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高二数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系 中，点 关于平面 对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知空间向量 ， ，则 （ ）
A. B. 19 C. 17 D.
3. 某公司利用无人机进行餐点即时的送，利用空间坐标表示无人机的位置，开始时无人机在点
处起飞，6秒后到达点 处，15秒后到达点 处，若 ，则 （ ）
A. B. 120 C. 150 D. 210
4. 已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则实
数 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
5. 在平行六面体 中， ， 分别是 ， 的中点.设 ， ，
则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
的
6. 已知向量 ， ，则向量 在向量 上 投影向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，圆柱 的母线长和底面直径相等， 分别是下底面圆 和上底面圆 的直径，且
，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
8. 在正三棱锥 中， ，点 ， 分别是棱 ， 的中点，则 （
）
A. -2 B. -4 C. -8 D. -10
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若 是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知正方体 的棱长为2，若 ， 的中点分别为 ， ，则（ ）
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A B. 平面 平面
C. D. 点 到平面 的距离为
11. 在平行六面体 中， ， ，若
的
，其中 ， ， ，则下列结论正确 为（ ）
A. 若点 在平面 内，则 B. 若 ，则
C. 当 时，三棱锥 的体积为 D. 当 时， 长度的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
.
12 如果空间中 三点共线，则 ______.
13. 在空间直角坐标系 中，已知 ，则三棱锥 的体积为
_________．
14. 已知正方体 的棱长为 ，点 在线段 上（不含端点）.若 是锐角，则线
段 长度的取值范围为______.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知空间向量 .
（1）求 ；
（2）判断 与 以及 与 的位置关系.
16. 在空间直角坐标系中，已知点 ， ， ，设 ， ．
（1）若 与 互相垂直，求 的值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求点 到直线 的距离．
17. 如图，在长方体 中， ， ， ， ， ， 分别为棱 ，
的
， ， 中点.
（1）证明： ， ， ， 四点共面；
（2）若点 在棱 ，且 平面 ，求 的长度.
18. 如图，在四棱锥 中， ，
，点 为棱 上一点．
（1）证明： ；
（2）当点 为棱 的中点时，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）当二面角 的余弦值为 时，求 ．
19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球 的半径为 ， 为球面上
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学科网（北京）股份有限公司三点，劣弧 的弧长记为 ，设 表示以 为圆心，且过 的圆，同理，圆 ， 的劣弧
的弧长分别记为 ，曲面 （阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角 ， ，
分别为 ， ， ，则球面三角形的面积为 .
（1）若平面 ，平面 ，平面 两两垂直，求球面三角形 的面积；
（2）若将图一中四面体 截出得到图二，若平面三角形 为直角三角形， ，设
， ， .
①求证： ；
②延长 与球 交于点 ，连接 ，若直线 与平面 所成的角分别为 ， ，
， ， 为 中点， 为 中点，设平面 与平面 的夹角为 ，求 的
最小值.
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