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2025-2026 学年秋学期高二年级第一次质量检测试卷
数学学科
（考试时间：120分钟；总分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若直线经过两点 ， 且倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
2. 曲线方程 表示一个圆的充要条件为（ ）
A. B. C. D.
3. 方程 的化简结果是（ ）
A. B.
C. D.
4. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标
系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小
值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
5. 若关于 的方程 有且仅有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
6. 已知椭圆 ， 为其左焦点，直线 与椭圆 交于点 ， ，且
的
．若 ，则椭圆 离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线 与圆 相切，则满足条件的直线 有
（ ）条
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知圆 ，点 ，点 是 上的动点，过 作圆 的切
线，切点分别为 ， ，直线 与 交于点 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
的
9. 已知 三个顶点分别是 ，且 边上的高所在的直线方程为
，则以下结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A.
B. 边上的中线所在的直线方程为
C. 过点 且平行于 的直线方程为
D. 三边所在的直线中，直线 的倾斜角最大
10. 设椭圆 的左右焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是（
）
A.
.
B 离心率
C. 面积的最大值为
的
D. 以线段 为直径 圆与直线 相切
11. 已知直线 和曲线 ，点A是直线 上的一个动点，点 是曲线 上的一
个动点，过点A作曲线 的两条切线，切点分别为 ､ ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 曲线 上存在 个点到直线 的距离等于
C. 若曲线 上总存在点 ，使得 ，则A的横坐标的取值范围是
.
D 直线 过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从圆 外一点P（2,3）向这个圆引切线，则切线的方程为_________.
第3页/共5页
学科网（北京）股份有限公司13. 椭圆 的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当 的周长最大时，
的面积是___________.
14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥
曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 与两定点 的距
离之比为 ，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，
圆 、点 和点 为圆 上的动点，则 的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知点 和点 ，求过直线 的中点且与 垂直的直线 的方程；
（2）求过直线 和 的交点，且平行于直线 的直线 的方程．
16. 已知椭圆 的焦点为 ，且该椭圆经过点 .
（1）求 的标准方程；
（2）若 为 上一点，且 ，求 的面积.
17. 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若 ＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
18. 已知圆 过点 ，圆心在直线 上，截 轴弦长为 ．
（1）求圆 的方程；
（2）若圆 半径小于 ，点 在该圆上运动，点 ，记 为过 、 两点的弦的中点，求 的
轨迹方程；
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学科网（北京）股份有限公司（3）在（2）的条件下，若直线 与直线 交于点 ，证明： 恒为定值．
19. 平面直角坐标系中，圆M经过点 ， ， .
（1）求圆M的标准方程；
（2）设 ，过点D作直线 ，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.
①过点D作与直线 垂直的直线 ，交圆M于EF两点，记四边形 的面积为S，求S的最大值；
②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程.
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