高二开学考试数学答案_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年03月试卷_0314河北省邯郸市大名县大名县第一中学2024-2025学年高二下学期开学考

高二下开学考试数学参考答案
当且仅当M 与B重合时取等号.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D A C C A A AC ACD
即折痕上到O,P两点距离之和最小的点为M ，且
题号 11 r
PM  MO  OP r  OP  .
答案 ABD 2
故M 的轨迹是以O,P为焦点，且长轴长为2ar的椭圆，焦距
   2 2 1  2 2 2
5． AM  AM AA  AB AD AA AA  AB AD AA r r
1 1 3 3 3 1 1 3 3 3 1 2c OP  ，c ，
2 4
2    2   2 2  
 （ABADAA） （ACAA）= AC  （AM+MC），
3 1 3 1 3 1 3 1 r 2 r 2 3r2
故b2 a2c2      ，
  2 4 16
所以AM 2MC， 故选：C.
1
以O,P所在直线为x轴，OP的中垂线为y轴建立直角坐标系，
6．设 FN x， MF  y，设AF ，AF 与AMF的内切圆切于点P，Q，
1 2 1 2 1 x2 y2
由对称性可得内切圆圆心在y轴上， 则曲线C的方程为 r2

3r2
1
，则N0,0，P


4
r
,0



，
4 16
结合切线长定理可得 FP  FN  QF ， MQ  MN ， x2 y2 3r2 3
1 1 2 设Qx ,y ，则 r 0 2  3r 0 2 1 y 0 2 16  4 x 0 2 ， r  x  r ，
0 0 2 0 2
则 FN  FP  QF  MN  MF ，即x y2， 4 16
1 1 2 2
  r  
故 MF  MF x2y42a，则a2，因此，e 1 4  3.故选：C. 则PQ  x 0  4 ,y 0   ，NQx 0 ,y 0 ，
1 2
a
  r r 3r2 3 1 r 3r2 r r
因此可得PQNQ  x2 x y2 x2 x   x2  x2  x  ，  x  ，
7．因为数列a 为等差数列，所以a a 2a 12， 0 4 0 0 0 4 0 16 4 0 4 0 4 0 16 2 0 2
n 4 6 5
r   r2
由二次函数的性质知，当x  时，PQNQ取得最小值为 故选：A.
因为数列b 为等比数列，所以bb b2 36， 0 2 8
n 4 6 5
10．如图，以点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，建立空间直角坐标
而a a 12a a a212a a 623636，
4 6 6 6 6 6 6
系，由题可得C0,0,0，A1,0,0，B1,1,0，C 0,0,1，A 1,0,1，
1 1
所以bb a a ，故A正确，C错误；
4 6 4 6 1 1 
B 1,1,1，M , ,1，
1 2 2 
因为a a 12，而b ，b 可同为正数也可同为负数，
4 6 4 6  1
对于A，若N为中点时，则N1,0, ，所以
 2
当b ,b 0时，b b a a ，当b ,b 0时，b b 2 bb 12a a ，
4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6
2
 1 5
BN  1121020   ，故A正确；
所以a a ，b b 大小关系不确定，故B，D错误. 故选A.  2 2
4 6 4 6
 
8．如图所示，设折痕为直线l，点P与P关于折痕对称，lOP M，在l上任取一点B，     BA CB
对于B，BA
1
0,1,1，CB
1
1,1,1，则cosBA
1
,CB
1
 
