文档内容
2025 年秋期六校第一次联考
高二年级数学试题
命题学校：桐柏一高 审题学校：南阳八中
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 直线 的倾斜角小于 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由倾斜角与斜率的关系求解.
【详解】由 ，倾斜角小于 ，所以 ，即 ，
故选：A.
2. 过点 的圆的一般方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆的方程为 ，根据题意，列出关于 的方程组，求得
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学科网（北京）股份有限公司的值，即可得到圆的一般方程.
的
【详解】由题意，设所求圆 一般方程为 ，
因为圆过点 ， ， ，
可得 ，解得 ，
所以所求圆的一般方程为 .
故选：B.
3. 已知双曲线 的两个焦点分别为 ， ，双曲线 上有一点 ，若 ，则
（ ）
A. 2 B. 10 C. 2或9 D. 2或10
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的定义求解.
【详解】 ， ， ， ，
由 ，由 得 或10，
又 .
所以 .
故选：B.
4. 已知点 在圆 外，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的标准方程及点与圆的位置关系判断.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由圆的方程可化为 ， ，又点 在
圆外，则 ， ，综上 .
故选：D.
5. 若直线 与直线 平行，则两直线间距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据两直线平行的充要条件求出 ，再根据平行直线间的距离公式计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，解得 或 ，
经检验，当 时两直线重合，
所以 ，
则 ， 即 ，
所以两直线之间的距离为 .
故选：A.
6. 已知动圆 过点 ，且与圆 内切，则点 的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两圆内切半径关系可得： ，根据椭圆的定义可得点 的轨迹方程.
【详解】设动圆 的半径为 ，则 ， ， ， ∴点 的轨迹是
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学科网（北京）股份有限公司以 ， 为焦点的椭圆，故长半轴 ，半焦距 ,则短半轴 点轨迹方程为
.
故选：C.
7. 若直线 与曲线 恰有两个公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由 得 ，
直线 经过点 ，
设 ， ，知 ， ，
当 与圆 相切时，
，解得 或 ，
由数形结合知直线与半圆形有两个公共点，则 或 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 ， 在该椭圆上，四边形
是等腰梯形，且 ， ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，根据条件求得 ，由椭圆定义得 ，从
而利用 求得离心率.
【详解】设椭圆 的半焦距为 ，依题意， ，又 ，
如图，
设 ， 四边形 为等腰梯形，
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学科网（北京）股份有限公司，即 ， ；
由椭圆定义知， ， ，
解得 .
故选：B.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知曲线 ，则（ ）
A. 若 ，则曲线 表示圆，且半径为
B. 若 ，则曲线 表示双曲线，且渐近线为
C. 若 ， ，则曲线 表示两条直线
D. 若 ，则曲线 表示焦点在 轴上的椭圆
【答案】AC
【解析】
【分析】根据方程表示的曲线确定参数 的关系，然后由方程研究曲线的性质判断各选项.
【详解】选项A：若 ，则 ，表示圆，且半径为 ，故A正确；
选项B：若 ， ，则 ，其渐近线为 ，
若 ， ，则 ，其渐近线为 ，故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司选项C：若 ， 时， ，即 表示两条直线，故C正确；
选项D：当 时， ，表示焦点在 轴上的椭圆，故D错误.
故选：AC.
10. 已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是该椭圆的上顶点，点 是椭圆上一动点，则下列说
法正确的是（ ）
A. 该椭圆的离心率为 B.
C. 的最大值为2 D. 内切圆半径的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由椭圆方程求得 后得到离心率判断A，由椭圆性质判断B，根据椭圆方程判断C，利用三
的
角形 面积公式判断D.
【详解】不妨设 ， 分别是左、右焦点.
选项A：由椭圆方程可得 ， ， ，所以该椭圆的离心率为 ，故A正确；
选项B： ，即： ，故B正确；
选项C：设 ， ，则 ，
∴当 时 最大，最大值为 ，故C错误；
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学科网（北京）股份有限公司选项D：设 内切圆半径为 ，则 ，故
.当且仅当点 为短轴顶点时， 取得最大值 ，所以 内切圆半径
的最大值为 ，故D正确.
故选：ABD.
11. 过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，已知点 是
圆 上一动点，则（ ）
A. 的最小值是
B. 的最大值是
C. 四边形 面积的最小值为
D. 当 最小时，直线 的方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：利用圆心到直线的距离减去半径可得到 ；对于B：当 与圆 相切且 直
线 时， 最大，计算此时的 即可；对于C：当 直线 时，
最小，计算此时的四边形 面积即可；对于D：当 直线 时， 最小，
利用以线段 为直径的圆与圆 的相交弦直线即为直线 的方程，两圆作差即得到此时的直线 的
方程.
【详解】选项A： ，故A正确；
选项B：当 与圆 相切且 直线 时， 最大，
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学科网（北京）股份有限公司此时 ， ， ， ，故B正确；
选项C：由 ，
当 与直线 垂直， 最小， 最小，
，
，故C错误；
选项D：由题意知 ，则 ，
，即 ，
，
，
当 最小， 取得最小值，此时 垂直于直线 ，
所以直线 方程为. ，联立 ，解得 ，即 ，
则以 为直径的圆的方程为 ，
即为四边形 的外接圆，方程为 ，
由四边形 的外接圆 与圆 相交于 ，
两圆方程相减即为 的方程 ，故D正确.
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学科网（北京）股份有限公司故选：ABD.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知直线 被圆 所截得的弦长为 ，则 ________.
【答案】 或
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程求得圆 的圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，列出关于 的方
程，即可求解.
