文档内容
总复习
一 小 数 除 法
一、除数是整数的小数除法
1.小数除以整数,除到被除数的末尾没有余数的计算方法:
(1)按照整数除法的计算方法计算。 重点提示:商的小数
(2)商的小数点要与被除数的小数点对齐。 点要和被除数的小数点
2.小数除以整数,除到被除数的末尾仍有余数的计算方法: 对齐。
(1)按整数除法,从被除数的最高位除起。 易错题:
(2)除到被除数的末尾仍有余数,就在余数的后面添“0”继续除,
一．直．除．到．没．有．余．数．为．止．。．
(3)商的小数点要与被除数小数点对齐。
3.小数除以整数,如果商的中间哪一位不够商1,就在那一位
上商0。
(1)如果整数部分不够商1,要．在．商．的．个．位．上．用．．“0．．”占．位．．,并．在．．“0．．”
错因分析:此题错在
的．右．下．角．点．上．小．数．点．; 商没有点上小数点。
(2)如．果．中．间．哪．一．位．不．够．商．1．．,就．在．那．一．位．上．商．0．。． 答案:
二、除数是小数的小数除法
1.除数是小数的除法的计算方法:
(1)先移动除数的小数点,使它变成整数,除．数．的．小．数．点．向．右．移．
动．几．位．．,被．除．数．的．小．数．点．也．向．右．移．动．几．位．．,位数不够的,在被除数的
末尾用“0”补足,然后按照除数是整数的小数除法进行计算。商的
小数点应该与被除数移动后的小数点对齐。 重点提示:
(2)移．动．小．数．点．时．。．如．果．被．除．数．的．小．数．部．分．位．数．不．够．．,就．在．后． 解．决．一．个．数．除．以．小．
面．补．．“0．．”占．位．。． 数．的．问．题．．,要．先．转．化．为．学．
2.小数除法的验算方法:
过．的．除．数．是．整．数．的．除．法．．,
(1)小数除法的验算方法与整数除法的验算方法相同。
方．法．是．被．除．数．和．除．数．同．
(2)利用“商×除数=被除数”和“被除数÷商=除数”来验算。
时．扩．大．相．同．的．倍．数．。．
三、积、商的近似值
易错题:
1.“四舍五入”法。
在．取．小．数．的．近．似．值．的．时．候．．,如．果．尾．数．的．最．高．位．上．的．数．字．是．4．
或．者．比．4．小．．,就．把．尾．数．直．接．舍．去．．; 如．果．尾．数．的．最．高．位．上．的．数．字．是．5．
或．者．比．5．大．．,就．把．尾．数．舍．去．并．且．向．它．的．前．一．位．进．．“1．．”。．这．种．取．近．似．
值．的．方．法．叫．作．．“四．舍．五．入．．”法．。．
2.求积的近似值。
错因分析:除数的小
(1)先算出准确的积,再根据题目的要求或生活习惯用“四舍五
数点向右移动了一位,变
入”法取其近似值。在生活中运用“进一法”的实际问题有用油桶装
成整数,被除数的小数点
油,剩下的不够装一桶,也要用一个桶,所以“进一”;货车运货的次数,
也应该向右移动一位。而
最后剩下的不够一车,也要运一次,所以也要“进一”。“去尾法”:如用
题中被除数的小数点向
钢材做机器,剩下一部分钢材不够做一个,所以“去尾”;用布做衣服,
右移动了三位。
剩下的布不够做一件衣服,所以也要“去尾” 。
答案:
(2)求．积．的．近．似．值．时．．,末．尾．的．0．不．能．去．掉．。．
3.求商的近似值。
(1)先看要求保留到哪一位,直接根据要求多除一位,然后用
“四舍五入”法取其近似值。
(2)求．商．的．近．似．值．时．．,末．尾．的．0．不．能．去．掉．。．
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第1页4.商与被除数的大小关系。
(1)当．被．除．数．不．等．于．0．时．。．
①．若．除．数．大．于．1．．,则．商．小．于．被．除．数．．;
注意:在取积或商的
②．若．除．数．小．于．1．．(0．除．外．．)．,则．商．大．于．被．除．数．．;
近似值时,不能根据小数
③．若．除．数．等．于．1．．, 则．商．等．于．被．除．数．。．
的性质把小数末尾的 0
(2)当．被．除．数．等．于．0．时．．,不．管．除．数．是．几．．(0．除．外．．)．,结．果．都．是．0．。．
去掉,两数虽然相等,但精
四、循环小数
确度不一样。
1. 基本概念。
巧记:被除数不变,除
(1)一个小数,从小数部分的某位起,一个或者几个数字依次不
数越小,商越大;
断地重复出现,这样的小数叫作循环小数。
除数不变,被除数越
(2)一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字,叫作
大,商越大。
这个循环小数的循环节。
解决一个数除以小
2. 用．．“四．舍．五．入．．”法．求．循．环．小．数．的．近．似．值．。．
数的问题,要先转化为学
取．近．似．值．时．．,要．看．保．留．的．小．数．位．数．的．下．一．位．．,如．果．下．一．位．上．的．
