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高 2024 级高二上学期 9 月月考
数学试题
考试时间：120分钟；满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）.
1. 复数 的虚部是（ ）
A. 20 B. C. D. 25
2. 已知向量 ．若 ，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
3. 如图，已知 的平面直观图是等腰直角 ，且 ， ，则 的面积
是（ ）
A. B. C. 1 D.
4. 在正方体 中，异面直线 与 所成的角为（ ）
A. B. C. D.
5. 若事件 与 相互独立，且 ， ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每
天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，
则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）
A. 0.96 B. 0.94 C. 0.79 D. 0.75
7. 在棱长为2的正方体 中，M为线段 上一动点，求 的最小值（ ）
A. B. C. D.
8. 某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这
个时段的降雨量（单位： ）．24h降雨量的等级划分如下：
等级 24h降雨量（精确到0.1）
…… ……
小雨 0.1~9.9
中雨 10.0~24.9
大雨 25.0~49.9
暴雨 50.0~99.9
…… ……
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
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学科网（北京）股份有限公司9. 在图示正方体中，O为BD中点，直线 平面 ，下列说法正确的是（ ）．
A. A，C， ， 四点共面 B. ，M，O三点共线
C. 平面 D. 与BD异面
10. 有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，则（ ）
A. 的平均数等于 的平均数
B. 的中位数等于 的中位数
的
C. 标准差不小于 的标准差
D. 的极差不大于 的极差
11. 若四面体 各棱长均为1或2，但不是正四面体，则该四面体外接球的表面积可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共15分，答案填在答题卡对应题号后的横线
上）．
12. 已知扇形的半径为6，圆心角为 ，则扇形弧长为_______.
的
13. 若一个圆台 上、下底面圆的半径分别为3和8．母线长为13，则该圆台的体积为__________．
14. 在 中， ， ，D 是 BC 的中点，E 是 的内心，则
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四、解答题（本大题共 5小题，其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
15. 如图，在棱长为3的正方体 中， 分别为棱 的中点．
（1）证明： ；
（2）求三棱锥 的体积．
16. 已知 分别为 三个内角 的对边，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
的
17. 为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为 100分，所有参赛学生 成绩都不低于50分．
现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照 ， 分成5组，制成了如图所示的
频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用
该组区间的中点值代表）；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，
求恰有1人成绩在 的概率．
.
18 已知平面向量 ， ，且 ．求：
（1）向量 在向量 上的投影向量；
（2） 的值；
（3）向量 与 夹角的余弦值．
19. 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜
或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场
获胜的概率为 ，平局的概率为 ，其中 ；甲队在客场获胜和平局的概率均为 ；加时赛甲队
获胜的概率为 .不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场.
（1）已知 .
（i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率；
的
（ii）求甲队获得冠军 概率.
（2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为
平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为 ，平局的概率为 ，加时赛甲队获
胜的概率为 .问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
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