【详解】由圆的方程 ，可得 ，
可得圆心为 ，半径为 ，
设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
因为直线 被圆 所截得的弦长为 ，
由圆的弦长公式，可得 ，即 ，即 ，
整理得 ，解得 或 .
故答案为： 或 .
13. 已知 为椭圆 上一动点， ， 为椭圆的左、右焦点，点 ，则 周长的最
小值是________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】由椭圆方程得到参数 ，即得到焦点坐标，求得 ，然后由三角形三边关系求得周
长的最小值.
【详解】 ， ， ， ， ，
法一： ，由
，
的周长的最小值为 .
法二： 的周长的最小值为 .
故答案为： .
14. 已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆与双曲线在第一象
限交于点 、在第三象限交于点 ，若 ，则该双曲线的离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的性质和双曲线的对称性可知四边形 为矩形，则 ，利用双曲线的定
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学科网（北京）股份有限公司义和勾股定理列式得 ，代入列不等式化简得 ，解不等式即可求解离心率范
围.
【详解】如图
由题意知四边形 为矩形，所以 且 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即： ，
所以 ，即： ，所以 ，又 ，所以 .
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知 是椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆上一点，且 与 轴
垂直.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 ， ，证明点 在椭圆上，并求 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）证明见解析， .
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列式求出 即得.
（2）将点 的坐标代入椭圆方程计算得证；再利用两点间距离公式，结合余弦函数有界性求出范围.
【小问1详解】
由 与 轴垂直得 ，即半焦距 ，
由点 在椭圆 上，得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程是 .
【小问2详解】
由点 ，得 ，
所以点 在椭圆 上；
依题意，
，而 ，则 ，
所以 的取值范围是 .
16. 双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，其离心率 ，且双
曲线过点 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）若双曲线上一点 满足 ，求 的面积.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代点的坐标入曲线方程，结合离心率和 的关系建立方程组，求得 的值，即可得
到曲线方程；
（2）由双曲线上的点到两焦点距离差为 ，两焦点间的距离，结合余弦定理即可求得 ，然后
得到三角形面积.
【小问1详解】
由题意知： ，
解得 ，
故双曲线 的方程为： .
【小问2详解】
由题意得 ， ，
在 中，由余弦定理得：
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学科网（北京）股份有限公司即： ， ，
，
所以 的面积为 .
17. 已知直线 .
（1）设直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程；
（2） 中， 为直线 所过的定点， 边上的高 所在直线的方程为 ， 边上
的中线 所在直线的方程为 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到直线不过原点，且直线 的斜率为 ，得出方程，求得 的值，进而求得
直线 的方程；
（2）由直线 的方程，求得 点坐标，再由 边上的高 的方程求得 ，得到 的方程，联
立方程组，求得 的坐标，设 ，得到 ，代入求得 ，联立方程组，求得
，进而求得 的方程.
【小问1详解】
的
由直线 在两坐标轴上 截距相等，
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学科网（北京）股份有限公司则 且 ，且直线不过原点，
要使得直线 在两坐标轴上的截距相等，则直线 的斜率为 ，
即 ，解得 ，所以直线 的方程为 .
【小问2详解】
由 ，可得
由 ，解得 ，所以 ，
因为 边上的高 所在直线的方程为 ，可得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
又因为 所在直线的方程为 ，
由 ，解得 ，所以 ，
设 ，则 中点 ，
将其代入 ，可得 ，整理得 ，
又由 ，解得 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
18. 已知圆 经过点 ，点 ，且圆心在直线 上.
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学科网（北京）股份有限公司的
（1）求圆 标准方程；
（2）设 ， ，若圆 上存在点 ，使 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设圆心，建立方程组即可求得圆心坐标，然后求出半径长，从而写出圆的方程；
（2）由 构造圆，由两个圆有交点建立不等式即可求得实数 的取值范围.
【小问1详解】
设圆 的圆心为 ，则
解得
圆 的半径
所以圆 的标准方程是
【小问2详解】
， 点 在以 为直径的圆上
设线段 的中点为 ，则 ，圆
又 点 在圆 上， 圆 与圆 有公共点
即：
两边平方解得：
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学科网（北京）股份有限公司实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了圆的相关性质，（1）可以设圆心由圆的性质建立方程即可得
到答案；（2）中根据 得到三点共圆，由两圆有交点建立不等式即可求得结果.
19. 已知定点 ， ，动点 满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 作两条互相垂直的直线 与 ，直线 交曲线 于 ， 两点，直线 交曲线 于 ， 两
点，求四边形 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）设动点 坐标为 ，根据题意列出等量关系并化简即可求得其轨迹方程；
（2）讨论直线斜率是否存在，先求出其中一条直线斜率不存在时四边形的面积.再设出两条直线的方程，
求出圆心到两直线的距离，由垂径定理求得两条弦长，然后得到四边形面积的表达式.先讨论当 时的
面积，再当 时利用基本不等式求出其最大值.然后得出四边形的最大值.
【小问1详解】
设动点 的坐标为 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，且 ，
所以 ，
整理得 ，即： ，
所以动点 轨的迹 的方程为 ，
【小问2详解】
当直线 与 轴重合时， ， ， ，
当直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，
则直线 的方程为 ，
设圆 的圆心到直线 和直线 的距离分别为 ， ，圆 的半径为 ，
则 ， ， ，
所以 ，
，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时等号成立，
综上所述，四边形 面积的最大值为7.
【点睛】本题考查了圆的方程与直线方程，在讨论动直线的时候需要考虑
直线的斜率是否存在.
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学科网（北京）股份有限公司
