文档内容
怀远县 2024—2025 学年度第一学期期中教学质量检测
高二数学试卷答案
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，
只有一项是符合题目要求的。
𝑥 𝑦
1．直线 − =1在𝑦轴上的截距为（ ）
4 2
A．−4 B．−2 C．2 D．4
【答案】B
2.已知圆𝐶
1
：(𝑥−1)2+𝑦2 =1，圆C
2
：(𝑥−2)2+(𝑦−√3) 2 =4，则𝐶
1
与 C
2
的位置关系是
（ ）
A．外切 B．内切 C．外离 D．相交
【答案】D
3.双曲线𝑥2
−
𝑦2
=1(𝑎 >0,𝑏 >0)的离心率为
𝑎2 𝑏2
3 ，则其渐近线方程为
A．y= 2x B．𝑦=±√3𝑥 C． y = 2
2
x D．𝑦 =± √3 𝑥
2
【答案】A
4．如图，在四面体𝑂𝐴𝐵𝐶中，𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =𝑎 ，𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =𝑏⃗ ，𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =𝑐 ，𝐶⃗⃗⃗⃗𝑄⃗ =2𝑄⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ，𝑃为线段𝑂𝐴的中点，
则𝑃⃗⃗⃗⃗𝑄⃗ 等于（ ）
A． 1 𝑎 + 1 𝑏⃗ + 2 𝑐
2 3 3
B． 1 𝑎 − 1 𝑏⃗ − 2 𝑐
2 3 3
C．− 1 𝑎 + 1 𝑏⃗ + 2 𝑐
2 3 3
D．− 1 𝑎 + 2 𝑏⃗ + 1 𝑐
2 3 3
【答案】D
5.直线𝑙 :𝑎𝑥+𝑦−1=0,𝑙 :(𝑎−2)𝑥−𝑎𝑦+1=0，则“𝑎 =−2”是“𝑙 𝑙 ”的（ ）条件
1 2 1// 2
A．必要不充分 B．充分不必要
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
6.若点𝑃(2,3)在圆𝐶：𝑥2+𝑦2+2𝑥−2𝑦+𝑎 =0外，则𝑎的取值范围是（ ）
{#{QQABCYYQggigABBAAQhCQQGyCgOQkgEAAYgOwBAAIAAByBNABAA=}#}A．(−11,+∞) B．(−11,2) C．(−8,2) D．(−8,+∞)
【答案】B
7.在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 中，𝐴𝐵 ⊥𝐵𝐶,𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =𝐴𝐴 ,𝐷,𝐸分别为𝐴𝐶,𝐵𝐶的中点，则异
1 1 1 1
面直线𝐶 𝐷与𝐵 𝐸所成角的余弦值为（ ）
1 1
A．√3 B．
3 5
5 C．√10 D．√30
10 10
【答案】D
8已知点𝐴(−1,3)，𝐵(3,1)，直线𝑙:𝑚𝑥+𝑦+2=0与线段𝐴𝐵有公共点，则实数𝑚的取值范围
为（ ）
A．(−∞,−5]∪[1,+∞) B．[−5,1]
C．(−∞,−1]∪[5,+∞) D．[−1,5]
【答案】C
【分析】先求出直线𝑙的定点，再求出𝑘 ,𝑘 ，数形结合，得出结果.
𝑃𝐴 𝑃𝐵
【详解】如图
{#{QQABCYYQggigABBAAQhCQQGyCgOQkgEAAYgOwBAAIAAByBNABAA=}#}由题意知直线𝑙过定点𝑃(0,−2)，
易求𝑃𝐴的斜率𝑘 =
3−(−2)
=−5，
𝑃𝐴
−1−0
𝑃𝐵的斜率𝑘 =
1−(−2)
=1，
𝑃𝐵
3−0
直线𝑙的斜率𝑘 =−𝑚，
𝑙
所以−𝑚 ≥1或−𝑚 ≤−5，
即𝑚 ≤−1或𝑚 ≥5
故选：C.
二、多选题：本题共 3小题，共 18 分。在每小题给出的选项中， 全部选对的得
6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.下列结论正确的是（ ）
A．已知向量𝑎 =(𝑥,0,1)，𝑏⃗ =(2,1,−4)，若𝑎 ⊥𝑏⃗ ，则𝑥 =2
B．已知向量𝑎 =(1,0,1)，𝑏⃗ =(−2,2,1)，则
ra
在
rb
1 上的投影的数量为
3
C．在空间直角坐标系𝑂𝑥𝑦𝑧中，点(1,1,1)关于y轴的对称点为(1,−1,1)
D．O为空间中任意一点，若⃗0⃗⃗⃗𝑃⃗ = 𝑥𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +𝑦𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝑧𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，且𝑥+𝑦+𝑧 =1，则P，A，
B，C四点共面
【答案】AD
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量投影的数量的含义结合数量积计
算可判断B；根据空间直角坐标系中点的对称性质可判断C；根据空间向量共面的结论可判
断D.
