文档内容
高二年级!#月阶段性考试
数学参考答案
!!$!因为!%&"’!!"&"!#"所以"!%&""’槡!#(&#(!#’)槡#!
#!*!由!"%!#"%&+"’,"解得"’%&或"’"!当"’"时"两直线重合$当"’%&时"符合
题意!
)!-!因为"’&"#’#槡)"所以$’槡"#%##’#"故#%&& 的周长为#"(#$’!#!
! #
! ! !#
&!.!’’%/(#的标准形式为(#’% ’"其焦点在’轴负半轴上"坐标为 ,"% !
/ )#
" 槡0
"!-!由题意知$’槡),""’)槡#"所以#’槡$#%"#’#槡)!因为 ’ "所以双曲线)的渐近
# #
槡0
线方程为’’1 (!
#
&
0!.!由题意可知圆* 的圆心为*!!"%##"半径"+*"’#!因为234$+%,’ "所以
"
!%234$+%, 槡!, "+*" 槡!,
456$+%*’槡 ’ !因为%+%+*"所以456$+%*’ ’ "所以
# !, "*%" !,
"*%"’#槡!,"所以"%+"’槡"%*"#%"+*"#’0"则四边形%+*,的面积是#+0’!#!
’’& ’’& ’’& ’’& ’’& !’’& ’’& ’’& !’’& !’’& ’’&
7!$!因为-&’-,(,+(+.(.&’% ,, %+,(+.( .. ’% ++ %+,(
& ! ) ! & !
’’& !’’& ’’& ’’& !’’& ! !
+.( ++ ’%+,(+.( ++ "所以(’%!"’’!"/’ "故(’/’% !
) ! !# ! !# !#
/!$!抛物线’#’!#(的焦点为&!)",#"准线0的方程为(’%)!当%*%0时""%*"的值最
小"此时"由抛物线的定义"可得"%*"’"%&"""%*"("%1"’"%&"("%1"("1&"’"!
! ! 7# ! ! 7# ! 72
8!$.!+,的中点坐标为 % " "则点 % " 在直线0上"所以% ( %)’,"解得
# # # # # #
)%&
2’!!又因为+,%0"所以 +!%!#’%!"解得3’,!
%!%3%3
!,!$-*!由题意可知!槡32’#槡)!"则32’!#!因为3"2)!"且3*,"2*,"3+2"所以
%3’!" %3’#" %3’)" %3’&" %3’0" %3’!#"
或 或 或 或 或
2’!# 2’0 2’& 2’) 2’# 2’!!
%3’!" %3’!#"
槡))
%3’#" %3’0"
槡0
%3’)"
当 或 时"离心率为 $当 或 时"离心率为 $当 或
2’!# 2’! 0 2’0 2’# ) 2’&
%3’&"
!
时"离心率为 !
2’) #
’’& ’’& ’’&
!!!$-*!如图"记+),,.’4"连接%4"以4为坐标原点"4+"4,"4%的方向分别为("
!高二数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% !!"&%"
!"#!$%&
{#{QQABIYKEogAAABBAARgCAwWACAKQkhCAASgGxAAAMAAASAFABCA=}#}
书书书’"/轴的正方向建立空间直角坐标系"则+!#",",#")!%#","
! # /#
,#".!,"%#",#"%!,","&#"-!,"!"##"& ,"% " !因为
) )
’’& ! " ## ’’& ! "## !### 槡#8
-&’ ,"% " "所以"-&"’槡% ( ’ "故
) ) ) ) )
$正确!
’’& ’’& ! # /# ’’& ’’&
因为+-’!%#"!"##")&’ #"% " "所以234&+-")&’
) )
’’& ’’&
+-()& 槡#0
’ ’’& ’’& ’ "故-正确!
"+-"")&" 7/
’’& ’’&
’’& ’’& +-()& ’’& )’’&
向量+-在向量)&上的投影向量为
’’&
()&’ )&"故.不正确!
")&"# "#
’’& ’’&
设平面%).的法向量为#’!("’"/#"因为.)’!%#"#",#"%)’!%#","%&#"所以
’’&
%#(.)’%#((#’’,"
令(’#"得#’!#"#"%!#!设直线+-与平面%).所成的角为
’’&
#(%)’%#(%&/’,"
’’&
"+-(#" & &
!"则456!’ ’’& ’ ’ "故*正确!
"+-""#" )+) 8
" ’’& ’’& !’’& ’’& !
