文档内容
惠州市 2025 届高三第一次调研考试试题
数学
2024.07
全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题
卡上．
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案
信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试
卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解即得.
【详解】由 ，得 ，即 ，由 ，得 ，即 ，
所以 .
故选：D
2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法可求 ，从而可求 .
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题设有 ，故 ，故 ，
故选：D
3. 在等差数列{a}中，已知a＝2，a+a＝13，则a+a+a 等于（ ）
n 1 2 3 4 5 6
A. 40 B. 42 C. 43 D. 45
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知求出公差即可得出.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，所以 ，
则 .
故选：B.
4. 的展开式中常数项是（ ）
A. 14 B. C. 42 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.
【详解】展开式的通项为 ，
由 ，得 ，那么展开式中常数项是 .
故选：A.
【点睛】本题考查由二项式定理的通项公式求指定项，属基础题.
5. 在正三棱柱 中，若 ，则点A到平面 的距离为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用 结合已知条件求解即可.
【详解】因为在正三棱柱 中，若 ，
所以 ， ，
所以 ，
设点A到平面 的距离为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，得 .
故选：A
6. 在 中，内角 所对的边分别为 ．向量 ．若 ，
则角C的大小为（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】利用共线向量的坐标表示，结合余弦定理求解即得.
【详解】在 中，由 ， ，得 ，
整理得 ，由余弦定理得 ，而 ，
所以 .
故选：C
7. 设点A,B在曲线 上．若 的中点坐标为 ，则 （ ）
A. 6 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，根据题意，利用对数的运算，求得 的值，结合两点间的距
离公式，即可求解.
【详解】设 ，
因为 的中点坐标为 ，可得 ，
整理得 ，解得 或 ，
不妨设 ，所以 .
故选：B.
8. 已知函数 在区间 恰有6个零点，若 ，则 的取值范围
为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令 ，求得 从左到右的零点依次为： ，结合题
意，列出不等式，即可求解.
【 详 解 】 函 数 ， 由 ， 得 或
，
解得 的正零点为 或 ，
则函数 从左到右的零点依次为： ，
为了使得 在区间 恰有6个零点，只需 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分100分）．设
事件M表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N表示“从甲机构测评分数中任
取3个，恰有2个超过平均分”．下列说法正确的是（ ）
机构名称 甲 乙
分值 90 98 90 92 95 93 95 92 91 94
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学科网（北京）股份有限公司的
A. 甲机构测评分数 平均分小于乙机构测评分数的平均分
B. 甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差
C. 乙机构测评分数的中位数为92.5
D. 事件 互为对立事件
【答案】BD
【解析】
【分析】直接由平均数、方差、百分位数及对立事件的概念，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果.
【详解】对于A，甲机构测评分数的平均分 ，
乙机构测评分数的平均分 ，A错误；
对于B，甲机构测评分数的方差
，
乙机构测评分数的方差 ，B正确；
对于C，乙机构测评分数从小排到大为：91，92，93，94，95，乙机构测评分数的中位数为93，C错误；
对于D，由甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分，事件 不可能同时发生，
但必有一个发生，因此事件 互为对立事件，D正确.
故选：BD
10. 设公比为q的等比数列 的前n项积为 ，若 ，则（ ）
A. B. 当 时，
C. D.
【答案】BCD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据等比数列下标和的性质和应用判断ABC，根据基本不等式的应用判断D.
【详解】A选项：因为 ，所以 ，所以A不正确；
B选项：因为 ， ，则 ，所以 ，所以 ，所以B正确；
C选项：因为 ，所以 ，所以 ，所以C正确；
D选项： ，当且仅当 时，等号成立．所以D正确．
故选：BCD．
11. 在平面直角坐标系 中，动点 的轨迹为曲线C，且动点 到两个定点
的距离之积等于3．则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C关于y轴对称 B. 曲线C的方程为
C. 面积的最大值 D. 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定的信息，列式求出曲线C的方程，再逐项分析判断即可.
【详解】对于B，依题意， ，整理得 ，
因此曲线C的方程为 ，B正确；
对于A，方程中的 换成 方程不变，因此曲线C关于 轴对称，A正确；
对于C，显然 ，则 ，解得： ，
令 ，则 ，即 ，
的面积 ，C错误；
对于D， ，因此 的取值范围为 ，D正确.
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学科网（北京）股份有限公司故选：ABD
【点睛】结论点睛：曲线C的方程为 ，①如果 ，则曲线C关于y轴对称；②如果
，则曲线C关于x轴对称；③如果 ，则曲线C关于原点对称.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线 的一个焦点是 ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】化双曲线方程为标准形式，再结合焦点坐标求出 值.
【详解】双曲线 方程为 ，依题意， ，所以 .
故答案为：
13. 若点 关于 轴对称点为 ，写出 的一个取值为___．
【答案】 （满足 即可）
【解析】
【分析】根据 在单位圆上，可得 关于 轴对称，得出 求解.