【详解】对于A，向量𝑎 =(𝑥,0,1)，𝑏⃗ =(2,1,−4)，𝑎 ⊥𝑏⃗ ，则2𝑥−4=0,∴𝑥 =2，A正确；
对于B，向量𝑎 =(1,0,1)，𝑏⃗ =(−2,2,1)，则𝑎 在𝑏⃗ 上的投影的数量为 𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ = −2+1 =− 1 ，
|𝑏⃗ | ⋅√(−2)2+22+12 3
B错误；
对于C，点(1,1,1)关于y轴的对称点为(−1,1,−1)，C错误；
对于D，若⃗0⃗⃗⃗𝑃⃗ = 𝑥𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +𝑦𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝑧𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，且𝑥+𝑦+𝑧 =1，
则𝑂⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ −𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =(𝑥−1)𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +𝑦𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝑧𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =−(𝑦+𝑧)𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +𝑦𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝑧𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，
即𝐴⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ =𝑦(𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ −𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ )+𝑧(𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ −𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ )=𝑦𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝑧𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，
则𝐴⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ ，𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ，𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ 共面，即P，A，B，C四点共面，D正确，
故选：AD
{#{QQABCYYQggigABBAAQhCQQGyCgOQkgEAAYgOwBAAIAAByBNABAA=}#}10.下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
1
B．若直线𝑎𝑥+𝑦−2=0与直线2𝑥−𝑦−4=0垂直，则𝑎 =
2
C．过点A(-1,2),B(3，-2)的直线的倾斜角为45°
D．点(5,0)关于直线𝑦 =2𝑥的对称点的坐标为(−3,4)
【答案】BD
【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误；
B：由题意若直线𝑎𝑥+𝑦−2=0与直线2𝑥−𝑦−4=0垂直，则𝑎×2+1×(−1)=0，解得
1
𝑎 = ，故B正确；
2
C：由题意过点A(-1,2),B(3，-2)直线的斜率为𝑘 = 2−(−2) =−1，故其倾斜角为135°，
−1−3
故C错误；
5−3 0+4
D：由于点𝑀(5,0)与点𝑁(−3,4)的中点坐标为𝑃( , )即𝑃(1,2)，满足2=2×1，即点
2 2
𝑃(1,2)在直线𝑦 =2𝑥上，
0−2 1
又直线𝑦=2𝑥的斜率为𝑘 =2，过两点𝑀(5,0)、𝑃(1,2)的直线斜率为𝑘 = =− ，
0 1 5−1 2
1
所以𝑘 𝑘 =2×(− )=−1，即直线𝑀𝑁（即直线𝑀𝑃）垂直直线𝑦 =2𝑥，
0 1
2
综上所述：点(5,0)关于直线𝑦 =2𝑥的对称点的坐标为(−3,4)，故D正确.
故选：BD.
11.设椭圆的方程为𝑥2
+
𝑦2
=1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两
2 4
点，M为线段AB的中点，则（ ）
A．𝑘 ⋅𝑘 =−1
𝐴𝐵 𝑂𝑀
B．若𝑀(1,1)，则直线l的方程为 2 x + y − 3 = 0
1 4
C．若直线l的方程为𝑦 =𝑥+2，则𝑀( , )
3 3
D．若直线l的方程为𝑦 =𝑥+2，则|𝐴𝐵|= 4√2
3
【答案】BD
【分析】利用点差法，即可判断A；根据A的结果，结合中点坐标和直线的斜率，可分别
判断BC，直线与椭圆方程联立，结合弦长公式，即可判断D.
