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2024 年牡丹江地区共同体高二期末联考
数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知等比数列 中， ， ，则 （ ）
A. 48 B. 15 C. 3 D. 63
2. 若 是等差数列， 表示 的前 项和， ， ，则 中最小的项是（ ）
A. B. C. D.
的
3. 若 ， ，则 值等于（ ）
A. B. C. D.
4. 已知椭圆 的右焦点为 ，点 是 上的一点，点 是线段 的中点， 为坐标原点，
若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 抛物线 上的点到其准线的距离与到直线 的距离之和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标
系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小
值为（ ）A. B. C. D.
7. 已知正项等比数列 前 项和为 ，且满足 ，设 ，将数
的
列 中的整数项组成新的数列 ，则 （ ）
A. 2023 B. 2024 C. 4046 D. 4048
8. 已知 ， 是椭圆 和双曲线 的公共焦点， 是该椭圆和双曲线的一个公共点，
， 的外接圆半径为2，且 ，记椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为
，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为4
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 已知数列 是公比为 的等比数列，且 成等差数列，则 （ ）
A. B. C. D. 110. 已知椭圆 的左右两个焦点分别为 、 ，左右两个顶点分别为 、 ，P点是椭圆
上任意一点（与 不重合）， ，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A. B. 的最大面积为
C. 存在点P，使得 D. 的周长最大值是
11. 已知数列 满足： ， ， ，数列 的前 项的积为 ，
记 ，则（ ）
A. 数列 是等比数列 B.
C. 当 为奇数时， D. 当 为偶数时，
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 曲线 在点 处的切线方程为______．
13. 若数列 满足 ， ，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄
金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，
在每个正方形中作圆心角为 的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以 为边长的正方形中的
扇形面积为 ，数列 的前n项和为 ．给出下列结论：
① ；② 是奇数；
③ ；
④ ．
则所有正确结论的序号是________．
14. 已知 ，M是椭圆 上的动点， ， 分别是其左右焦点，则 的最
大值为________．
四、解答题（共77分）
15. 在数列 中， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
的
16. 已知 是抛物线 焦点， 是 上在第一象限的一点，点 在 轴上，
轴， ， ．
（1）求 的方程；
（2）过 作斜率为 的直线与 交于 ， 两点， 的面积为 （ 为坐标原点），求直线
的方程．
17. 如图，在三棱台 中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形， 平面 ，
设平面 平面 ，点 分别在直线 和直线 上，且满足 .（1）证明： 平面 ；
（2）若直线 和平面 所成角的余弦值为 ，求该三棱台的体积.
18. 在数列 中，已知 ， （ ）．
（1）证明：数列 等比数列；
为
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求使得 的整数 的最小值；
（3）是否存在正整数 、 、 ，且 ，使得 、 、 成等差数列？若存在，求出 、 、
的值；若不存在，请说明理由．
19. 在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 ，记 的轨迹为
曲线 ，直线 交 右支于 ， 两点，直线 交 右支于 ， 两点， ．
（1）求 的标准方程；
（2）证明： ；
（3）若直线 过点 ，直线 过点 ，记 ， 的中点分别为 ， ，过点 作 两条渐近线
的垂线，垂足分别为 ， ，求四边形 面积的取值范围．
