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2025—2026 学年度上学期 2024 级
9 月月考数学试卷
命题人：时舜
一、单选题
.
1 已知 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则 的实部为（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
3. 若圆锥的底面圆半径为 ，其侧面展开图的面积为 ，则这个圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. 设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
5. 一组不全相等的数据 ，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ）
.
A 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数
6. 如图，在等腰 中， ，点 是边 上 的动点，则 （
）
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学科网（北京）股份有限公司A. 为定值16 B. 为定值32
C. 最大值为32 D. 与 的位置有关
7. 在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ，
，O为 的外心，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，某电子元件由 ， ， 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，
， ， 三种部件不能正常工作的概率分别为 ， ， ，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子
元件能正常工作的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小；
B. 连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀；
C. 某种福利彩票的中奖概率为 ，那么买1000张这种彩票一定能中奖；
D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，
30%认为不降水．
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体 被抽到的概率是
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学科网（北京）股份有限公司B. 从装有 个红球， 个白球的袋中任意摸出 个球，事件 “至少有 个红球”，事件 “都是白球”，
则事件 与事件 是对立事件
C. 数据 的第70百分位数是23.5
D. 若样本数据 的标准差为1，则数据 的标准差为9
的
11. 如图，棱长为2 正方体 中，E为棱 的中点，F为正方形 ，内一个动
点（包括边界），且 平面 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 动点F轨迹的长度为
B. 直线 与 不可能垂直
C. 当三棱锥 的体积最小时，直线 与 所成角的余弦值为
D. 当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积为
三、填空题
12. 已知 ， ， ，若 三个向量不能作为空间向量的一组基，
则实数 等于________．
13. 已知三棱锥 ，如图所示， 为 重心，点 ， 为 ， 中点，点 ， 分别
在 ， 上， ， ，若 四点共面，则
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学科网（北京）股份有限公司_________．
14. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，记 为事件A，B的对立事件，且
，则 =__________
四、解答题
15. 近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指
数 衡量人体胖瘦程度以及是否健康，中国成人的BMI数值标准是： 为偏
瘦； 为正常； 为偏胖； 为肥胖.某社区医院为了解居民体重现
状，随机抽取了 100 名居民体检数据，将其 BMI 值分成以下五组： ， ， ，
， ，得到相应的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该社区居民BMI值的样本数据的 分位数；
（2）现从样本中利用分层随机抽样的方法从 ， 这两组中抽取6名居民，再从这6人中随
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学科网（北京）股份有限公司机抽取2人，求抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率.
16. 已知在锐角 中， ， 为 边上一点，且 平分 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
17. 如图，在正三棱柱 中， ， 是 的中点.
（1）证明： 平面 .
（2）求点 到平面 的距离.
的
18. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中 DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公
司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都
答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为 ，小华答对每道题目的概
率依次为 ，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为
事件 ，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件 ．
（1）求事件 发生的概率 ；
（2）求事件 和事件 同时发生的概率 ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
19. 如图， 是矩形 的对角线，以 为折痕将 折起，使点 到达点 的位置.
（1）若 ，证明：平面 平面 .
（2）若 ，二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
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