 在 上递减，
时， ，则 在 上递增，
由 可得 ，
化为
∴ ，则 ，
同理 ， ； ， ，
因为 ，所以 ，
可得 ，
因为 在 上递减，，
∴ ，
故选：C．9．ABD
【详解】令 ，得 ，得 ，故A正确；
展开式中所有奇数项的二项式系数和为 ，故B正确，
由上得二项式为 ，常数项为 ，故C错误；
最大的二项式系数为 ，即第四项的二项式系数最大，故D正确；
故选：ABD．
10．ABD
【详解】对A，先从6本书中分给甲2本，有 种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有 种方法；最后的
2本书给丙，有 种方法.
所以不同的分配方法有 种，故A正确；
对B，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有 种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有
种，故B正确；
对C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有 种方法；其余2本分给丙丁，有 种方法.所以不同的分配方
法有 种，故C错误；
对D，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有 种方法；再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有 种，故D正确.
故选： .
11．ABD
【详解】对于A中，当 时，可得 ，则 ，所以切线为
A正确：
对于B中，若函数 有3个零点，即 有三个解，
其中 时，显然不是方程的根，
当 时，转化为 与 的图像有3个交点，
又由 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
所以当 时，函数 取得极小值，极小值为 ，
又由 时， ，当 时， 且 ，
如下图：
所以 ，即实数 的取值范围为 ，所以B正确：
对于 中，当 时， ，可得 ，
令 ， 在 上单调递增，
且 ,所以存在 使得 ，所以在 上 ， 单调递减，
在 上 ， 单调递增，又 ,
所以在 上 ，即 ， 单调递减，
在 上 ，即 ， 单调递增，
所以 是 的极小值点，所以 错误．
对于D中，当 时， ，
设 ，可得 ，
当 时， 在 单调递减；当 时， 在 单调递增，
所以当 时， ，所以 ，
所以 ，所以函数 在 上单调递增，
又因为 ，即 ，
所以 有唯一零点 且 ，所以D正确；
故选：ABD.
12．720
【详解】解：由题意，第一步将所有的公益广告捆绑一起当成一个元素和其他4个不同商业广告进行排列，不同
的安排方式有 种，
第二部对 个不同的公益广告进行排列，不同的安排方式有 种，
故总的不同安排方式有 种，
故答案为720.
13．求出函数的导数，赋值 求出 ，再赋值 即可得解.
【详解】 ,
令 ，可得 ，解得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
14．
【详解】不妨设 .
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，即 .
又因为 在 上也单调递增，所以 .
所以不等式 即为 ，
即 ，
设 ，即 ，
则 ，因此 在 上单调递减.
于是 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
令 ，则 ，
即 在 上单调递增，因此 在 上的最小值为 ， 所以 ，
故实数 的取值范围是 .故答案为：
15．（1）72个；（2）72个；（3）1200个.
（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.
（2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4即可.
（3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全
排列即可.
【详解】解：（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.
个.
（2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即 个
（3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全
排列即 个
16．(1) ，
(2)最小值为 ，最大值为
（1）求出函数的导函数，依题意 ，解得 、 的值，再代入检验；
（2）由（1）可得函数解析式，再利用导数说明函数的单调性，求出区间端点的函数值与极小值，即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
依题意 ，即 ， 解得 或 ，
若 ，则 ，则 无极值点，不满足题意，
经检验 符合题意，所以 ， .
（2）由（1）知 ，
则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减， 上单调递增，
则 在 处取得极小值，
又 ， ， ，
所以 在 上的最小值为 ，最大值为 .
17．(1)
(2)
（1）根据题目条件，令 ，化简可得 的值，再令 ，化简可得结果；
（2）结合二项式展开式通项公式可得 ，结合组合数性质求值.
【详解】（1）在 中，
令 ，得 ，所以 .
在 中，
令 ，得 ，
所以 .
（2）∵ 的展开式的通项公式为 ，
∴ .
18．(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
（1）根据题意，由导数的几何意义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，令 ，可得 ，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，即可得到结
果；
（3）根据题意，求导可得 ，令 ，求导可得 在 上单调递减，从而可得在 上单调递减，即可证明.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
所以 ， ，
由直线的点斜式可得 ，化简可得 ，
所以切线方程为 .
（2）因为函数 ，
令 ，可得 ，
设 ，则 ，
当 时， ，此时 在 上单调递增，
当 时， ，此时 在 上单调递减，
所以当 时， 有极大值，即最大值， ，
且 时， ，
所以当 时，函数 与函数 无交点；
当 时，函数 与函数 有且仅有一个交点；
当 时，函数 与函数 有两个交点；
当 时，函数 与函数 有且仅有一个交点；
综上所述，当 时，函数 无零点；
当 或 时，函数 有且仅有一个零点；
当 时，函数 有两个零点.
（3）当 时， ，令 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ， ，
则当 时， 恒成立，
所以 在 上单调递减，
即 在 上单调递减，
所以 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 .
19．(1) 是 上的"双中值函数"，理由见详解
(2)① ；②证明见详解.
【详解】（1）函数 是 上的"双中值函数".
理由如下：
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ,
令 ，得 ，即 ，解得 .
因为 ,
所以 是 上的"双中值函数".
（2）①因为 ，所以 。因为 是 上的"双中值函数"，所以
由题意可得 .
设 ，则 .
当 时， ，则 为减函数，即 为减函数；
当 时， ，则 为增函数，即 为增函数.
故 .
因为 ，所以 ，所以 ，
即 的取值范围为 ；
②不妨设 ，
则 ，
即 .
要证 ，即证 .
设 ,
则 .
设 ，则
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 则 在 上单调递减.
因为 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 .因为 ，所以
因为 ，所以 .
由（1）可知 在 上单调递增，
