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2027 届高二上学期 9 月月考
数学试题
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题58分）
一、单选题单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 设 （ 为虚数单位），则 （ ）
.
A B. C. D. 2
2. 已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图， 是水平放置的 的斜二测直观图，其中 ， .则以下正
确的有（ ）
是
A. B. 等腰直角三角形
C. D. 的面积为
4. 在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. 3 D.
5. 要得到函数 的图象，只需 的图象
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学科网（北京）股份有限公司A. 向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变）
B. 向左平移 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变）
C. 向左平移 个单位，再把各点 的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变）
D. 向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变）
6. 如图，在三棱柱 中， ， ， 底面 ，则异面直线
与 所成角的余弦值是（ ）
.
A B. C. D.
7. 已知 ， ，且 ， ，则 （
）
A. 1 B. 0 C. -1 D.
8. 如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差
为
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在平行四边形 中，点 ， 分别是边 和 的中点， 是 与 的交点，则有（
）
A. B.
C. D.
10. 三角形 的三边 所对的角为 ， ，则下列说
法正确的是（ ）
A. B. 若 面积为 ，则 周长的最小值
为12
C. 当 ， 时， D. 若 ， ，则 面积为
11. 如图直角梯形 中， ， ， ，E为 中点.以 为折
痕把 折起，使点A到达点P的位置，且 则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 平面 平面 B.
C. 二面角 的大小为 D. 与平面 所成角的正切值为
第II卷（非选择题92分）
三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若 ， ，且 ，则 与 的夹角为___________.
13. 如图，货轮在海上以40海里 时的速度由 向 航行，航行的方向角 ， 处有灯塔，
其方位角 ，在 处观察灯塔 的方位角 ，由 到 需航行0.5小时，则 到
灯塔 的距离是___________海里.
14. 如图，已知边长为4的菱形 中， .将菱形 沿对角线 折
起得到三棱锥 ，二面角 的大小为60°，则直线 与平面 所成角的正弦值为
______.
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 与 的夹角 ，且 ， ．
（1）求 ， ；
的
（2）求 在 方向上 投影向量的模．
16. 在 中， 的对边分别为 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的平分线 交 于点 ，求 长度的取值范围.
17. 如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， ， 平面 ，
， 为 的中点， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求证： 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积.
18. 已知函数 （其中 ， ， ， ）的部分图象如图所示，
是图象的最高点， 为图象与 轴的交点， 为坐标原点.若 ， ， .
（1）求 的大小；
（2）求函数 的解析式；
（3）若 ， ，求 的值.
19. 欲在某湿地公园内搭建一个形状为平面凸四边形 的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，
其中 （单位：百米）， （单位：百米）， 为正三角形.建成后 将作为人们
旅游观光、休闲娱乐的区域， 将作为科普宣教文化的区域.
（1）当 时，求旅游观光、休闲娱乐的区域 的面积；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域 面积的最大值.
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