精品解析：广东省珠海市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（原卷版）_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年10月试卷_1007广东省珠海市2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试

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珠海市 2025 届高三第一次摸底考试
数学
本答案共15页，分第 I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分
一､选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，
   
U  x x 0 A x1 x2 ð A
1 已知全集 ，集合 ，则 U （ ）
.
A.
,1  2,
B.

0,1


 2,
C. ,1    2, D.  0,1  2,
10
2. 复数z  （i为虚数单位），z的共轭复数为（ ）
3i
A. 3i B. 3i C. 3i D. 3i
uuur uuur   
3. 在△ABC中，D是BC上一点，满足 BD3DC ，M是AD的中点，若BM BABC，则
（ ）
5 7 5
A B.1 C. D.
. 4 8 8
4. 已知点A 1,0  ，B  0,3  ，点P是圆 x3 2  y2 1上任意一点，则PAB面积的最小值为（ ）
11 9 10
A.6 B. C. D. 6
2 2 2
5. 一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周
形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为（ ）
A. 1: 3:2 B. 1:3:4 C. 3:2:2 3 D. 3:2: 6
2x a,x0,

6. 已知函数 f  x  log  x1 a,x0,  aR  在R上没有零点，则实数a的取值范围是（ ）
 1

2
A.
,1 


0

B.
,1 
C.
1,
D.
 0,
 2π
7. 函数 f  x 2 3sin2x sin2x ，其中0，其最小正周期为π，则下列说法错误的是
 3 
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A. 1
π 
 
B. 函数 f x 图象关于点 , 3对称
 3 
5π
C. 函数 f  x  图象向右移0  个单位后，图象关于 y 轴对称，则的最小值为
12
 π
D. 若x  0,  ，则函数 f  x  的最大值为 31
 2
8. 若不等式bx1ex ax2对一切xR恒成立，其中a,bR，e为自然对数的底数，则ab的取值
范围是（ ）
A.
,1 
B.
,1 
C.
,1 
D.
,2 
二､多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 设A，B为随机事件，且P  A  ，PB是A，B发生的概率．P  A  ,P  B  0,1 ，则下列说法正确的
是（ ）
A. 若A，B互斥，则P

AB
P 
A
P 
B

B 若P

AB
P 
A

P

B

，则A，B相互独立
.
C. 若A，B互斥，则A，B相互独立
       
P A B P B A P B A P A B
D.  与  相等
       
P A B P B A P B A P A B
10. 设 f xx33x，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 y  f  x  的图象与圆x2  y2 1有且只有两个公共点
B. 存在无数个等腰三角形ABD，其三个顶点都在函数 y  f  x  的图象上
C. 存在无数个菱形ABCD，其四个顶点都在函数 y  f  x  的图象上
D. 存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数 y  f  x  的图象上
11. 中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复
杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系 xOy 中，到两定点
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学科网（北京）股份有限公司F
a,0 
，F

a,0

距离之积为常数a2的点的轨迹C是双纽线.若M

3,0

是曲线C上一点，则下列结论
1 2
正确的是（ ）
A. 曲线C的图象关于原点对称
B. 曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3
D. 曲线C上有且仅有3个点P满足 PF  PF
1 2
三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 直线 y  axe与曲线C y xlnx相切，则a ______．
x2 y2
13. 已知点P在双曲线C:  1上，F ，F 分别是双曲线C的左、右焦点，若PFF 的面积为45，
1 2 1 2
64 36
则 PF  PF ______．
1 2
14. 甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90
分2；乙班的平均成绩为90分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是______分，
方差是______分2．
四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
   3   
15. 在VABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c其中m a,b ，n cosB, sinA，且mnc．
 4 
（1）求sin A 的值；
（2）若VABC 的外接圆半径为5，求VABC面积的最大值．
16. 如 图 ， 三 棱 柱 ABCABC 中 ， 侧 面 ABB A  底 面 ABC ， AB  AA  AC 2 ，
1 1 1 1 1 1
BC 2 2，ABB 60，点D是棱AB 的中点．
1 1 1
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明：ADBC ；
（2）求面ABC与面ABC夹角的正切值．
1
x2 y2  2 3
17. 已知椭圆C:  1  a b 0 的左、右焦点分别为F ，F ，且 FF 4 2 ，点M 2 2, 
a2 b2 1 2 1 2 

3 

在椭圆C上，直线l: y  xt．
（1）若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围；
（2）当t 2时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面
积的最大值．
 1
18. 设函数 f

x
lnx ，x
0,1

.
 x
（1）试判断 的单调性；
′
（2）证明：对  任  意x  0,1  ，有 f  x  f x  xx  f  x  ，当且仅当x x 时等号成立.
0 0 0 0 0
n n  1  n2 1 n
（3）已知X R(i 1,2,3,,n),X 1，证明： x    （其中
j i1 i i1  i x i   n 
n
a a a a a ）
i 1 2 3 n
i1
 
19. 对于数列 ，若存在常数T ，n T,n N* ，使得对任意的正整数nn ，恒有a a 成立，则
0 0 0 nT n

称数列 是从第n 项起的周期为T 的周期数列．当n 1时，称数列 为纯周期数列；当n 2时，称
0 0 0
数列   为混周期数列．记 为不超过 x 的最大整数，设各项  均  为正整数的数列 满足：

a
n , a 为偶数
  2 n
a  .
n1 a 1
 n 2 log 2 a n  , a 为奇数
 2 n
（1）若对任意正整数n都有a 1，请写出三个满足条件的a 的值；
n 1
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学科网（北京）股份有限公司（2）若数列 是纯周期数列，请写出满足条件的a 的表达式，并说明理由；
1

（3）证明：不论a 为何值，总存在m,nN*使得a 2m 1．
1 n
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