{#{QQABCYYQggigABBAAQhCQQGyCgOQkgEAAYgOwBAAIAAByBNABAA=}#}【详解】A.设𝐴(𝑥 ,𝑦 )，𝐵(𝑥 ,𝑦 )，𝑀(
𝑥1+𝑥2, 𝑦1+𝑦2)，
1 1 2 2
2 2
𝑥2 𝑦2
1 + 1 =1
{2 4 ，两式相减得 (𝑥1+𝑥2 )(𝑥1−𝑥2 ) + (𝑦1+𝑦2 )(𝑦1−𝑦2 ) =0，
𝑥 2 2 + 𝑦 2 2 =1 2 4
2 4
整理为
𝑦1−𝑦2⋅ 𝑦1+𝑦2
=−2，即𝑘 ⋅𝑘 =−2，故A错误；
𝑥1−𝑥2 𝑥1+𝑥2 𝐴𝐵 𝑂𝑀
B.由
𝑦1−𝑦2⋅ 𝑦1+𝑦2
=−2，以及𝑀(1,1)，可知，
𝑦1−𝑦2⋅ 2
=−2，则𝑘 =−2，
𝑥1−𝑥2 𝑥1+𝑥2 𝑥1−𝑥2 2 𝐴𝐵
所以直线𝑙的方程为𝑦−1=−2(𝑥−1)，则 2 x + y − 3 = 0 ，故B正确；
C.由𝑘 ⋅𝑘 =−2，且直线l的方程为𝑦 =𝑥+2，所以𝑘 =−2，即
𝑦𝑀
=−2，
𝐴𝐵 𝑂𝑀 𝑂𝑀 𝑥𝑀
2 4 2 4
且𝑦 =𝑥 +2，解得：𝑥 =− ，𝑦 = ，即𝑀(− , )，故C错误；
𝑀 𝑀 𝑀 3 𝑀 3 3 3
𝑥2 𝑦2
D.联立{2 + 4 =1 ，得3𝑥2+4𝑥 =0，得𝑥 =0或𝑥 =− 4 ，
𝑦 =𝑥+2 3
弦长|𝐴𝐵|=√1+𝑘2×|𝑥 −𝑥 |=√2× 4 = 4√2，故D正确.
1 2
3 3
故选：BD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知𝐹 ,𝐹
是椭圆𝑥2
+
𝑦2
=1的两个焦点，点𝑃在该椭圆上，若|𝑃𝐹 |−|𝑃𝐹 |=2，则△𝑃𝐹 𝐹
1 2 1 2 1 2
4 2
的面积是 ．
【答案】√2
12.已知定点 A ( 6 , 0 ) 和圆𝑥2+𝑦2 =16上的动点𝐵，动点𝑃(𝑥,𝑦)满足0⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ = 2𝑂⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ ，则点
𝑃的轨迹方程为 .
【答案】(𝑥−3)2+𝑦2 =4
14.已知双曲线𝑥2
−
𝑦2
=1(𝑎>0,𝑏 >0)的渐近线与圆𝑥2+𝑦2−6𝑥+8=0相切，则双曲线
𝑎2 𝑏2
的离心率为 .
【答案】3√2
4
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利
用圆心到直线的距离等于半径即可得到𝑐 =3𝑏，即可求出离心率.
【详解】圆𝑥2+𝑦2−6𝑥+8=0即(𝑥−3)2+𝑦2 =1，圆心为(3,0)，半径𝑟 =1，
双曲线𝑥2
−
𝑦2
=1(𝑎>0,𝑏 >0)的渐近线方程为𝑦 =±
𝑏
𝑥，
𝑎2 𝑏2 𝑎
{#{QQABCYYQggigABBAAQhCQQGyCgOQkgEAAYgOwBAAIAAByBNABAA=}#}依题意𝑑 = |3𝑏| =1，即𝑐 =3𝑏，又𝑐2 =𝑎2+𝑏2，所以𝑎 =2√2𝑏，
√𝑎2+𝑏2
所以离心率 e =
c
a
=
2
3 b
2 b
=
3
4
2
.
故答案为：3√2
4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤。
15.已知直线𝑥−𝑦−1=0和直线𝑥+2𝑦+2=0的交点为𝑃
(1)求过点𝑃且与直线𝑥−2𝑦+1=0平行的直线方程；
(2)若点𝑃到直线𝑙：𝑚𝑥+𝑦+𝑚 =0距离为√2，求𝑚的值.
𝑥−𝑦−1=0 𝑥 =0
【答案】（1）联立方程组{ ，解得{ ，所以点𝑃(0,−1)，………3分
𝑥+2𝑦+2=0 𝑦 =−1
1
又所求直线与直线𝑥−2𝑦+1=0平行，所以所求直线的斜率为 ，
2
1
则所求的直线方程为：𝑦+1= 𝑥，即𝑥−2𝑦−2=0；………………………………8分
2
（2）点𝑃到𝑙：𝑚𝑥+𝑦+𝑚 =0的距离为𝑑 = |𝑚⋅0+（−1）+𝑚| =√2
√𝑚2+1
解方程可得𝑚 =−1………………………………………………………………………..15分
16..已知坐标平面内三点𝐴(−2,−4),𝐵(2,0),𝐶(−1,1).
