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重庆市长寿区 2023—2024 学年下学期高二期末检测卷（B）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
3. 用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为
（ ）
A. 48 B. 96 C. 60 D. 120
4. 已知数列 的前 项和 满足： ，且 ，则 被8整除的余数
为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 5
5. 设随机变量 的概率分布列为
1 2 3 4
则 （ ）
A. B. C. D.
.
6 已知随机变量 服从正态分布，有下列四个命题：甲： 乙：
丙： 丁：
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. 在对一组成对样本数据 进行分析时，从已知数据了解到预报变量 随着解释变
量 的增大而减小，且大致趋于一个确定的值．则下列拟合函数中符合条件的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设某中学的女生体重 （单位： ）与身高 （单位： ）具有线性相关关系，根据一组样本数据
，用最小二乘法建立的经验回归方程为 .若该中学女生的平均身高
为 ，则该中学女生的平均体重的估计值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 设 是变量 和 的 个样本点，由这些样本点通过最小二
乘法得到线性回归直线方程 ，下列结论正确的是（ ）
A. 与 正相关的充要条件是 B. 直线 过点
的
C. 与 之间 相关系数为 D. 当 增大一个单位时， 增大 个单位
10. 已知集合 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 中的元素的个数为1
B. 若 ，则 中的元素的个数为15C. 若 ，则 中的元素的个数为45
D. 若 ，则 中的元素的个数为78
11. 已知函数 的图象与直线 有三个交点，记三个交点的横坐标分别
为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在实数 ，使得
B.
.
C
D. 定值
为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数 ，则 _______________， 最小值为
的
___________．
13. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：
，且 ，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩
超过100分的人数大约为_____________．
14. 某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润，预测第 8年
该国企的生产利润约为______千万元．
年号 1 2 3 4 5年生产利润 （单位：千万元） 0.7 0.8 1 1.1 1.4
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在一个 的网格中填齐1至9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字
为 ．
（1）求满足第二横排、第二竖排的 个数字之和均为 的不同的数字填写方案种数；
（2）求满足第二横排的数字从左到右依次增大，第二竖排的数字从上到下依次增大的不同的数字填写方
案种数．
16. 已知二项式 ．
（1）若 ， ，求二项式的值被7除的余数；
（2）若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项．
17. 已知函数 ．
（1）若 ，判断 的单调性；
（2）若 在 上没有极值点，求 的取值范围．
18. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）已知 有两个极值点.
（ⅰ）求 的取值范围；（ⅱ）若 的极小值小于 ，求 的极大值的取值范围.
19. 混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强
度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝
土的抗压强度（单位： ）随龄期（单位：天）的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组
混凝土试件在龄期 分别为 时的抗压强度 的值，并对数据作
了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
9. 29.
2 366 5.5 439.2 55
4 7
表中 ．
（1）根据散点图判断 与 哪一个适宜作为抗压强度 关于龄期 的回归方程类型？
选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立 关于 的回归方程；
（2）工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度 视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝
土设置的最低抗压强度标准值为 ．
（i）试预测该批次混凝土是否达标？
（ii）由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表
明，该型号混凝土第7天的抗压强度 与第28天的抗压强度 具有线性相关关系 ，试估
计在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度．附：
参考数据： ．重庆市长寿区 2023—2024 学年下学期高二期末检测卷（B）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
的
1. 曲线 在点 处 切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，结合直线倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】由 可得 ，则 ，即曲线 在点 处的切线的斜率为 .
故曲线 在点 处的切线的倾斜角为 .
故选：D
2. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据式子结构，构造函数 ，利用导数判断出 的单调性，进而得到a，
b，c的大小关系.
【详解】根据式子结构，构造函数 ，
则 ，令 ，则 ，令 ，得 ，
因此 在 单调递增，在 单调递减，
而 ， ，
因为 ，所以
故选：D
3. 用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为
（ ）
A. 48 B. 96 C. 60 D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊位置优先安排，万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位，最后根据定序问题
求解即可.
的
【详解】万位上 数字不能为0，先排万位，再排其他数位，
则用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为 ，
所以个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为 ．
故选：A.
4. 已知数列 的前 项和 满足： ，且 ，则 被8整除的余数
为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先用 求 公式求出 ，再结合二项式定理求解即可.
【详解】当 时， ， ，两式相减可得 ，整理得 ，即 ，
则 是首项为1的常数列，故 ，则 .
所以 ，能被56整除一定能被8整除，
变形运用二项式定理展开，可以得到
，
被8整除的余数即末项 被8整除的余数， ，
则 被8整除的余数为7.
故选：C.
5. 设随机变量 的概率分布列为
1 2 3 4
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：
，故选B
考点：概率分布6. 已知随机变量 服从正态分布，有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】由甲乙两个有一个正确得 的均值为 ，可得甲乙正确，然后由正态分布的性质判断丙丁．
【详解】首先甲、乙中至少有一个正确，因此 是 的均值，从而甲乙两个均正确，
，丙正确，
而
，丁错误．
故选：D．
7. 在对一组成对样本数据 进行分析时，从已知数据了解到预报变量 随着解释变
量 的增大而减小，且大致趋于一个确定的值．则下列拟合函数中符合条件的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】逐项判断各选项中函数的单调性，以及当 时，各函数的函数值的变化情况，可得出合适
的选项.