过的除数是整数的除法,
数．字．是．4．或．者．比．4．小．就．．“四．舍．．”．;如．果．是．5．或．者．比．5．大．．,就．．“五．入．．”。． 方法是被除数和除数同
3. 技．巧．。． 时扩大相同的倍数。
求．商．的．近．似．值．时．．,也．可．以．除．到．要．保．留．的．小．数．数．位．后．．,不．再．继．续． 知识拓展:1. 纯循
除．了．．,只．要．把．余．数．同．除．数．作．比．较．即．可．．,方．法．如．下．．: 环小数。
循环节是从小数部
(1)若．余．数．比．除．数．的．一．半．小．．,就．说．明．求．出．下．一．位．的．商．要．直．接．舍．
分第一位开始的,叫作纯
去．．;
循环小数。
(2)若．余．数．大．于．或．等．于．除．数．的．一．半．．,就．说．明．要．在．已．除．得．的．商．的．
例2.888…
末．位．加．上．1．。．
2. 混循环小数。
五、小数四则混合运算
循环节不是从小数
1. 小数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同。
部分第一位开始的叫作
2. 在．一．个．没．有．括．号．的．算．式．里．．,如．果．只．有．加．减．法．或．只．有．乘．除． 混 循 环 小 数 。 如
法．．,要．从．左．往．右．依．次．计．算．．;如．果．既．有．加．减．法．、．又．有．乘．除．法．．,要．先．算．乘． 3.3454545…
除．法．．,再．算．加．减．法．。． “四舍五入”法是常用
3. 在．一．个．有．括．号．的．算．式．里．．,要．先．算．括．号．里．面．的．．,再．算．括．号．外． 的求近似值的方法。
面．的．。．
在四则混合运算中,括号起改变运算顺序的作用。
二 轴对称和平移
一、轴对称再认识
1. 轴对称图形的意义:
重点提示:
把．一．个．图．形．沿．着．一．条．直．线．对．折．后．．,折．痕．两．侧．的．部．分．能．够．完．
有的轴对称图形的对
全．重．合．．,这．个．图．形．就．叫．作．轴．对．称．图．形．．,折．痕．所．在．的．直．线．叫．作．对．称． 称轴不止一条。
易错题:
轴．。．
判断:小猴子是轴对称
2. 轴对称图形的特点:
图形。 (√)
轴对称图形沿着对称轴对折后,折痕两侧的部分能够完全
错因分析:小猴子是一
重合,折痕两侧的对称点(或线段)能够完全重合。对称点到对称
个动物,不是平面图形,只
轴的距离相等。
能说是对称。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第2页3. 画轴对称图形的方法: 答案:✕
(1)确定已知图形每条线段的端点。 知识巧记:
(2)数出或量出各端点到对称轴的距离。 关键点,选关键,
(3)在对称轴的另一侧描出各端点的对称点。 点轴距离数格算。
(4)最后按照已知图形的形状顺次连接各端点的对称点,画 细心找准对称点,
出已知图形的轴对称图形。 有序连点图形现。
二、平移 重点提示:
1. 平移的意义:
在．解．决．图．形．平．移．的．问．
物．体．或．图．形．沿．着．某．一．方．向．做．直．线．运．动．的．现．象．叫．作．平．移．。．
题．中．．,平．移．几．格．并．不．是．指．原．
2. 判断图形平移的方向和距离的方法:
图．形．与．平．移．后．的．图．形．之．间．
可以根据该图形上某个点或某条线段平移的方向和距离来
相．距．几．格．．,而．是．指．图．形．的．关．
判断。
3. 在方格纸上画平移图形的方法:
键．点．平．移．了．几．格．。．
(1)找出所给图形的关键点(或关键线段)。 重点提示:
(2)按要求平移相应的格数并描出各对应点(或对应线段)。 利用平移或轴对称设
(3)把对应点(或对应线段)按所给图形的形状连接起来。 计图案时,要选准基本图
4. 画出平移后的图形只是位置发生了变化,大小和形状不 案。平移要确定好平移的
变。 格数和方向;轴对称要确定
三、欣赏与设计 好对称轴,选好关键点(或
1. 复杂、美丽的图案可以用一个简单的图案通过平移或轴 关键线段)。
对称得到。
2. 利用平移或轴对称在方格纸上设计简单图案的方法:
(1)画出或选择一个基本图案。
(2)确定图案变化的方式;平移要确定好方向和平移的格数;
轴对称要确定好对称轴,选好关键点(或关键线段)。
(3)画出要设计的图案。
三 倍数与因数
知识巧记:
一、倍数与因数
倍数与因数,
1. 倍数与因数的意义:
从不单独存在。
如果a×b=c(a、b、c都是不为0的自然数),那么a和b就是c的因
互相来依存,
数,c就是a和b的倍数。
永远不分开。
2. 求一个数的倍数的方法:
列举找倍数,
用这个数分别乘1,2,3,4,…所得的积都是这个数的倍数。
从1开始乘。
3. 判断两个数成倍数关系的方法:
