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学年第二学期三市联合期末检测
2023—2024
高二数学参考答案
.【答案】
1 B
【解析】 将y .代入方程^ y .x . 解得x .
=62 =25 +12, =2
.【答案】
2 D
【解析】 根据题意 分 步进行分析
, 2 :
甲 乙必须相邻且甲在乙的右边 将甲乙看成一个整体 有 种顺序
① , , , 1 ,
将甲乙整体与丙丁全排列 有 种情况
3
② , A3=6 ,
则有 种排法.
1×6=6
.【答案】
3 C
【解析】P ξ 1-2 P ( ξ ≤800) . .
(1200< <1600)= =035
2
.【答案】
4 D
【解析】 由题意
,
n
∈
N*
,
在等比数列 a
n
中
,
a
1=2,
a
1+
a
2+
a
3=6,
设公比为q
,
a aq aq2 即 q q2 解得q 或q
∴ 1+ 1 + 1 =6, 2+2 +2 =6, =-2 =1,
a a a a a a q5 q5
∴ 6+ 7+ 8= 1+ 2+ 3 =6 ,
当q 时a a a
=1 ,6+ 7+ 8=6,
当q 时a a a .
=-2 ,6+ 7+ 8=-192
.【答案】
5 C
【解析】 由题意 可设圆的方程为x 2 y 2 r2 令y 得x2 x r2
, (-1)+(-1)= , =0, -2 +2- =0,
x x xx r2 x x x x 2 xx r2 解得r2
1+ 2=2,1 2=2- ,| 1- 2|= (1+ 2)-4 1 2= 4 -4=2, =2,
圆的方程是x 2 y 2 即x2 y2 x y .
∴ (-1)+(-1)=2, + -2 -2 =0
.【答案】
6 A
【解析】 如图 取BD的中点为O
, ,
由正方形ABCD的边长为 则OB OD OA' OC
2, = = = =2,
因此O为空间四边形A'BCD的外接球球心 外接球半径R
, =2,
设球心到平面α的距离为d 截面圆的半径为r则有R2 r2 d2
, , = + ,
即r R2 d2 当ON 截面α时d最大 此时截面面积最小 且ON d
= - , ⊥ , , , = ,
在 OND中OD DN 1 ODN π 由余弦定理可得
△ , =2, = ,∠ = , ,
2 4
ON DN2 OD2 DN OD π 5
= + -2 · ·cos = ,
4 2
此时r R2 d2 3
= - = ,
2
所以截面面积最小值为 r2 3π.
π =
4
.【答案】
7 B
高二数学参考答案 第 页(共 页)
1 8
{#{QQABBYSUogioAIIAAAgCAQ24CgAQkACAASgGxEAAoAAAABFABAA=}#}【解析】 令t 1 x 则x 2 t
= ln , =e ,
2
ft
所以不等式f 1 ln x < x等价转化为不等式f t 0, ,
e
f
又f 2024 所以g 1012
(1012)=e , 1012 = 2024 =1,
e
ft
所以gt g 解得t 即1 x
= 2 t <1= 1012 , <1012, ln <1012,
e 2
所以 x 2024.
0< 0, ;
当x 时f'x fx 单调递减
∈ 0,2 , <0, ;
当x 时f'x fx 单调递增
∈ 2,+∞ , >0, ;
又f f 函数fx 只有两个零点 所以 错误
0 =4, 2 =0, , B ;
因为 是函数fx 的对称中心 所以f x f x f
1,2 , 1+ + (1- )=2 1 ,
令S f 1 f 2 f 3 f2023 f f2025 f2026 f4047
= + + +…+ + 1 + + … ,
2024 2024 2024 2024 2024 2024 2024
可得S f4047 f2026 f2025 f f2023 f 1
= +…+ + + 1 + +…+ ,
2024 2024 2024 2024 2024
所以 S f 1 f4047 f 2 f4046 f4047 f 1
2 =[ + ]+[ + ]+…+[ + ]=4×4047,
2024 2024 2024 2024 2024 2024
所以S
=2×4047,
即f 1 f 2 f 3 f2023 f f2025 f2026 f4047
+ + +…+ + 1 + + +…+ =
2024 2024 2024 2024 2024 2024 2024
所以 正确
2×4047, C ;
拐点处的切线方程为y x 所以 m f 故 m 正确.