B

A
1
C

B
1  0，故B错误；
由中垂线的性质可知： PB  BO  BP  BO  OM  MP  OP ， 1 1
{#{QQABYQagxgowgBYACA5KAQVmCEmQkJCQLUoOgUAcKAQLQZNIFIA=}#}对于C，C  B  1,1,0，  A  M     1 , 1 ,1  ，C uu B ur  u A u M uur  1  1 0，所以AM BC，故C正确； 所以xx  y 1 2  y 2 2  16 1，x x my 1my 1my y 24m22，
 2 2  2 2 1 2 4 4 16 1 2 1 2 1 2
对于D，设点N1,0,t，0t1，  B  A  0,1,1，C  A  1,0,1，M  N     1 , 1 ,t1  ， 由抛物线的定义可得|AF|x  p x 1，|BF|x  p x 1，
1 1 2 2  1 2 1 2 2 2
设平面ABC的一个法向量为n  x,y,z， |AB|x x  px x 24m24，若AB的倾斜角为60，则m 3 ，
1 1 2 1 2
3
 n  B  A  yz 0  所以y  y  4 3 ，y y 4，所以y 2 3，y  2 3 ，所以x 3，x  1 ，
则   1 ，令z1，得x1,y1，则n1,1,1， 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3
nCA xz 0
1 4
所以|AF| x 14，|BF|x 1 ，所以|AF|3|BF|，故B正确；
1 2 3
1 1
  t1
所以sin cosn  ,M  N   2 2  t2 ，0t1， 对于C：若 AA  BB 8，则 x  p  x  p 8，所以 x 1 x 1 8，
1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2
3  t12 3  t12
4 4 2
所以x 1x 18，所以xx x x 18，所以14m2218，
1 2 1 2 1 2
令mt1,1m0，则sin
3 m1
，令pm1，2 p1，
解得m1，所以直线AB的斜率为1或1，故C错误；
3 1
m2
2 对于D：设Mx ,y ，Nx ,y ，由  A  F  M  F    N  F  0  ，得F 为AMN 的重心，
3 3 4 4
p
3 p 3 p2 3 1 1 1 所以x x x 3 3，y y y  0，
则sin   ，1  ， 1 3 4 2 1 3 4
3 p22p 3 3 p22p 3 3 1 2  3 p 2
2 2 p 2p2 所以|AF||MF||NF| x 1x 1x 16，故D正确. 故选：ABD.
1 3 4
1 2 2 3 1
当  时，1  取得最小值 ，此时sin取得最大值1； 1
p 3 p 2p2 3 12．4 13． /0.25
4
当 1 1时，1 2  3 取得最大值 1 ，此时sin取得最小值 6 ；
p p 2p2 2 3 在平行六面体ABCD ABCD中，AA  AD AB1，AADAABBAD60，
1 1 1 1 1 1 1
 6        1 1
综上，sin的取值范围为 ,1，故D正确. 故选：ACD. AA AB AA AD ABAD11  ，M为BD 的中点，
 3  1 1 2 2 1 1
    1     1   
 p  p CM CC CM  AA  CB CD  AA  ADAB ，
11．对于A：由题意得抛物线的焦点F ,0，准线方程为x ， 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2
 2  2
  1     1    2   1 1 1 1
因为AB长的最小值为4，所以2p4，解得 p2，故A正确 所以CM AD
2
(2AA
1
ADAB)AD
2
(2AA
1
ADAD ABAD)
2
(2
2
1
2
)
4
.
对于B：所以抛物线的方程为y2 4x，
14．72
依题意，a a a a 11226，
设直线AB的方程为xmy1，Ax,y ，Bx ,y ， 1 2 3 4
1 1 2 2
a a a a a 2a 2a 2a 26814，
xmy1 5 6 7 8 1 2 3 4
联立 ，得y24my40，所以y y 4m，y y 4，
y2 4x 1 2 1 2
a a a a a 2a 2a 2a 214822，
9 10 11 12 5 6 7 8
{#{QQABYQagxgowgBYACA5KAQVmCEmQkJCQLUoOgUAcKAQLQZNIFIA=}#} 
a a a a a a a a 822830，   mn 5 30
13 14 15 16 9 10 11 12 cos cosm，n 
 
  ，
m n 6 5 6
所以a 的前16项和为614223072.
n
30
故平面PAB与平面PBC的夹角余弦值为 ；
15．（1）证明：由于△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， 6
 
O是AD的中点，故OP AD，
（3）PE 0，1，1，由（2）知，平面PAB的一个法向量为m2，1，1，
由于平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD AD，OP 平面PAD， 
P

E

m

2 6
所以点E到平面PAB的距离为d     .
故OP平面ABCD； m 6 3
（2）连结OB，由于O是AD的中点，且2CBAD4，故CBOD， 16．（1）设Px,y，由 OP 2 d2，得x2y2 y2 ，
由于BC//AD，CD AD，故四边形OBCD为矩形，
当2,3时，x2 y2 23y2，即
x2
2y2 1，所以2,3曲线为椭圆.
所以OB AD，故有OB、OD、OP两两垂直， 2
以O为坐标原点，OB、OD、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直坐标
（2）由x2y2 y2 ，得x21y2 .
系Oxyz， 若,曲线为双曲线，则0，
则O0，0，0，A0，2，0，B1，0，0，C1，2，0，D0，2，0，P0，0，2，E0，1，1， x2 1y2
所以x2y2 y2 可化为  1，
 
设平面PAB的法向量为m  x，y，z，A  P   0，2，2，P  B   1，0， 2， 1
所以 0，则1；
2
 
 mAP2y2z0
则   ， 故,应满足0且1,,曲线为双曲线.
mPBx2z0
x2
令x2，则y1，z1， （3）由3,4，得曲线C的方程为 y2 1，
3

故平面PAB的一个法向量为m2，1，1， 则C的右焦点坐标为2,0，所以直线l的方程为ykx2
.
设平面PBC的法向量为n  x，y，z，  B  C  0，2，0，  P  B  1，0，2， ykx2,
联立  x2 得  13k2 x212k2x12k230.
 n  B  C  2y0   3 y2 1,
则  
nPBx2z0
 12k2
x x  , x x 6,
令x2，则y0，z1， 设Ax,y ,Bx ,y ，则   1 2 13k2 若k 1，则   1 2 15
1 1 2 2  12k23 xx  ,
 xx  .  1 2 2
故平面PBC的一个法向量为n2，0，1，  1 2 13k2
设平面PAB与平面PBC的夹角为， 则 AB  112 x
1
x
2
24x
1
x
2
2 3.
{#{QQABYQagxgowgBYACA5KAQVmCEmQkJCQLUoOgUAcKAQLQZNIFIA=}#}