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高 2024 级高二上学期 9 月月考
数学试题
考试时间：120分钟；满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）.
1. 复数 的虚部是（ ）
A. 20 B. C. D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数虚部的含义可得答案.
【详解】 的虚部是20.
故选：A
2. 已知向量 ．若 ，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直，数量积为0列式，可求 的值.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
3. 如图，已知 的平面直观图是等腰直角 ，且 ， ，则 的面积
是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直观图的画法求出原图形的长度即可求出面积.
【详解】因为 是等腰直角三角形， ，
所以 ，且 ， ，
，所以原平面图形的面积是 .
故选：A．
的
4. 在正方体 中，异面直线 与 所成 角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
的
【分析】根据线线角 求法，将异面直线平移至同一平面内，求得正确答案.
【详解】画出图象如下图所示
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学科网（北京）股份有限公司根据正方形的性质可知
所以 是直线 与 所成角
由于三角形 是等边三角形
所以
即直线 与 所成的角的大小为
故选：
5. 若事件 与 相互独立，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用和事件及独立事件概率公式即得.
【详解】∵事件 与 相互独立，且 ， ，
∴ .
故选：D.
6. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每
天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，
则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）
A. 0.96 B. 0.94 C. 0.79 D. 0.75
【答案】B
【解析】
【分析】利用抽样中样本平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式即可算出．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为： （小时），
该地区中学生每天睡眠时间的方差为：
．
故选：B．
7. 在棱长为2的正方体 中，M为线段 上一动点，求 的最小值（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 绕 翻折至与 共面，当 共线时， 最小，再由余弦定理
求解即可.
【详解】连接 ，如图，
由正方体的性质可得 为等腰直角三角形，故 ，
为直角三角形， ，
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学科网（北京）股份有限公司将图中 绕 翻折至与 共面，如图，
所以由图可知， 共线时， 最小，
此时 ，
由余弦定理可知 ，
所以 最小值为 .
故选：B
8. 某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这
个时段的降雨量（单位： ）．24h降雨量的等级划分如下：
等级 24h降雨量（精确到0.1）
…… ……
小雨 0.1~9.9
中雨 10.0~24.9
大雨 25.0~49.9
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学科网（北京）股份有限公司暴雨 50.0~99.9
…… ……
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
【答案】B
【解析】
【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【详解】由题意，一个半径为 的圆面内的降雨充满一个底面半径为
，高为 的圆锥，
所以积水厚度 ，属于中雨.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在图示正方体中，O为BD中点，直线 平面 ，下列说法正确的是（ ）．
A. A，C， ， 四点共面 B. ，M，O三点共线
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学科网（北京）股份有限公司C. 平面 D. 与BD异面
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可.
【详解】由正方体性质， ，所以A，C， ， 四点共面，A正确；
直线 交平面 于点 ，
平面 ， 直线 ，又 平面 ， 平面 ，
为 的中点， 平面 ，底面 为正方形，所以 为 的中点，
平面 ，且 平面 ，又 平面 ，且 平面 ，
面 与面 相交，则 ， ， 在交线上，即三点共线，故选项 正确；
平面 平面 ， 平面 ，
但 ，所以 平面 ，C错误；
平面 ， 面 ， ，
所以 与BD为异面直线，D正确.
故选：ABD
10. 有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，则（ ）
A. 的平均数等于 的平均数
B. 的中位数等于 的中位数
C. 的标准差不小于 的标准差
D. 的极差不大于 的极差
【答案】BD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设 的平均数为 ， 的平均数为 ，
则 ，
因为没有确定 的大小关系，所以无法判断 的大小，
例如： ，可得 ；
例如 ，可得 ；
例如 ，可得 ；故A错误；
对于选项B：不妨设 ，
可知 的中位数等于 的中位数均为 ，故B正确；
对于选项C：举反例说明，例如： ，则平均数 ，
标准差 ，
，则平均数 ，
标准差 ，显然 ，即 ，
所以 的标准差不小于 的标准差，这一论断不成立，故C错误；
对于选项D：不妨设 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
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学科网（北京）股份有限公司故选：BD.
11. 若四面体 各棱长均为1或2，但不是正四面体，则该四面体外接球的表面积可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】设四面体 的外接球的球心为 ，半径为 ，分三种情况讨论①若一条棱长 ，其
余各棱棱长均为2，②若其中一组对棱相等且长度为1，其余棱长为2，③三棱锥 为正三棱锥，
且侧棱长为2， 是边长为1的等边三角形.根据对称性确定球心位置，由球心到各顶点距离相等列
式可求半径 ，进而得到四面体外接球的表面积.
【详解】设四面体 的外接球的球心为 ，半径为 ，表面积为 ，
依题意，四面体 长为1的棱最多有3条，分以下三种情况讨论：
①若 ，其余各棱棱长均为2，取 的中点 ，连接 、 ，
的
由 ， 为 中点，得 ， , ，
则 ， ，
根据对称性，球心 在 上，设 ，则 ，
由 ，得 ，解得 ，
因此 ，B可能；
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学科网（北京）股份有限公司②若其中一组对棱相等，不妨设 ，其余各棱棱长均为2，取 的中点 ，连接
，
由 ， ， 为 的中点，得 ，
则 ， ， ，
根据对称性，球心 为 中点，因此 ，A可能；
③三棱锥 为正三棱锥，且侧棱长为2， 是边长为1的等边三角形，
设顶点 在底面 内的射影点为 ，连接 、 ，
则 是底面正三角形的中心，且 ， ，
根据对称性，球心 在直线 上，设 ，则 ，
由 得 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司因此 ，C可能.