=-3 +5, -3×2+5< < 2 , -1< <0,D
.【答案】
11 ABD
【解析】 a 1 1 a
∵ 1=1,a n =a n+ n,
+1
a a
又a 归纳可得a n - n +1 a
1=1>0, n >0,∴a n a n = n >0,
+1
a a 数列a 单调递减 故选项 正确
∴ n > n +1, n , A ;
当n 时 S
=1 , 1=1;
当n 时S a a a a a a n 故选项 正确
≥2 ,n = 1+ 2+…+ n < 1+ 1+…+ 1= , D ;
2
∵a n 1
+1
=a 1 n+ a n,∴a n 1 2
+1
= a 1 n+ a n = a n2 +2+a 1 n2>a 1 n2+2,
1 1 1 1 n 1 n
∴a n2 -a n2>2,∴a n2-a2>2(-1),∴a n2>2 -1,
+1 1
a 1 a 1 1 故选项 正确
∴ n < n ,2024< < , B ;
2 -1 4047 63
又 a n 1 2
+1
= a 1 n+ a n 2 = a n2 +2+a 1 n2≤a 1 n2+3,∴a n 1 2
+1
-a 1 n2<3,
1 1 1 1 1 1 1 1 n
∴a2-a2=3,a2-a2<3,…,a n2-a n2 <3,∴a n2-a2<3(-1),
2 1 3 2 -1 1
1 n a 1 n 当n 时a 1 .
∴a n2<3 -2,∴ n > n (≥2); =1 ,n = n
3 -2 3 -2
综上a 1 .故选项 错误.
,n
≥ n C
3 -2
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3 8
{#{QQABBYSUogioAIIAAAgCAQ24CgAQkACAASgGxEAAoAAAABFABAA=}#}.【答案】
12 2
【解析】 x -x a 7的展开式通项为T r +1=C r 7( x ) 7- r -x a r =(- a ) r C r 7 x7-2 r (0≤ r ≤7, r ∈ N ),
令 r 解得r
∴ 7-2 =1, =3,
x
a 7的展开式的常数项为T
a3 3x7-6 a3x x
∴ -x 4=(- )C7 =-35 =-280 ,
a3 a .
∴ =8,=2
.【答案】
13 1+3
【解析】 设双曲线的半焦距为c可得OP OQ QF OF c
, | |=| |=| 2|=| 2|= ,
即有四边形QFPF 为矩形 由双曲线的定义可得QF a c
1 2 , | 1|=2 + ,
在直角三角形FQF 中 FF 2 QF 2 QF 2
1 2 ,| 1 2|=| 1|+| 2|,
即有 c2 a c2 c2 可得 a c c
4 =(2 + )+ , 2 + =3 ,
c
即e 2 .
=a= =1+3
3-1
.【答案】 1
14 3
2e
x x x
【解析】 等式两边同乘 得 x2 x
y, ylny=2e ,
x x
则 x2 x lny
2e =lny·e ,
x x
因为x x lny 所以
>0,e>0,e >0, lny>0,
令fx xxx 则f'x xx 所以fx 在 上单调递增
()= e >0 , ()=e(+1)>0, 0,+∞ ,
x x x x x
所以由 2 x e 2 x =lny·e lny , 即f 2 x = f lny , 得 2 x =lny, 所以y = 2 x,
e
x x
所以y -e -2 x = 2 x- 1 2 x= - 2 x 1 ,
e e e
x x
令gx -1x 则g'x 3-2
()= 2 x >0 , ()= 2 x ,
e e
令g'x 得 x 3 令g'x 得x 3
()>0, 0< < ; ()<0, > ,
2 2
所以gx 在 3 上单调递增 在 3 上单调递减
() 0, , ,+∞ ,
2 2
所以gx g 3 1 即y -2 x的最大值为1.
()max= ( )= 3 , -e 3
2 2e 2e
. 分
15(13 )
【解析】 a a 3 1 分
(Ⅰ)1=2,1- = , …………………………………………………………………2
2 2
所以等比数列a 3 的首项为1 公比为
n - , 3,
2 2
故a n - 3 = 1 ×3 n -1 ,
2 2
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4 8
{#{QQABBYSUogioAIIAAAgCAQ24CgAQkACAASgGxEAAoAAAABFABAA=}#}所以a n = 1 3 n -1 +3 ;………………………………………………………………………………5 分
2
n n
-1 -1
由 得b 3 3
(Ⅱ) (Ⅰ) n =
4
a n· a n
+1
=
3
n -1
+3 3
n
+3
1 1 1 分
= n -1 - n ,…………………………………………………………9
2 3 +3 3+3
故S b b b b
n = 1+ 2+ 3+…+ n
1 1 1 1 1 1 1
= - + - +…+ n -1 - n
2 4 6 6 12 3 +3 3+3
1 1 1 1 1 . 分
= - n = - n …………………………………………………………13
2 4 3+3 8 2·3+6
. 分
16(15 )
【解析】 取AB的中点O 连接OC
(Ⅰ) , ,
°故 °
∠1=∠2,∠2+∠3=90, ∠1+∠3=90,
所以BM OC
⊥ ,
因为BM PC 所以BM 平面POC
⊥ , ⊥ ,
又因为PO 平面POC 所以PO BM
⊂ , ⊥ ,
又因为 ABP为等边三角形 所以PO AB
△ , ⊥ ,
因为BM AB B 所以PO 平面ABCD