!#! !因为*"+",")四点共面"4*’%4+( 4,(34)"所以%!( (3’!"解得3
) ) )
"
’ !
)
) )
!)! !由题可知"%& %%&"设"%&"’)("则由234$%&& ’ "得"&&"’#$’"("
# ! # # # ! " ! #
!"(## !(##
"%&"’&("则#"’"%&"%"%&"’(!由##’$#%"#"得0’ % "解得(’!"
! ! # # #
"%&" )
则点4到直线%& 的距离5’ # ’ !
! # #
"%+" 槡) !(%)##(!’%!## !
!&!!(%)##(!’%)##’!#$槡))!设%!("’#"则 ’ "即 ’ "化简
"%," ) !(%)##(!’()## )
得!(%)##(!’%)##’!#!记该阿氏圆的圆心为)"因为"%6"#’"6)"#%"%)"#’"6)"#
")+!(#+)(0"
%!#"所以当)6%0时""%6"取得最小值!因为)到0的距离为 ’)槡""
槡!#(##
所以"%6" ’槡))!
956
!"!解)!!#设圆*的标准方程为!(%"##(!’%###’7#!7*,#!**********!分
因为圆*的圆心在直线’’)((!上"所以)"(!’#!*************#分
%!!%"##(!#%###’7#"
因为点+!!"##",!%!"&#在*上"所以 *******&分
!%!%"##(!&%###’7#"
!高二数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$% !!"&%"
!"#!$%&
{#{QQABIYKEogAAABBAARgCAwWACAKQkhCAASgGxAAAMAAASAFABCA=}#}解得"’!"#’&"7’#"所以圆*的标准方程为!(%!##(!’%&##’&!******0分
!##直线0的方程为’’((&"即(%’(&’," ****************/分
"!%&(&" 槡#
圆心*!!"&#到0的距离5’ ’ "****************!,分
槡!(! #
!槡###
所以".-"’#槡&% ’槡!&!*********************!)分
#
!0!解)!!#由题意知动点*的轨迹是以!0",#为焦点"(’%0为准线的抛物线"****)分
所以轨迹)的方程为’#’#&(!***********************0分
%’#’#&("
! !
!##设+!("’#",!("’#"则 ******************/分
! ! # #
’#’#&("
# #
’%’ #&
两式相减得’#%’#’#&!(%(#"整理可得 ! # ’ !*********!,分
! # ! # (%( ’(’
! # ! #
因为线段+,的中点坐标为!&"%##"所以’(’’%&" ***********!!分
! #
’%’ #&
所以直线0的斜率8’ ! # ’ ’%0" *****************!)分
(%( %&
! #
故直线0的方程为’(#’%0!(%&#"即0((’%##’,! ***********!"分
!7!!!#证明)取).的中点4"连接4,"4&!
因为#&).为等腰直角三角形"且)&%.&"所以4&%).!**********!分
又平面).&%平面+,)."平面).&,平面+,).’)."所以4&%平面+,).!**
***********************************#分
因为+-%平面+,)."所以4&-+-! *******************)分
又4&.平面+.-"+-/平面+.-"所以4&-平面+.-!***********&分
因为).’#+,"所以+,’4."又4.-+,"所以四边形+,4.为平行四边形"则4,-
+.!**********************************"分
因为4,.平面+.-"+./平面+.-"所以4,-平面+.-!***
**************************0分
又4,,4&’4"所以平面4,&-平面+.-!********7分
因为,&/平面4,&"所以,&-平面+.-!*********/分
!##解)由题可知+,"+."+-两两垂直"故以+为坐标原点"+,"+."
+-所在直线分别为(轴+’轴+/轴建立如图所示的空间直角坐标系!
设+,’!"则,!!",",#".!,"#",#"-!,","!#"&!!"#"!#"**!,分
’’& ’’& ’’&
,-’!%!","!#"-&’!!"#",#".-’!,"%#"!#! **************!!分
设平面,-&的法向量为$’!("’"/#"
! ! !
’’&
%,-($’," %%((/’,"
! !
则由 得
’’&
-&($’," ((#’’,"
! !
令’’!"得$’!%#"!"%##! **********************!#分
!
!高二数学"参考答案!第!!!!)页#共"页$% !!"&%"
!"#!$%&
{#{QQABIYKEogAAABBAARgCAwWACAKQkhCAASgGxAAAMAAASAFABCA=}#}设平面.-&的法向量为#’!("’"/#"
# # #
’’&
%.-(#’," %%#’(/’,"
# #
则由 得
’’&
-&(#’," ((#’’,"
# #
令’’!"得#’!%#"!"##!************************!)分
#
$(# ! !