【详解】当 时，函数 为增函数， 、 、 均为减函
数，且当 ， ， ， ，
故选：D.
8. 设某中学的女生体重 （单位： ）与身高 （单位： ）具有线性相关关系，根据一组样本数据
，用最小二乘法建立的经验回归方程为 .若该中学女生的平均身高
为 ，则该中学女生的平均体重的估计值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将 代入回归直线方程，可得出该中学女生的平均体重的估计值.
【详解】将 代入回归直线方程得 ，
因此，该中学女生的平均体重的估计值是 .
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 设 是变量 和 的 个样本点，由这些样本点通过最小二
乘法得到线性回归直线方程 ，下列结论正确的是（ ）
A. 与 正相关的充要条件是 B. 直线 过点
C. 与 之间的相关系数为 D. 当 增大一个单位时， 增大 个单位
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据回归直线方程的意义一一判断即可.
【详解】依题意 与 正相关的充要条件是 ，故A正确；
根据回归直线的性质可知直线 必过点 ，故B正确；因为 与 之间的相关系数 ，
而 ，故C错误；
因为 ，所以当 增大一个单位时， 增大 个单位，故D正确.
故选：ABD
10. 已知集合 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 中的元素的个数为1
B. 若 ，则 中的元素的个数为15
C. 若 ，则 中的元素的个数为45
D. 若 ，则 中的元素的个数为78
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由集合 的定义即可列举出集合 中所有的元素即可判断；对于B， 中的元素均为正
奇数，对 分类讨论即可验算；对于C，原问题等价于将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3
个人，每人至少分1个，利用隔板法即可验算；对于D，原问题等价于将14个大小相同、质地均匀的小球
分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法验算即可.
【详解】对于A，由题意得 ，所
以 中的元素的个数为 ，A错误；
对于B，由题意得 中的元素均为正奇数，在 中，
当 时，有 共5个元素，
当 时，有 共4个元素，当 时，有 共3个元素，
当 时，有 共2个元素，
当 时，有 共1个元素，
所以 中的元素的个数为 ，B正确；
对于C， ，可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给
甲､乙､丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为 ，所以 中的元素的个数为45，C正确；
对于D， ，
可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为 ，所以 中的元素的个数为 ，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是将问题进行适当的转换，并利用隔板法，由此即可顺利得解.
11. 已知函数 的图象与直线 有三个交点，记三个交点的横坐标分别
为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在实数 ，使得
B.
C.
D. 为定值
【答案】BCD
【解析】【分析】化简方程，令 ，得 ，构造 ，则 ，
利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于x的方程三个不相等的实数解 ，且 ，
结合图象可得关于 的方程 一定有两个实根 ， ，结合韦达定理，
推出所求表达式的关系式，然后对选项一一判断即可得出答案．
详解】由方程 ，可得 ．
【
令 ，则有 ，即 ．
令函数 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，作出图象如图所示，
要使关于 的方程 有三个不相等的实数解 ，且 ，
结合图象可得关于 的方程 一定有两个实根 ， ，
且 ， 或 ， ，令 ，若 ， ，
则 故 ．
若 ， ，则 ，无解，
综上： ，故C正确；
由图结合单调性可知 ，故B正确；
若 ，则 ，又 ，故A不正确；
，
故D正确，
故选：BCD．
【 点 睛 】 关 键 点 点 睛 ： 构 造 ， 判 断 出 函 数 的 单 调 性 ， 结 合 图 象 将
，转化成关于t的函数即可求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数 ，则 _______________， 的最小值为
___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由出导函数 ，令 求得 ，由极限定义可得极限，再根据导数求得最小值．
【详解】由已知得 ，所以 ，解得 ，
，
， ，
时， ， 在 上单调递减，
时， ， 在 上单调递增，
所以 的极小值也是最小值为 ，
故答案为： ； ．
13. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：
，且 ，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩
超过100分的人数大约为_____________．
【答案】1200
【解析】
【分析】根据总体密度函数可知 ，结合对称性求解即可.
【详解】因为总体密度函数为： ，则 ，由 得 ,
所以超过100分 人数大约为： 人，
故答案为：1200.
14. 某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润，预测第 8年
该国企的生产利润约为______千万元．
年号 1 2 3 4 5
年生产利润 （单位：千万元） 0.7 0.8 1 1.1 1.4
【答案】
【解析】
【分析】求出回归方程可得 ,代入 计算可得结果.
【详解】易知 ， ,
易知 ;
代入计算可得 ；
可得 ，
即可得回归方程为 ，
将 代入可得 ,即第8年该国企的生产利润约为 千万元.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在一个 的网格中填齐1至9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字
为 ．
的
（1）求满足第二横排、第二竖排 个数字之和均为 的不同的数字填写方案种数；
（2）求满足第二横排的数字从左到右依次增大，第二竖排的数字从上到下依次增大的不同的数字填写方
案种数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意第二横排或第二竖排的其它 个数字之和必然为 ，将剩下的数字分为个组合，按
照分步乘法计数原理计算可得；
（2）先排 的左边与上边，再排 的右边与下边，最后将剩下的数字全排列.
