文档内容
2025 年 1 月“八省联考”考前猜想卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
4．设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ）
试卷第1页，共5页
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．若函数 为奇函数，则
B．函数 在 上是减函数
C．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
D．若函数 为偶函数，且在(0,+∞)上是单调递增，则 在 上是单调递减
7．已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列 满足 ， ．记数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生
参加体育测试，其中甲班女生的成绩 与乙班女生的成绩 均服从正态分布，且 ，
，则( ).
A． B．
C． D．
10．已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
试卷第2页，共5页A．函数 的定义域为 B．函数 为偶函数
C．函数 的单调递增区间为 D．函数 的图像关于直线 对称
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为
，则下列说法正确的是（ ）
A．四叶草曲线有四条对称轴
B．设 为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过 作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的
矩形面积的最大值为
C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为
D．四叶草曲线的面积小于
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若直线 与曲线 相切，则实数 的值为 .
13．已知双曲线 的左焦点为 ，过 的直线 交圆 于 ， 两点，交
的右支于点 ，若 ，则 的离心率为 .
14．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研
究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛
的应用.已知对于正整数 ，若存在一个整数 ，使得 整除 ，则称 是 的一个二次剩余，
试卷第3页，共5页
学科网（北京）股份有限公司否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数 ，记事件 与12互质”， 是12
的二次非剩余”，则 ； .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 在边 上，且满足
， 的面积
(1)证明：
(2)求 .
16．（15分）新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取
若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在 的居民
有2200人.
(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；
(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）；
(3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数.
试卷第4页，共5页17．（15分）椭圆 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足 ．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的标准方程．
18．（17分）已知四棱锥 的底面 是直角梯形， ， ， ，
，E为CD的中点， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，PC与平面 所成的角为 ，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得
平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由．
19．（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，
衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数，f″(x)是 的
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学科网（北京）股份有限公司导函数，则曲线 在点 处的曲率 .
(1)求曲线 在 处的曲率 的平方；
(2)求正弦曲线 曲率的平方 的最大值.
(3)正弦曲线 ，若 ，判断 在区间 上零点的个数，并写
出证明过程.
试卷第6页，共5页