除法也能找,
(1)列乘法算式,用积判断。
整除来分辨。
(2)列除法算式,如果商是整数且没有余数就是倍数关系,反之不
易错题:
是。
下面各题中,被
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第3页4. 倍数与因数的关系。 除数是除数倍数的
倍数与因数是乘法算式中积和乘数的关系,是相互依存的,没有倍 是(AD)。
数就不存在因数,没有因数也不存在倍数,不能单独说一个数是倍数或 A.3.5÷0.7=5
因数。 B.0.8÷4=0.2
5. 明确“0”的特殊性。 C.43÷5=8.6
在自然数中,0是一个特殊的数,0乘任何数都得0,0是任何一个非 D.65÷5=13
0自然数的倍数,任何非0自然数都是0的因数,如果不排除0,很多问 错因分析:小数
题无从讨论,因此在研究倍数和因数时,所说的自然数指的是不包括0 之间不存在倍数和
的自然数。 因数的关系,所以选
6. 倍和倍数的区别:“倍”的概念比“倍数”要广,“倍”可以适 项A不是。
用于小数、整数、分数,而倍数是相对于因数而言的,只适用于非0的 答案:D
自然数。 重点提示:
二、2,5的倍数的特征 只在自然数(0
1.2的倍数的特征: 除外)范围内研究倍
个 ． 位 ． 上 ． 是 ．0．．,2．．,4．．,6．．,8． 的 ． 数 ． 都 ． 是 ．2． 的 ． 倍 ． 数 ． 。 ． 数与因数。
2.5的倍数的特征: 重点提示:1.0是2的
倍数,0 也是偶数,自
个 ． 位 ． 上 ． 是 ．0． 或 ．5． 的 ． 数 ．．,都 ． 是 ．5． 的 ． 倍 ． 数 ． 。 ．
然数中最小的偶数
3. 偶数:
是 0,没有最大的偶
像2,4,6,8,…这样的数,是2的倍数,叫作偶数。
数。2.自然数中最小
4. 奇数:
的奇数是 1,没有最
像1,3,5,7,…这样的数,不是2的倍数,叫作奇数。
大的奇数。3. 一个
5. 同时是2,5的倍数的特征:个位上是0的数。
数的倍数的个数是
三、3的倍数的特征
无限的,最小的倍数
1. 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数,这个数就是3的倍
是它本身,没有最大
数。
的倍数。
2. 同时是2,3的倍数的特征:
易错题:
个位上的数必须是0,2,4,6,8且各个数位上数字之和是3的倍数。
判断:3 是奇数,
3. 同时是3和5的倍数的特征:
所以 3 的倍数也是
个位上必须是0或5,且各个数位上数字之和是3的倍数。
奇数。 (√)
4. 同 ． 时 ． 是 ．2． 、 ．3． 、 ．5． 的 ． 倍 ． 数 ． 的 ． 特 ． 征 ．．:
错因分析:如果
各 ． 个 ． 数 ． 位 ． 上 ． 数 ． 字 ． 之 ． 和 ． 是 ．3． 的 ． 倍 ． 数 ．．,且 ． 个 ． 位 ． 上 ． 是 ．0． 。 ． 一个数是 3 的偶数
5.9的倍数的特征:
倍,这个数就是偶数;
一个数各个数位上数字之和是9的倍数,这个数就是9的倍数。
如果一个数是 3 的
四、找因数
奇数倍,这个数就是
1. 找因数的方法:
奇数。
列乘法算式,从1开始一对一地找,看哪两个自然数的积等于这个
答案:✕
数,这两个自然数就是这个数的因数;列除法算式,想这个数可以写成哪
知识拓展:如果
些除法算式,算式中的商和除数就是这个数的因数。
一个数各个数位上
2. 表示一个数的因数的方法:
数字之和是 9 的倍
列举法:
数,那么这个数同时
如12的因数:1,2,3,4,6,12。
是3和9的倍数。
集合法: 12的因数
重点提示:
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第4页一个数的因数
．．．．．．
的
．
个
．
数
．
是
．
有
．
限
．
的 ．．,最
．
大 ． 的 ． 因 ． 数 ． 是 ． 它 ． 本 ． 身 ．．,
最 ． 小 ． 的 ． 因 ． 数 ． 是 ．1． 。 ．
五、找质数 易错题:
1. 质数:一个数只有1和它本身两个因数,这个数叫作质数。最小 判断:一个数的
的质数是2。 因数一定比这个数
2. 一个数除了1和它本身以外还有别的因数,这个数叫作合数。 小。 (√)
最小的合数是4。 错因分析:一个
3. 判断一个数是质数还是合数的方法:看这个数的因数的个数,只 数最大的因数是它
有2个因数的数是质数,有3个或3个以上因数的数是合数。 本身。
4. 1．0．0． 以 ． 内 ． 的 ． 质 ． 答案:✕
重点提示:
数 ．．:2．．,3．．,5．．,7．．,1．1．．,1．3．．,1．7．．,1．9．．,2．3．．,2．9．．,3．1．．,3．7．．,4．1．．,4．3．．,4．7．．,5．3．．,5．9．．,6．1．．,6．7．．,7．1．．,7．3．．,7．9．．,8．3．．,8．