(1)求直线𝐴𝐵的斜率和倾斜角；
(2)若A,B,C,D可以构成平行四边形，且点𝐷在第一象限，求点𝐷的坐标；
𝑛
(3)若𝐸(𝑚,𝑛)是线段𝐴𝐶上一动点，求 的取值范围.
𝑚−2
【答案】
−4
（1）解：因为直线𝐴𝐵的斜率为 =1.
−2−2
𝜋
所以直线𝐴𝐵的倾斜角为 ；………………………………………………………..4分
4
（2）解：如图，当点𝐷在第一象限时，𝑘 =𝑘 ,𝑘 =𝑘 .
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷
{#{QQABCYYQggigABBAAQhCQQGyCgOQkgEAAYgOwBAAIAAByBNABAA=}#}𝑦−1
=1
𝑥 =3
设𝐷(𝑥,𝑦)，则{ 𝑥+1 ，解得{ ，
𝑦 1+4 𝑦 =5
=
𝑥−2 −1+2
故点𝐷的坐标为(3,5)；…………………………………………….9分
𝑛
（3）解：由题意得 为直线
𝑚−2
B E 的斜率.
当点𝐸与点𝐶重合时，直线 B E
1 1
的斜率最小，𝑘 = =− ；
BC −1−2 3
当点𝐸与点𝐴重合时，直线 B E 的斜率最大，𝑘 =1.
𝐴𝐵
1
故直线BE的斜率的取值范围为[− ,1]，
3
𝑛 1
即 的取值范围为[− ,1]………………………………………….15分
𝑚−2 3
17..已知圆𝐶的圆心𝐶在直线𝑦 =2𝑥上，且经过𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)两点.
(1)求圆𝐶的方程；
(2)直线𝑙：𝑚𝑥+𝑦−3𝑚−1=0与圆𝐶交于E,F两点，且|𝐸𝐹|=2√3，求实数𝑚的值.
【答案】
(1)圆𝐶过点𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)，则点𝐶在线段𝐴𝐵的中垂线𝑥 =1上，
𝑥 =1
由{ ，得点𝐶(1,2)，圆𝐶的半径𝑟 =|𝐴𝐶|=2√2，
𝑦 =2𝑥
所以圆𝐶的方程为(𝑥−1)2+(𝑦−2)2 =8……………………………..7分
{#{QQABCYYQggigABBAAQhCQQGyCgOQkgEAAYgOwBAAIAAByBNABAA=}#}（2）直线𝑙被圆𝐶所截弦长|𝐸𝐹|=2√3，则点𝐶到直线𝑙的距离𝑑 =√𝑟2−( 1 |𝐸𝐹|)2 =√5，
2
|𝑚+2−3𝑚−1|
因此 =√5，解得𝑚 =−2
√𝑚2+12
所以实数𝑚的值为−2………………………………………………………………15分
18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，侧棱𝑃𝐷 ⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝑃𝐷 =𝐷𝐶,𝐸是
𝑃𝐶的中点，作𝐸𝐹 ⊥𝑃𝐵交𝑃𝐵于点𝐹．
(1)求证：𝑃𝐴//平面𝐸𝐷𝐵；
(2)求证： P B ⊥ 平面𝐸𝐹𝐷；
(3)求平面𝐶𝑃𝐵与平面𝑃𝐵𝐷的夹角的大小．
答案（1）在四棱锥 P − A B C D 中，𝑃𝐷 ⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷,𝐷𝐶 ⊂底面𝐴𝐵𝐶𝐷，
则𝑃𝐷 ⊥𝐴𝐷,𝑃𝐷 ⊥𝐷𝐶，由底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，得𝐴𝐷 ⊥𝐷𝐶，
以𝐷为原点，直线𝐷𝐴,𝐷𝐶,𝐷𝑃分别为𝑥,𝑦,𝑧轴建立空间直角坐标系，
设DC=2，则𝐴(2,0,0),𝐵(2,2,0),𝑃(0,0,2),𝐸(0,1,1)，
𝑃⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =(2,0,−2),𝐷⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(2,2,0),𝐷⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ =(0,1,1)，设平面𝐸𝐷𝐵的法向量为𝑚⃗⃗ =(𝑥 ,𝑦 ,𝑧 )，
1 1 1
𝐷⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝑚⃗⃗ =2𝑥 +2𝑦 =0
则{ 1 1 ，令𝑦 =−1，得𝑚⃗⃗ =(1,−1,1)，则𝑃⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ⋅𝑚⃗⃗ =2−2=0，
𝐷⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ ⋅𝑚⃗⃗ =𝑦 +𝑧 =0 1
1 1
而PA平面𝐸𝐷𝐵，所以𝑃𝐴//平面𝐸𝐷𝐵………………………………5分
（2）由（1）知，𝑃⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(2,2,−2)，由𝑃⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝐷⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ =0+2−2=0，得PB⊥ED，
又𝐸𝐹 ⊥𝑃𝐵，且EFI DE=E,EF,ED平面𝐸𝐹𝐷，
{#{QQABCYYQggigABBAAQhCQQGyCgOQkgEAAYgOwBAAIAAByBNABAA=}#}所以 P B ⊥ 平面𝐸𝐹𝐷…………………………………………………..10分