∩ = , ⊥ ,
PO 平面PAB 所以平面PAB 平面ABCD 分
⊂ , ⊥ ;…………………………………………………6
CD中点为E 以OBOEOP分别为xyz轴 建立如图所示的空间直角坐标系
(Ⅱ) , , , ,, , ,
设PA AB BP 则B C P M
= = =2, (1,0,0),(1,2,0), (0,0,3), (-1,1,0),
BM→ PM→ CM→
=(-2,1,0), =(-1,1,-3), =(-2,-1,0),
设平面PMB的法向量为m xyz
=(,,),
PM→ · m =0,即 - x + y -3 z =0,令x 则y z 3
BM→ m
,
x y
=1, =2,= ,
· =0 -2 + =0, 3
m 3 分
=1,2, ,………………………………………………………………………………………9
3
设平面PMC的法向量为n abc 分
=(,,),……………………………………………………………1
PM→ · n =0,即 - a + b -3 c =0,令a 则b c
CM→ n a b
=1, =-2,=-3,
· =0, -2 - =0,
n 分
=(1,-2,-3),…………………………………………………………………………………12
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5 8
{#{QQABBYSUogioAIIAAAgCAQ24CgAQkACAASgGxEAAoAAAABFABAA=}#}设平面BPM与平面CPM的夹角为θ
,
m n
θ · 4 6. 分
cos= m n = = ………………………………………………………………15
43 4
×22
3
. 分
17(15 )
【解析】 已知 c 故c 分
(Ⅰ) 2=2, =1,…………………………………………………………………2
PQF 的周长为PF PF QF QF a
△ 1 1+ 2+ 1+ 2=4 ,
故 a a 分
4 =8,=2,………………………………………………………………………………………4
x2 y2
故椭圆C的方程为 分
+ =1; ……………………………………………………………………5
4 3
当l 的斜率不存在时 则l 的斜率为
(Ⅱ)① 1 , 2 0,
b2
易得PQ为椭圆的通径为2 AB为长轴 a
a=3, 2 =4,
AB PQ 分
∴ + =7; ………………………………………………………………………………7
当l 的斜率存在时且不为 则l 的斜率存在且不为 设Ax y Bx y
② 1 0, 2 0, 1,1 , 2,2 ,
设直线l 的方程为y kx 则直线l 的方程为y 1x
2 = -1 , 1 =-k -1 ,
将直线l 的方程代入椭圆方程中 并整理得
2 , :
k2x2 k2x k2
3+4 -8 +4 -12=0,
k2 k2
x x 8 xx 4 -12
∴ 1+ 2= k2 ,1 2= k2 ,
3+4 3+4
k2
AB k2 x x 12 +1 分
∴ = 1+ 1- 2 = k2 ,………………………………………………………9
3+4
1
12k2+1 k2
同理 PQ 12 +1 分
, = = k2 , …………………………………………………………10
4 3 +4
3+k2
k2 k2 k2 2
AB PQ 12 +1 12 +1 84 +1
∴ + = k2 + k2 = k2 k2 ,
3+4 3 +4 3+4 3 +4
令t k2 则t
= +1, >1,
t2 t2
AB PQ 84 84 84 分
∴ + = t t = t2 t = 2 ,………………………12
4-1 3+1 12 + -1 1 1 49
- t- +
2 4
t 1
∵ >1,∴00, () [0,π] ,
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{#{QQABBYSUogioAIIAAAgCAQ24CgAQkACAASgGxEAAoAAAABFABAA=}#}gx g 满足题意
()≥ (0)=0, ,
a
当a 时 设hx g'x 则h'x x 2 x
>0 , ()= (), ()=2e+x 2+cos >0,
(+1)
因此函数hx 即g'x 在 上单调递增
(), () [0,π] ,
而g' 0 a a 分
(0)=2e-2 +sin0=2-2 , ………………………………………………………………13
当 a 时g'x g' a gx 在 上单调递增
① 0< ≤1 , ()≥ (0)=2-2 ≥0,() [0,π] ,
于是gx g 满足题意
()≥ (0)=0, ;
a
当g' π 2 即a π 时
② (π)=2e- +sinπ≤0, ≥(π+1)e ,
π+1
对 x g'x 则gx 在 上单调递减
∀ ∈[0,π], ()≤0, () [0,π] ,
此时gx g 不合题意
()< (0)=0, ,
当 a π 时 因为g'x 在 上单调递增
③ 1< <(π+1)e , () [0,π] ,
a
且g' g' a π 2
(0) (π)=(2-2 )(2e- )<0,
π+1
于是 x 使g'x 且当x x 时g'x 单调递减
∃ 0∈[0,π], 0 =0, ∈ 0,0 , () ,
此时gx g 不合题意
()< (0)=0, ,
所以实数a的取值范围为 . 分
(-∞,1]………………………………………………………………17
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8 8
{#{QQABBYSUogioAIIAAAgCAQ24CgAQkACAASgGxEAAoAAAABFABAA=}#}