【小问1详解】
要使第二横排和第二竖排的 个数字之和均为 ，
则第二横排或第二竖排的其它 个数字之和必然为 ，
则要从 和 ， 和 ， 和 ， 和 这四个组合中选出两个组合填写，
首先选一个组合填到第二横排的两个空中，再选一个组合填到第二竖排的两个空中，最后将其余四个数全
排列，故有 种填法.
【小问2详解】
先从 、 、 、 这四个数字中选 个数字分别排到 的左边和上边，有 种；
再从 、 、 、 这四个数字中选 个数字分别排到 的右边和下边，有 种；
最后将其余四个数字排到剩下的四个位置，有 种；
按照分步乘法原理可得，一共有 种填法.
16. 已知二项式 ．
（1）若 ， ，求二项式的值被7除的余数；
（2）若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入 ， ，将二项式转化为 ，利用二项式定理即可得解；
（2）先由题意求得 ，再利用二项展开通项公式得到关于系数最大的项的不等式组，解之即可得解.
【小问1详解】
因为 ， ，
，
显然 能被7整除， ，
所以二项式的值被7除的余数为 .
【小问2详解】
因为 的二项式系数之和为128，，
则 的展开通项公式为 ，
假设展开式中系数最大的项为第 项，
则 ，即 ，
即 ，解得 ，
所以展开式中系数最大的项为第6，7项，
即 .
【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是熟练掌握组合数公式，从而得解.
17. 已知函数 ．
（1）若 ，判断 的单调性；
（2）若 在 上没有极值点，求 的取值范围．
【答案】（1） 在 上单调递增，在 上单调递减
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式 即可；
（2）分两种情况：即 在 上恒成立，或 在 上恒成立。
【小问1详解】
当 时， ，其定义域为 ，，
由 ，得 ．由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
【小问2详解】
因为 ， ，
当 时， ，
若 在 上没有极值点，则 在 上单调，
即 在 上恒成立，或 在 上恒成立．
若 在 上恒成立，则 ，解得 ，
若 在 恒成立，则 ，解得 ．
综上所述，a的取值范围为 ．
18. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）已知 有两个极值点.
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）若 的极小值小于 ，求 的极大值的取值范围.
【答案】（1）（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）（ⅰ）分析可知原题意等价于 有两个不同的正实数根，结合基本不等式分析求解；（ⅱ）设
有两个不同的正实数根 ，根据单调性可知 的极值点 ，结合零点代换
可得 ，构建 ，结合单调性分析可得 ，
则 ，即可得取值范围.
【小问1详解】
当 时，则 ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
（ⅰ）由题意可知： 的定义域为 ， ，
令 ，可得 ，原题意等价于 有两个不同的正实数根，
因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
可知 ，所以 的取值范围 ；
（ii）由（i）可知： 有两个不同的正实数根 ， ，
不妨设 ，可知 ，
当 时， ；当 或 时， ；
可知 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 为 的极小值点， 为 的极大值点，
对于 的极值点 ，则 ，
可得 ，
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递增，在 上单调递减，
则 ，可知 ，则 ，
又因为 在区间 上单调递增，则 ，所以 的极大值的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法
（1）若求极值，则先求方程 的根，再检查 在方程根的左右函数值的符号；
（2）若探究极值点个数，则探求方程 在所给范围内实根的个数；
（3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 根的大小或存在情况来求解；
（4）求函数f(x)在闭区间 的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 ， 与
的各极值进行比较，从而得到函数的最值．
19. 混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强
度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝
土的抗压强度（单位： ）随龄期（单位：天）的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组
混凝土试件在龄期 分别为 时的抗压强度 的值，并对数据作
了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
9. 29.
2 366 5.5 439.2 55
4 7
表中 ．
（1）根据散点图判断 与 哪一个适宜作为抗压强度 关于龄期 的回归方程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立 关于 的回归方程；
（2）工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度 视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝
土设置的最低抗压强度标准值为 ．
（i）试预测该批次混凝土是否达标？
（ii）由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表
明，该型号混凝土第7天的抗压强度 与第28天的抗压强度 具有线性相关关系 ，试估
计在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度．
附：
参考数据： ．
【答案】（1） 适宜， ．
（2）（i）达标；（ii） ．
【解析】
【分析】（1）先换元再根据已知数据求出 即可求出回归直线；
（2）根据回归直线预测即可.
【小问1详解】
由散点图可以判断， 适宜作为抗压强度 关于龄期 的回归方程类型．
令 ，先建立 关于 的线性回归方程，
由于所以 关于 的线性回归方程为 ，
因此 关于 的线性回归方程为 ．
【小问2详解】
（i）由（1）知，当龄期为28天，即 时，
抗压强度 的预报值 ，
因为 ，所以预测该批次混凝土达标．
（ii）令 ，得 ．
所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为 ．
