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福州第二中学 2023-2024 学年第二学期期末考试
高二数学
一、单选题
1. 已知 ，则 的值是（ ）
A. B. 2 C. D.
2. 已知复数 （其中 为虚数单位），则 （ ）
A. B.
C. D.
3. 若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含 的项的系数为（ ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
5. 已知函数 的部分图像如图所示，则函数 的一个单调递增区间是（
）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
6. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与C的左、右支分
别交于点P、Q.若 ，且 ，则C的离心率为（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
7. 等差数列 ，满足
，则（ ）
A. n的最大值是50 B. n的最小值是50
C. n的最大值是51 D. n的最小值是51
8. 对于曲线 ，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
的
②曲线 上任意一点到坐标原点 距离不小于2；
③曲线 与曲线 有四个交点．
其中正确的命题个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题
9. 已知 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 奇函数 B. 的值域是
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学科网（北京）股份有限公司C. 的递增区间是 D. 的值域是
的
10. 已知抛物线 焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则
（ ）
A. 最小值为2 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若点P不在x轴上，则
11. 已知随机变量X、Y，且 的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P m n
若 ，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时， B. 若数列 为常数列，则
C. 若数列 为递增数列，则 D. 当 时，
三、填空题
13. 函数 的定义域是_________．
14. 若一个圆的圆心是抛物线 的焦点，且该圆与直线 相切，则该圆的标准方程是
__________．
15. 已知函数 的定义域为 ，且 ，若 为奇
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学科网（北京）股份有限公司函数， ，则 __________．
四、解答题
16. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 的面积 .
（1）求B；
（2）若a､b､c成等差数列， 的面积为 ，求b.
17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150件
进行检验，数据如下：
优级 合格 不合格 总
品 品 品 计
甲车
26 24 0 50
间
乙车
70 28 2 100
间
总计 96 52 2 150
（1）填写如下列联表：
优级 非优级
品 品
甲车
间
乙车
间
能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 的把握认为甲，乙两车间产
品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 ，设 为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认
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学科网（北京）股份有限公司为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ ）
附：
0.05 0.01 0.00
0 0 1
.
3.84 6.63 108
k
1 5 28
18. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 .
（1）证明： ；
（2）若 ， ，求 ．
19. 双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比
赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有
偶数名参赛者.第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组.之后的每一轮直
到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组
的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相
互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，
胜者进入下一轮，败者被淘汰.最后一轮，由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为 ）对阵负者组
最终获胜的选手（败过一场，记为 ），若 胜则 获得冠军，若 胜则双方再次对阵，胜者获得冠军.某
围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场
对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局.
（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件 ，求 的概率；
（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为 ，解决以下问题：
①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；
②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量 ，求 的分布列.
20. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 .
（1）求角 的大小；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 为 的中点，且 ，求 .
21. 已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）对 a∈(0，1)，是否存在实数λ， ，使 成立，
若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
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