1. 1．既．不．是．质．
9．．,9．7．．,共 ．2．5． 个 ． 。 ．
数．．,也．不．是．合．数．。．
2.2是偶数中唯
一的质数,除2外,其
他的质数都是奇数。
易错题:
判断:所有的质
数都是奇数,所有的
奇数都是质数。
(√)
错因分析:2 是
质数,但不是奇数。
9、15是奇数,但不是
质数。
答案:✕
四 多边形的面积
一、比较图形的面积
易错点:移补后图形的
在方格纸上比较图形的面积大小的方法:
面积没有改变,周长可能有
(1)数方格法:观察方格纸中的各图形,数出各图形各占几个
变化。
格,根据图形所占方格的数量来比较它们的面积。
易错题:
(2)重叠法:借助图形变换使两个图形重叠,观察两个图形能
判断:割补后图形的面
否完全重合,来比较它们的面积。(图形的形状相同适用于此方
积不变,则周长也不变。
法)
(√)
(3)拼组法:将两个图形组在一起,看是否与其他图形相同。
错因分析:图形割补后
(4)分割移补法:两个图形的形状不同,不能完全重合,但可以
形状发生了变化,所以周长
把图形分割平移,变成一种比较相似的图形,再比较它们的面积。
也可能发生变化。
二、认识底和高
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第5页1. 限高:教材中的限高指的是通过的车辆的高度应低于4.5 如割补后的图形周长
米。 变小了。
2. 梯形的高:上底与下底间的垂直线段为梯形的高。
3. 平行四边形的底和高:从平行四边形的顶点(或一条边上
任意一点)向它的对边画垂直线段,这条垂直线段就是平行四边 答案:✕
形的高,这条对边就是高所对应的底。 重点提示:
4. 认识三角形的底和高:三角形有三条边,三条边都可以作 1. 梯形有无数条高。
底边,每条边与其所对应的顶点到这条边的垂直线段就是三角 2. 在平行四边形中底
形的底和高。 和高是相对应的。
5. 画指定底和高的长度的平面图形的方法:先画指定长度 3. 平行四边形有无数
的底,然后根据底确定指定长度的高,最后画出其他的边。 条高。
6. 梯形、平行四边形和三角形的高的画法。 4. 三．角．形．有．三．组．对．应．
(1)梯形的高的画法:把三角尺的一条直角边与梯形的一条
的．底．和．高．。．
底边重合,与另一条底边相交于一点,从这一点向对应边或底边
易错题:
的延长线画垂线,这条垂线就是梯形的高。
判断:直角三角形只有
(2)平行四边形的高的画法:把三角尺的一条直角边与平行
一条高。 (√)
四边形的一条边重合,另一条直角边与平行四边形这条底边所
错因分析:直角三角形
对应的边相交于一点,从这一点向对应底边或底边延长线画垂
的两条直角边分别是直角
线,这条垂线就是平行四边形的高。
三角形的两条高,斜边上也
(3)三角形的高的画法:从三角形的一个顶点向对边或对边
有一条高。即直角三角形
的延长线画垂线,这条垂线就是三角形的高。
也有三条高。
5. 只确定了底和高,并不能却定一个图形的具体形状,等底
答案:✕
等高可以画出无数个不同形状的图形。 易错点:计算平行四边形的
6. 对．应．的．底．和．高．互．相．垂．直．。． 面积要用一组对应的底和
高相乘。
三、平行四边形的面积
1. 通过割补法把平行四边形转化为长方形,长方形的长等 易错题:
于原平行四边形的底,长方形的宽等于原平行四边形的高。 求平行四边形的面
积。
平行四边形的面积=底×高;用字母表示为S=ah。
2. 长方形的长=平行四边形的底 错解:6×7=42(cm2)
长方形的宽=平行四边形的高 错因分析:计算平行四
长方形的面积=长×宽 边形的面积要用一组对应
平行四边形的面积=底×高 的底和高相乘。
3. 等底等高的平行四边形的面积相等。 答案:7×4=28(cm2)
4. 平行四边形的面积公式的应用: 易错题:
已知平行四边形的面积和高,求平行四边形的底,可以用“底 判断:两个面积相等的
=平行四边形的面积÷高”来解答。 三角形一定能拼成一个平
行四边形。 (√)
四、三角形的面积
1. 两个完全相同的三角形能拼成一个平行四边形。平行四 错因分析:两个面积相
边形的底和高分别是三角形的底和高。 等的三角形的形状不一定
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形才能拼成一个平行四边
形。
答案:✕
知识巧记:
2. 三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一 梯形面积并不难,
半。 找准数量是关键。
3. 三角形的面积=底×高÷2,用字母表示为S=ah÷2。 上下底和来乘高,
4. 三角形的面积公式的应用:
除以2来轻松算。
已知三角形的面积和底,要求三角形的高,可以应用“高=三 易错题:
角形的面积×2÷底”来解答。 判断:梯形的面积等于
5. 等底等高的三角形的面积相等。 平行四边形面积的一半。
(√)
五、梯形的面积
1. 两个完全相同的梯形,可以拼成一个平行四边形。 错因分析:只有在特定
情况下梯形才和平行四边
形的面积成2倍关系。
答案:✕
2. 平行四边形的底等于梯形上底与下底的和,平行四边形
的高等于梯形的高。
3. 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2,用字母可以表示为
S=(a+b)×h÷2。
4. 梯形的面积计算公式的应用:
已知梯形的面积和上、下底,求高。
用“梯形的面积×2÷(上底+下底)”来解答。
五 分数的意义
一、分数的再认识(一)
1. 整体“1”的含义:一个物体或一些物体都可以看作一个整
重点提示:
体,这个整体可以用自然数“1”来表示,通常叫作单位“1”。
分数中要强调把一
2. 分数的意义:把一个整体平均分成若干份,其中的一份或几
个整体“平均分”。
份,可以用分数表示。
易错题:
3. 根据分数所表示的数量可以求出所对应的整体数量,分母
是几,整体就被分成了几份。 判断:有甲、乙两个
4. 同一个分数对应的整体大,表示的具体数量就大;对应的整
体小,表示的具体数量就小。 正方形,乙正方形面积的
二、分数的再认识(二)
1
一定大于甲正方形面积
111 2
1. 分数单位的意义:像 , , …这样的分数叫作分数单位。
234
1
的 。 (√)
4
2. 分数单位的大小:分母越大,分数单位越小;分母越小,分数
1 1
错因分析:虽然 > ,
2 4
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单位越大。 > 但是两个正方形的大小
2 3
3. 把一个整体平均分成几份,这个整体里面就有几个几分之 不确定,也就是单位“1”不
1
一。把一个整体平均分成4份,这个整体里面就有4个 。 确定,所以无法比较。
4
答案:✕
4. 一个分数的分子是几,这个分数里面就有几个这样的分数
易错题:
单位。例 7 的分子是7, 7 里面就有7个 1 。
判断:
5
的分数单位
8 8 8 6
5. 分母不同的分数,它们的分数单位不同。
1
是 。 (√)
三、真分数、假分数和带分数 5
1157
1. 真分数的意义:像 , , , ,…这样的分数是真分数。真 ． 分 ． 数 ． 的 ． 错因分析:把一个整
2468
分 ． 子 ． 小 ． 于 ． 分 ． 母 ．．,真 ． 分 ． 数 ． 小 ． 于 ．1． 。 ． 体平均分成几份,其中的
349
2. 假分数的意义:像 , , ,…这样的分数是假分数。假 ． 分 ． 数 ． 的 ． 1份就是这个分数的分数
248
分 ． 子 ． 等 ． 于 ． 或 ． 大 ． 于 ． 分 ． 母 ． 。 ． 假 ． 分 ． 数 ． 大 ． 于 ． 或 ． 等 ． 于 ．1． 。 ． 5
单位,所以 的分数单位
6
5 7
3. 带分数的意义:像1 ,2 ,…这样的分数都是带分数。带分数
6 8 1
是 。
6
由整数(不包括0)和真分数合成。读带分数时,先读整数部分,再读
答案:✕
易错点:假分数的分子
分数部分,中间加一个“又”字。写带分数时,先写整数部分,再写
等于或大于分母,做题时
分数部分。 易忽略分子与分母相等
的情况。
四、分数与除法的关系 易错题:判断:假分数
都大于1。 (√)
1. 分数与除法的关系:分 ． 数 ． 的 ． 分 ． 子 ． 相 ． 当 ． 于 ． 除 ． 法 ． 中 ． 的 ． 被 ． 除 ． 数 ．．,分 ．
错因分析:分子与分
母
．
相
．
当
．
于
．
除
．
法
．
中
．
的
．
除
．
数 ．．,分
．
数
．
线
．
相
．
当
．
于
．
除
．
法
．
中
．
的
．
除
．
号 ．．,分
．
数
．
值
．
相
．
当
．
母相同的分数也是假分
数,所以假分数大于或等
(cid:1853)
于 ． 除 ． 法 ． 中 ． 的 ． 商 ． 。 ． 用 ． 字 ． 母 ． 表 ． 示 ． 上 ． 面 ． 的 ． 关 ． 系 ． 是 ．a．÷．b．=．．(b．≠．0．．)。 ． 于1。
(cid:1854)
答案:✕
2. 带分数化成假分数时,用整数与分母的积再加上原来的分
重点提示:分数与除
子作分子,分母不变。
法的区别,除法是一种运
3. 假分数化成整数或带分数的方法:分子除以分母,如果没有
算,分数是一种数。
余数,化成整数;如果有余数化成带分数,所得的商是整数部分,余
易错点:带分数化成
数作分子,分母不变。
假分数时,整数与分母相
4. 求一个数是另一个数的几分之几的问题的解题方法:一 ． 个 ． 乘后,不要忘记加上分数
中原来的分子。
一个数