【详解】 与 关于 轴对称，
即 关于 轴对称，
，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
当 时，可取 的一个值为 .
故答案为： （满足 即可）.
14. 已知函数 的定义域为 ，对于 ，恒有 ，且满足
，则 _______．
【答案】 ##0.03125
【解析】
【分析】根据给定条件，可得当 时， ，再借助 变形 即可得解.
【详解】函数 的定义域为 ，由 ，得 ，即 ，
又 ，由 ，得 ，解得 ，则 ，
于是 ，由对于 ，恒有 ，得当 时， ，
因此 ，
.
而 ，即有 ，所以
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：关键点是根据题意求得 ， ，进而求得当 时，
.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 在点 处的切线与直线 相互垂直．
（1）求实数 的值；
（2）求 的单调区间和极值．
【答案】（1） ；
（2）增区间为 ，减区间为 ，极小值 ，无极大值.
【解析】
【分析】（1）根据 ，代值计算即可求得参数值；
（2）根据（1）中所求参数值，求得 ，利用导数的正负即可判断函数单调性和极值.
【小问1详解】
因为 ，在点 处的切线斜率为 ，
又 在点 处的切线与直线 相互垂直，
所以 ，解得 .
【小问2详解】
由（1）得， ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
即 的增区间为 ，减区间为 ．
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
所以 在 处取得极小值 ，无极大值．
【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.
16. 某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复
试．
（1）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布 ，其中 ，试估计初试成绩不低
于75分的人数；（精确到个位数）
（2）复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已
知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为 ，后两题答对的概率均为 ，且每道题回答正确与
否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望．
附：若随机变量X服从正态分布 ，则： ，
．
【答案】（1）159；
（2）分布列见解析，期望为19.5.
【解析】
【分析】（1）分析可知 ，计算出 的值，乘以 可得结果；
（2）分析可知随机变量 的取值分别为 、 、 、 ，计算出随机变量 在不同取值下的概率，可
得出随机变量 的分布列，进而可求得 的值.
【小问1详解】
由学生初试成绩 服从正态分布 ，其中 ， ，得 ，
因此 ，
所以估计初试成绩不低于的人数为 人.
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
的可能取值为 ， ， ， ，
则 ， ，
， ，
所以 的分布列为：
数学期望为 .
17. 在三棱锥 中， 平面 ． 分别为线段 上的点，且
．
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 平面 并结合 的形状，利用线面垂直的判定定理进行证明；
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学科网（北京）股份有限公司（2）建立空间直角坐标系，求解出平面 、平面 的法向量，再用面面角的向量求法求解即得..
【小问1详解】
由 平面 ， 平面 ，得 ，
由 得 为等腰直角三角形，即 ，
又 ，且 面 ， 面 ，
所以 平面 ．
【小问2详解】
在三棱锥 中，取 中点 ，连接 ，由（1）知， ， ，
而 ，于是 ， ，则
显然直线 两两垂直，以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ．
由 平面 ，则平面 的法向量为 ，设平面 与平面 夹角为 ，
因此 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
18. 如图，已知椭圆 和抛物线 ， 的焦点 是 的上顶点，过
的直线交 于 、 两点，连接 、 并延长之，分别交 于 、 两点，连接 ，设
的面积分别为 、 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由抛物线 的焦点坐标求 的值；
（2）设直线 的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求 的值；
（3）设直线 、 的方程，与椭圆联立方程组表示出 ，由 ，化简并结合
基本不等式求取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
椭圆 的上顶点坐标为 ，
则抛物线 的焦点为 ，故 .
【小问2详解】
若直线 与 轴重合，则该直线与抛物线 只有一个公共点，不符合题意，
所以直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，点 、 ，
联立 可得 ， 恒成立，则 ，
.
【小问3详解】
设直线 、 的斜率分别为 、 ，其中 ， ，
联立 可得 ，解得 ，
点 在第三象限，则 ，
点 在第四象限，同理可得 ，
且
，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时，等号成立.
的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根
与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，
不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能
力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19. 如果数列 对任意的 ， ，则称 为“速增数列”.
（1）判断数列 是否为“速增数列”？说明理由；
（2）若数列 为“速增数列”.且任意项 ， ，求正整数k的最大值；
（3）已知项数为 （ ）的数列 是“速增数列”，且 的所有项的和等于k，若
， ，证明： .
【答案】（1）是，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）计算 ， ， ，得到答案.
（2）根据题意得到 ， ，计算当 时， ，当 时，
，得到答案.
（3）证明 ，得到 ，得到 ，代入计算得到证明.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
因为 ，则 ， ，
又 ，故 ，数列 是“速增数列”.
【小问2详解】
，
当 时， ，
即 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故正整数k的最大值为 .
【小问3详解】
，故 ，即 ；
，故 ，
即 ，
同理可得： ， ， ，
故 ，
故 ， ，得证.
【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，
其中根据题意利用累加法的思想确定 是解题的关键.
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