（3）由（1）知，𝐶(0,2,0)，且𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(2,0,0),𝑃⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =(0,2,−2)，
𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝑛⃗ =2𝑥 =0
设平面𝐶𝑃𝐵的法向量为𝑛⃗ =(𝑥 ,𝑦 ,𝑧 )，则{ 2 ，取𝑦 =1，得𝑛⃗ =(0,1,1)，
2 2 2 𝑃⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ⋅𝑛⃗ =2𝑦 −2𝑧 =0 2
2 2
𝐷⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(2,2,0),𝐷⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ =(0,0,2)，而𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =(2,−2,0)，则𝐷⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =2×2−2×2=0,𝐷⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ ⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =0，
即𝐷⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⊥𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ,𝐷⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ ⊥𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ，则𝑃𝐵𝐷的一个法向量为𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =(2,−2,0)，
因此𝑐𝑜𝑠⟨𝑛⃗ ,𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ⟩= 𝑛⃗ ⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ = −2 =− 1，而0≤⟨𝑛⃗ ,𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ⟩≤𝜋，则⟨𝑛⃗ ,𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ⟩=2π，
|𝑛⃗ ||𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ | √2⋅2√2 2 3
𝜋
所以平面𝐶𝑃𝐵与平面𝑃𝐵𝐷的夹角为 ……………………………….17分
3
19.已知P是圆C：𝑥2+𝑦2 =12上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足𝑃⃗⃗⃗⃗𝑄⃗ =2𝑃⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ ，
记点M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
8 2
(2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为(− , )，求|𝐴𝐵|的值．
5 5
【答案】
（1）设𝑀(𝑥,𝑦)，则𝑄(𝑥,0)，
因为𝑃⃗⃗⃗⃗𝑄⃗ =2𝑃⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ ，则𝑃(𝑥,2𝑦)，
因为P在圆C上，所以𝑥2+(2𝑦)2 =12，
故E的方程为𝑥2
+
𝑦2
=1．……………………………….6分
12 3
（2）设𝐴(𝑥 ,𝑦 )，𝐵(𝑥 ,𝑦 )，
1 1 2 2
𝑥2 𝑦2
1 + 1 =1
若A，B是E上两点，则{12 3 ，
𝑥2 𝑦2
2 + 2 =1
12 3
两式相减得𝑥 1 2−𝑥 2 2 + 𝑦 1 2−𝑦 2 2 =0，即 𝑦1−𝑦2 =− 𝑥1+𝑥2 ．
12 3 𝑥1−𝑥2 4(𝑦1+𝑦2 )
因为线段AB的中点坐标为(− 8 , 2 )，所以 𝑦1−𝑦2 =− 𝑥1+𝑥2 =1，
5 5 𝑥1−𝑥2 4(𝑦1+𝑦2 )
所以𝑘 =1，则直线AB的方程为𝑦 =𝑥+2．……………………11分
𝐴𝐵
𝑦=𝑥+2
联立方程组{ 𝑥2 𝑦2 ，整理得5𝑥2+16𝑥+4=0，其中𝛥 >0，
+ =1
12 3
16 4
则𝑥 +𝑥 =− ，𝑥 𝑥 = ，
1 2 1 2
5 5
|𝐴𝐵|=√1+12√(𝑥 +𝑥 )2−4𝑥 𝑥 =
4√22．………………………17分
1 2 1 2
5
{#{QQABCYYQggigABBAAQhCQQGyCgOQkgEAAYgOwBAAIAAByBNABAA=}#}