数 ．÷． 另 ． 一 ． 个 ． 数 ．=． ．,得 ． 到 ． 的 ． 商 ． 表 ． 示 ． 两 ． 个 ． 数 ． 的 ． 关 ． 系 ．．,没 ． 有 ． 单 ． 位 ． 名 ．
另一个数 重点提示:运用分数
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第8页称 ． 。 ． 的基本性质时,一定要注
意分子、分母必须同时乘
五、分数的基本性质
或除以一个不为零的数。
1. 分 ． 数 ． 的 ． 基 ． 本 ． 性 ． 质 ．．:分 ． 数 ． 的 ． 分 ． 子 ． 和 ． 分 ． 母 ． 同 ． 时 ． 乘 ． 或 ． 除 ． 以 ． 一 ． 个 ． 不 ．
3
易错题: 的分子加
为
．
零
．
的
．
数 ．．,分
．
数
．
的
．
大
．
小
．
不
．
变
．
。
．
4
上3,分母加上(3),分数的
2 2×4 8 12 12÷4 3
= = = = 大小不变。
5 5×4 20 32 32÷4 8
错因分析:分子和分
2. 分 ． 母 ． 和 ． 分 ． 子 ． 同 ． 时 ． 扩 ． 大 ． 到 ． 原 ． 来 ． 的 ．n．．(n．>．1．．)倍 ．．,分 ． 子 ． 和 ． 分 ． 母 ． 同 ． 时 ．
母同时乘或除以一个不
增
．
加
．
原
．
来
．
的 ．．(n．．‐1．．)倍 ．．,分
．
数
．
值
．
不
．
变
．
。
． 为零的数,分数的大小才
3. 运 ． 用 ． 分 ． 数 ． 的 ． 基 ． 本 ． 性 ． 质 ．．,要 ． 想 ． 保 ． 持 ． 分 ． 数 ． 的 ． 大 ． 小 ． 不 ． 变 ．．,必 ． 须 ． 使 ． 分 ． 不变。分子和分母同时加
数 ． 的 ． 分 ． 子 ． 和 ． 分 ． 母 ． 都 ． 乘 ． 或 ． 除 ． 以 ． 相 ． 同 ． 的 ． 数 ．．(0． 除 ． 外 ．．)。 ． 如 ． 果 ． 是 ． 分 ． 子 ．．(分 ． 母 ．．) 上一个数,分数的大小发
生了变化。分子3加上3
加
．
上
．
或
．
减
．
去
．
一
．
个
．
数 ．．,看
．
是
．
把
．
原
．
分
．
子 ．．(分
．
母 ．．)乘
．
或
．
除
．
以
．
几
．
得
．
到
．
新
．
的
．
分
．
等于扩大到原来的2 倍,
子 ．．(分
．
母 ．．)．,然
．
后
．
分
．
母 ．．(分
．
子 ．．)也
．
随
．
着
．
乘
．
或
．
除
．
以
．
几
．
得
．
到
．
新
．
分
．
母 ．．(分
．
子 ．．)。
．
观
．
所以分母也要扩大到原
察
．
由
．
原
．
分
．
数
．
到
．
新
．
分
．
数
．
的
．
分
．
母 ．．(分
．
子 ．．)增
．
加
．
或
．
减
．
少
．
了
．
几
．
。
． 来的2倍,即加上4。
六、找最大公因数
答案:4
1. 几个数相同的因数,叫作这几个数的公因数;其中最大的一
拓展提高:1. 用短除
个叫作它们的最大公因数。
法求两个数的最大公因
2. 求两个数的公因数和最大公因数的方法:先分别找出两个
数,先用这两个数的最小
数各自所有的因数,再从中找出两个数的公因数,其中最大的一个
质因数去除这两个数,然
就是这两个数的最大公因数。
后看两个数的商是不是
3. 短除法。
只有公因数 1,若不是就
继续除,一直除到商只有
公因数1为止。除数的积
就是这两个数的最大公
因数。2. 两个数只有公
用18和27的最小质因数3去除这两个数,看这两个数的商是
因数 1,那么这两个数的
不是只有公因数1,若不是再接着往下除,一直除到商只有公因数1
最大公因数是1。3. 相邻
为止,然后把除数相乘,所得的积就是这两个数的最大公因数。
两个自然数的最大公因
七、约分
数是1。4. 如果较大数是
1. 把 ． 一 ． 个 ． 分 ． 数 ． 的 ． 分 ． 子 ． 、 ． 分 ． 母 ． 同 ． 时 ． 除 ． 以 ． 它 ． 们 ． 的 ． 公 ． 因 ． 数 ．．,分 ． 数 ． 的 ．
较小数的倍数,那么较小
值
．
不
．
变 ．．,这
．
个
．
过
．
程
．
叫
．
作
．
约
．
分
．
。
． 的数是这两个数的最大
2. 分子、分母只含有公因数1的分数,叫作最简分数。
公因数。
3. 约分的方法:(1)逐次约分法,用分子和分母的公因数逐次
易错点:注意分母不
去除分子和分母,直到得出一个最简分数。(2)一次约分法,用分子
能为0。
和分母的最大公因数去除分子和分母。
易错题:判断:分子和
4. 书写格式:
分母是两个相邻的自然
2
32 32 2 数的分数一定是最简分
= =
48 48 3
3 数。 (√)
八、找最小公倍数
错因分析:没有注意
1. 几个数公有的倍数,叫作这几个数的公倍数。其中最小的