故选：ABC
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共15分，答案填在答题卡对应题号后的横线
上）．
12. 已知扇形的半径为6，圆心角为 ，则扇形弧长为_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用弧长公式即可求解.
【详解】根据弧长公式， ，
故答案为：
的
13. 若一个圆台 上、下底面圆的半径分别为3和8．母线长为13，则该圆台的体积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆台的高，再由圆台的体积公式 求解即可．
【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为3和8，母线为13，
所以圆台的高为： ，
由圆台的体积公式 ，
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学科网（北京）股份有限公司求得圆台体积为： ．
故答案为：
14. 在 中， ， ，D 是 BC 的中点，E 是 的内心，则
_______
【答案】3
【解析】
【分析】根据给定条件，结合三角形面积定理可得 ，再利用数量积的运
算律及余弦定理求解.
【详解】令 的内角 所对边分别为 ，延长 交 于 ，连接 ，
由E 是 的内心，得 分别平分 ，
， ，
同理 ，即 ，令 ，
则 ，即 ，
因此 ， ，
又 ，于是
，
由余弦定理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，所以 .
故答案为：3
四、解答题（本大题共 5小题，其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
15. 如图，在棱长为3的正方体 中， 分别为棱 的中点．
（1）证明： ；
（2）求三棱锥 的体积．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形 为平行四边形，结合中位线证明出结论；
（2）求出底面积和高，利用锥体体积公式求出答案.
【小问1详解】
连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 分别为棱 的中点，
所以 ，
因为正方体 的棱长为3，
所以 ， ，
故四边形 为平行四边形，
所以 ，
故 ；
【小问2详解】
由题意得，正方形 的面积为 ，
， ，
故 ，
又 ⊥平面 ，故 ⊥平面 ，
三棱锥 的体积为 .
16. 已知 分别为 三个内角 的对边，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得 ，进而得到 ，根据角
的
范围即可求解；
（2）由 ，求得 ，由 得 ，由余弦定理得 ，即可求得 的周长.
【小问1详解】
因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
若 ，则 ，不合题意，故 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
【小问2详解】
因为 的面积为 ，可得 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，由余弦定理 ，
可得 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的周长为 .
17. 为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为 100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．
现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照 ， 分成5组，制成了如图所示的
频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用
该组区间的中点值代表）；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，
求恰有1人成绩在 的概率．
【答案】（1） ，平均数为 分，中位数为 分；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为 可求得 的值，将每个矩形的中点值乘以对应
矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数，根据中位数左边的矩形面积之和为 可求得中位数的
值；
（2）分析可知后三组中所抽取的人数分别为 ，将这 人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古
典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
由已知可得 ，解得 ，
所抽取的 名学生成绩的平均数为 （分），
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学科网（北京）股份有限公司由于前两组的频率之和为 ，前三组的频率之和为 ，
所以，中位数 ，由题意可得 ，解得 （分）.
【小问2详解】
由（1）可知，后三组中的人数分别为 ，故这三组中所抽取的人数分别为 ，
记成绩在 这组的 名学生分别为 ，成绩在 这组的 名学生分别为 ，成绩在
这组的 名学生为 ，
则从中任抽取 人的所有可能结果为 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 ，共 种.
其中恰有 人成绩在 为 、 、 、 、 、 、 、 共 种.
故所求概率为 .
18. 已知平面向量 ， ，且 ．求：
（1）向量 在向量 上的投影向量；
（2） 的值；
（3）向量 与 夹角的余弦值．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由已知及数量积的运算律得 ，再由投影向量的定义求向量 在向量 上的投影向
量；
（2）应用向量数量积的运算律求向量的模长；
（3）应用向量数量积的运算律及夹角公式求向量 与 夹角的余弦值.
【小问1详解】
由 ， 得 ，即 ，
向量 在向量 上的投影向量是 ；
【小问2详解】
由 ；
【小问3详解】
，
所以 .
19. 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜
或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场
获胜的概率为 ，平局的概率为 ，其中 ；甲队在客场获胜和平局的概率均为 ；加时赛甲队
获胜的概率为 .不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场.
（1）已知 .
（i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率；
（ii）求甲队获得冠军的概率.
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学科网（北京）股份有限公司（2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为
平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为 ，平局的概率为 ，加时赛甲队获
胜的概率为 .问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
【答案】（1）（i） ；（ii）
（2）“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠
【解析】
【分析】（1）（i）先分析出事件 即甲队通过加时赛获得冠军，包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客
平三种情况，然后加时赛获胜，得到 的表达式，将 代入计算即可；（ii）先分析出事件 即
甲队获得冠军包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜四种情况，得到 的表达式，将
代入计算即可；
（2）先分析出事件 即在第三方场地的“单场比赛制”下甲队获胜包含甲队胜，甲队平且加时赛胜两种情
况，得到 的表达式，分析出 的取值范围，借助 的取值范围得到 ， 的大小关系即可知
哪种赛制更有利于甲队夺冠.
【小问1详解】
（i）设甲队通过加时赛获得冠军为事件 ，
则事件 包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜，
所以 .
因为 ，所以 ；
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学科网（北京）股份有限公司（ii）设甲队获得冠军为事件 ，
则事件 包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜，
则 .
因为 ，所以 .
【小问2详解】
在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件 ，
则事件 包含甲队胜，甲队平且加时赛胜，
则 ，
因为 ，所以 ，此时 ，符合题意，
，
因为 ， ， ，所以 ，
即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠.
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