234&$"#’’ ’ "则平面,-&与平面.-&的夹角的余弦值为 !****!"分
"$""#" 8 8
!/!!!#证明)取棱%+的中点4"连接4,"4.",.!
因为#%+,为等边三角形"所以,%’,+!
因为4为+%的中点"所以4,%+%!********************#分
设+,’#""则4,’4.’槡)""+.’#"!
!
因为 +,’+.’#""234$,+.’ "所以 ,.’
&
槡+,#(+.#%#+,(+.234$,+.’槡0""***&分
所以4,#(4.#’,.#"所以4,%4.!*****"分
因为4."+%/平面%+."且4.,+%’4"所以4,%平
面%+.!******************0分
因为4,/平面%+,"所以平面%+,%平面%+.!**************7分
’’& ’’& ’’&
!##解)易证4."4%"4,两两垂直"故以4为原点"4."4%"4,的方向分别为("’"/轴
的正方向"建立如图所示的空间直角坐标系!
由!!#知+!,"%"",#",!,","槡)"#".!槡)"",",#"%!,""",#"
’’& ’’& ’’& ’’&
所以%.’!槡)""%"",#",)’+.’!槡)"""",#"%,’!,"%""槡)"#! *****!,分
设平面%,)的法向量为#’!("’"/#"
’’&
1#(,)’槡)"(("’’,"
则0 令(’!"得#’!!"%槡)"%!#! *********!#分
’’&
2#(%,’%"’(槡)"/’,"
’’&
&槡!" "#(%." #槡)" &槡!"
因为点.到平面%,)的距离为 "所以 ’ ’ "解得"’#" **
" "#" 槡" "
**********************************!"分
! !
则三棱锥,9%+.的体积:’ + +&+#槡)+#槡)’/" **********!0分
! ) #
故四棱锥%9+,).的体积:’#:’!0!******************!7分
!
1$ !
’ "
" )
!8!解)!!#由题意可得0! 0& **********************#分
( ’!"
"# 8##
2"#’##($#"
解得"’)"#’#槡#"****************************&分
!高二数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$% !!"&%"
!"#!$%&
{#{QQABIYKEogAAABBAARgCAwWACAKQkhCAASgGxAAAMAAASAFABCA=}#}(# ’#
故椭圆)的标准方程为 ( ’!!*********************"分
8 /
!##设%!("’#"6!("’#"’ +,"’ +,!
! ! , , ! ,
! !
由等面积法得; ’ !"%&"("%&"("&&"#("’"’ "&&"("’""
#%&!&# # ! # ! # , # ! # !
则&’’’!*******************************7分
, !
’
由题意可得&!%!",#"则直线%& 的方程为’’ ! !((!#"即!((!#’%’!((!#
! ! ((! ! !
!
’,! **********************************/分
"’!((!#%’!((!#"
点6!("’#到直线%& 的距离5’ , ! ! , ’"’"! *****8分
, , ! ,
槡!((!##(’#
! !
因为’’&’"所以"&!((!#%!((!#"’槡!((!##(’#"
! , , ! ! !
所以!0!((!##%/!((!#!((!#’’#! *****************!,分
, , ! !
因为%是椭圆)上的动点"所以
(#
! (
’#
! ’!"所以’#’/ ! !%
(#
!# "
8 / ! 8
所以!0!((!##%/!((!#!((!#’/
!
!%
(#
!#
"
, , ! 8
整理得!/(#(8!)%(#(((#%8(’,"即!)(%(#!0(%((8#’,!****!#分
, ! , ! ! , ! , !
因为%!3(3!"%)3(3)"0(%((8*,"所以)(’(!*********!)分
, ! , ! , !
(# ’# !)(## !&’##
因为 ! ( ! ’!"所以 , ( , ’!"即(#(#’#’!!’ +,#"*******!&分
8 / 8 / , , ,
! !## " , 槡# # ! 槡#-
则"*6"’槡(#( ’% ’槡%’#%’( "’) % ", 4 ," !***!"分
, , # , , & , # #
! 槡0
故当’’% 时""*6"取得最大值 !*******************!7分
, # #
!高二数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% !!"&%"
!"#!$%&
{#{QQABIYKEogAAABBAARgCAwWACAKQkhCAASgGxAAAMAAASAFABCA=}#}