0也是自然数。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第9页一个,叫作它们的最小公倍数。 答案:✕
2. 求两个数的最小公倍数的方法:先分别写出两个数各自的 重点提示:计算结果
倍数,再从中找出它们的公倍数和最小公倍数。 一般都要化成最简分数。
3. 当较大数是较小数的倍数时,这两个数的最小公倍数就是 重点提示:
较大数。 1. 求两个数的公倍
4. 当两个数只有公因数1时,最小公倍数是这两个数的积。 数,只要先求出这两个数
5. 用短除法求两个数的最小公倍数:除数和商相乘的积就是 的最小公倍数,再用最小
这两个数的最小公倍数。 公倍数分别乘 2,3,4,5,…
九、分数的大小 就能得到其他的公倍数。
1. 异分母分数比较大小的方法:把异分母的分数化成同分母 2. 两个数的公倍数有无
的分数,再比较大小。 数个,没有最大的公倍数,
2. 通分的含义:把分母不相同的分数化成和原来分数相等,并 只有一个最小公倍数。
且分母相同的分数,这个过程叫作通分。 重点提示:1. 约分和通分
3. 通分的方法:通分时用原来几个分数的分母的最小公倍数 都是根据分数的基本性
作分母,再把每个分数都化成用这个最小公倍数作分母的分数。 质来运算的。2. 把三个
4. 比较分数的大小,可以画图比较,也可以通分比较。 分数通分,先找出其中两
个分母的最小公倍数,再
找出这个最小公倍数与
另一个分母的最小公倍
数,得到的最小公倍数为
三个分母的最小公倍数,
最后用三个分母的最小
公倍数作分母进行通分。
六 组合图形的面积
一、组合图形的面积
1. 组合图形的意义:几个简单的图形,通过不同的方式组合而 重点提示:
成的图形。 通过分割、添补、割
2. 求组合图形的面积的方法:分割法,添补法、割补法。 补,把组合图形转化为简
(1)分割法:将组合图形分割成已经学过的基本图形,分别计算 单的已经学过的基本图
出所分割的图形的面积,再相加。 形,再进行计算。
(2)添补法:通过添补将组合图形化成所学过的基本图形,然后 易错题:
减去所添图形的面积,即得组合图形的面积。 求图中的空白处的
(3)割补法:将组合图形的某一部分割下来,补在具有相同边长 面积。
的部分重新组合成所学过的基本图形(面积不变),再计算。
二、估算与计算不规则图形的面积
1. 数方格:数方格时,把大于半格的按1格来算,小于半格的
不算。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第10页2. 把原图形近似看作某个基本图形,用方格纸量出计算基本
图形面积的条件,算出面积。
三、公顷、平方千米
1. 公顷是测量和计算土地面积常用的单位,边长是100米的
正方形土地,它的面积是1公顷,即1公顷=10000平方米。
2. 平方米和公顷之间的换算方法:平方米换算成公顷时,把小 18×18‐2×18×2=252
数点向左移动四位。公顷换算成平方米时,把小数点向右移动四 错因分析:做题时容
位。 易忽略中间的重叠部分
3. 平方千米是比公顷还大的面积单位。边长是1000米的正 的面积。
方形,它的面积是1平方千米。 案:18×18‐2×18×2+2×
1km2=100公顷 1km2=1000000m2 2=256
易混点:
高级单位转化成低
级单位,要乘进率;低级单
位转化成高级单位,要除
以进率。
数 学 好 玩
一、设计秋游方案
1. 设计秋游方案前应做哪些准备工作。
重点提示:
(1)秋游的时间、地点和人员。
通过讨论交流找出设计
(2)乘坐的交通工具,及路上所用的时间。
方案的优点和缺点,提高
(3)景点门票的价格。
了应用计算、统计等数
(4)景点开放的时间,预计每个景点的参观时间。
学知识及举例、排除等
(5)设计参观路线。
数学方法解决问题的能
(6)明确参观中的注意事项。
力
2. 动手设计。
(1)展示收集的资料。
①景点的相关信息:门票的价格,开放的时间。
②交通费用:乘坐的车型及价格。
③景点内的参观路线。
(2)根据收集整理的数据和信息,设计秋游方案。
3. 展示各种设计方案并交流反思。
(1)比较各小组展示的方案,评价优劣。
(2)根据评价结果,选出合理的设计方案,并综合其他方案的优
点,补充完善。
4. 交流设计方案的体会。
重点提示:
(1)学到了哪些知识。
用小棒摆三角形的
(2)提高了哪些方面的能力。
规 律 是 小 棒 数 量
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第11页(3)在活动中怎样把学过的知识运用到实践中去。 =2n+1(n 表示三角形的
(4)在今后的学习中,应该注意什么。 个数)。
5. 自我评价。
结合自己在活动中所做的各项工作,评价自己在各项工作中
的表现。
二、图形中的规律
活动一:
1. 活动准备:以小组为单位,准备所需摆三角形用的小棒。
2. 实际操作:用小棒按教材中的样子摆出三角形。组长记录所
用小棒的数量。
3. 观察记录数据,发现规律。
(1)规律一:发现摆一个三角形需要3根小棒,以后每多摆一个 重点提示:
三角形就需要增加 2 根小棒,即所需小棒的数量:3+(三角形个数 第 n 个点阵中有
n×n=n2(个)点。
‐1)×2。如 ． 果 ． 摆 ．n． 个 ． 三 ． 角 ． 形 ． 就 ． 需 ． 要 ．3．+．2．．(n．．‐1．．)=．2．n．+．1． 根 ． 小 ． 棒 ． 。 ．
三角形个数 小棒根数
1 3
2 5=3+2
3 7=3+2×2
4 9=3+2×3
… …
(2)规律二:从记录的数据还会发现,摆2个三角形需要小
棒的数量比单独摆2个三角形需要的小棒数量少1根,摆3个少2
根,摆4个少3根……摆n个三角形比单独摆n个三角形需要小棒的
数量 少(n‐1)根 ,所以 摆 n 个三 角形 需要的 小棒 数量是
3n‐(n‐1)=2n+1。
三角形个数 小棒根数
1 3
2 5=3×2‐1
3 7=3×3‐2
4 9=4×3‐3
… …
(3)规律三:从数据中还发现,把三角形的一条边看作基准
边,摆1个三角形可以看作在基准边上再添2根小棒,所以摆1个三
角形用(1+2)根,摆2个三角形用(1+2+2)根,可以写成1+2×2,摆3个
三角形用(1+2+2+2)根,可以写成1+2×3……摆n个三角形用(1+2n)
重点提示:
根,也可以写成(2n+1)根。
估计数量可能的范
活动二:点阵中的规律。
围,在列举中调整鸡和兔
1. 观察每个点阵中点的个数,发现规律。
的数量,以减少列举的次
(1)通过观察可以发现,随着点阵的变化,点阵中的点数也发生
数。
变化。第一个点阵中有1个点,第二个点阵中有2×2=4(个)点;第三
还可以用假设的方
个点阵中有3×3=9(个)点,由此推出第n个点阵中有n×n=n2(个)点。
法解决鸡兔同笼的问
(2)第一个点阵中有1个点;第二个点阵有2行,每行2个点;第
题。
三个点阵有3行,每行3个点;由此可知第n个点阵有n行,每行有n
个点(n为非0 自然数)。
2. 从不同角度观察,发现点阵的规律。
(1)对照观察前后点阵中点数的变化,第一个点阵中有1个点,
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第12页第二个点阵比第一个点阵多3个点,第三个点阵比第二个点阵多5
个点,第四个点阵比第三个点阵多7个点……由此得出第n个点阵中
含有的点数是从1开始的n个连续奇数的和(n为非零自然数)。
(2)对照观察前后点阵中点数的变化,第一个点阵有1个点,第
二个点阵有1+2+1=4(个)点,第三个点阵有1+2+3+2+1=9(个)点,第四
个点阵有1+2+3+4+3+2+1=16(个)点。由此得知第n个点阵中含有
的点数是从1开始到n及从n‐1开始到1的连续自然数的和。
三、尝试与猜测
1.解决鸡兔同笼问题的方法:
(1)逐一列举法:按一定的顺序,从假设1只鸡开始,逐一列举,直
到找出答案。
(2)取中列举,从各取一半开始列表,根据实际情况确定列举的
方向,尽量缩小列举范围。
七 可 能 性
一、谁先走
1. 等可能性和游戏规则的公平性。
重点提示:
(1)等可能性的意义:
游戏规则的公平性
像抛硬币那样,正面朝上和反面朝上的可能性相等,即事件发
是建立在事件发生的可
生的可能性相等,就是等可能性。
能性相等的基础上的,事
(2)游戏规则的公平性:
件发生的可能性相等,则
在设计游戏规则时,事件发生的可能性相等,游戏规则就公平,
游戏规则公平;可能性不
否则就不公平。
相等,则游戏规则不公
2. 体验游戏规则的公平性,可能性大小不相等,游戏规则就不
平。
公平;只有每种情况出现的可能性相等,游戏规则才公平。
可以用列举的方法,
3. 当遇到不能确定游戏规则的公平性时,可以通过实验,收集
列举出现每种情况的可
数据,用数据来说明游戏规则是否公平。
能性,再比较可能性的大
二、摸球游戏
小,来判断游戏规则的公
1. 根据可能性的大小推测物体数量的多少。
平性。
通过摸出红球或黄球的可能性的大小,即摸出红球或黄球次
难点点拨:
数的多少,判断哪种颜色的球多,哪种颜色的球少。
随机现象虽然对于
2. 事件发生的可能性的大小能反映出物体数量的多少,可能
个别实验来说无法预知
性越大,对应的物体数量就越多,可能性越小,对应的物体数量就越
其结果,但在相同条件下
少。
进行大量重复试验,又会
呈现出一种规律,我们称
为随机现象的统计规律。
如果试验的次数太少,事
件存在随机性,即预测的
准确性就差;增加试验次
数,预测的准确性就会提
高。
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