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南昌二中 2024-2025 学年度上学期高三数学月考（二）
一、单选题
1.已知集合 ， ，则 ( )
A={x|x2−3x−4<0} B={x||x|>1,x∈Z} A∩B=
A. {−1,2,3} B. {2,3} C. {−3,−2} D. {−3,−2,0}
2.若z=1+i则|iz+3z|=( )
A. 4√5 B. 4√2 C. 2√5 D. 2√2
3.已知向量⃗
a
， ⃗b 满足 ⃗a=(3,4) ， ⃗b=(2,−1) ，则向量 ⃗b 在向量⃗
a
方向上的投影向量为( )
6 8 6 8
A. ( , ) B. (6,8) C. ( , ) D. (4,2)
25 25 5 5
4.“a<2”是“(a−1)(a−2)<0”的()
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中真命题个数为()
①若m//n，α//β，则m与α所成的角等于n与β所成的角；
②若m⊄α，n∩α=A，A∉m，则m与n是异面直线；
③若m⊄α，n⊄β，α//β，则m//n；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
π π π π
6.已知函数f(x)=8cos(x−θ+ )cos(x−θ− )+2 (0<θ< ) 的一条对称轴为x= ，且在
3 3 2 6
区间[0,t]上值域为[2,4]，则实数t的最大值为( )
5π 2π 5π π
A. B. C. D.
6 3 12 3
学科网（北京）股份有限公司 1π
7.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A= ，O为其外心．若△ABC
3
cosB ⃗ cosC ⃗ 1 ⃗
外接圆半径为R，且 ⋅AB+ ⋅AC= ⋅mAO，则m的值为( )
c b 2R
√3
A. 1 B. C. 2 D. √3
4
1
8.函数f(x)=x− (x≠0)的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲
x
线．
1
在数列{c }中，c =1， =f(n) (n∈N,n≥2)，记数列{c }的前n项积为T ，数列{T }的前
n 1 c n n n
n
n项和为S ，则当n≥2时 ( )
n
5 5 5 7 7
A. ≤S <2 B. 1<S ≤ C. <S ≤ D. ≤S <2
3 n n 3 3 n 4 4 n
二、多选题
9.设数列{a }，{b }的前n项和分别为S ，T ，则下列命题正确的是( )
n n n n
A. 若a −a =2(n∈N∗)，则数列{a }为等差数列
n+1 n n
B. 若b =2b (n∈N∗)，则数列{b }为等比数列
n+1 n n
C. 若数列{a }是等差数列，则S ，S −S ，S −S ⋯⋯(n∈N∗)成等差数列
n n 2n n 3n 2n
D. 若数列{b }是等比数列，则T ，T −T ，T −T ⋯⋯(n∈N∗)成等比数列
n n 2n n 3n 2n
学科网（北京）股份有限公司 210.在直三棱柱ABC−A B C ，∠BAC=90°，AB=AC=A A =2，点E、F分别是BC，
1 1 1 1
A C 的中点，D在线段B C 上，则( )
1 1 1 1
A. EF//平面A A B B
1 1
B. 若D是B C 上的中点，则BD⊥EF
1 1
2√5
C. 直线EF与平面ABC所成角的正弦值为
5
3√2
D. 直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为
2
11.已知函数 ， 为 的极大值点，则下列结论正确的有( )
f(x)=(x−a) 2 (x−b)(a<b) 2 f(x)
A. a=2
B. 若4为函数f(x)的极小值点，则b=4
2b 8
C. 若f(x)在( ,b)内有最小值，则b的取值范围是( ,+∞)
3 3
D. 若f(x)+4=0有三个互不相等的实数解，则b的取值范围是(5,+∞)
三、填空题
{a −1,a >1,
n n
12.已知数列 {a } 满足 a =√2 ， a = 1 (n∈N∗) ，则 a = ．
n 1 n+1 ,0<a <1 2024
a n
n
2z·(−cos 70°+isin70°)
13.已知复数z满足 =1+i，则复数z的辐角的主值是 ．
cos140°+isin140°
学科网（北京）股份有限公司 3b−1
已知函数f (x)=xex−ax−bex+ab(a>0)，若f (x)≥0对x∈R恒成立，则 最大值
a
14.
为 ．
四、解答题
15.(本小题13分)
9
已知数列{a }的前n项和为S ，a =− ，且4S =3S −9(n∈N∗).
n n 1 4 n+1 n
求数列 的通项公式；
(1) {a }
n
设数列 满足 ，求数列 的前 项和为 ．
(2) {b } 3b +(n−4)a =0(n∈N∗) {b } n T
n n n n n
16.(本小题15分)
√3
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC− csinB=a．
3
(1)求B;
(2)已知b=6，BD为∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD=√3，M为线段AC上一点，且
1
AM= MC，求△BDM的周长．
2
学科网（北京）股份有限公司 417.(本小题15分)
已知椭圆 ：x2 y2 经过点 √2 ，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一
C + =1(a>b>0) P(1, )
a2 b2 2
个正方形．
(1)求椭圆C的方程；
5
(2)设M( ,0)，过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A，B两点，试问： ⃗ ⃗ 是否为定值？
4
MA⋅MB
若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知函数
f(x)=x2−mx+2lnx(m∈R).
(1)若f(x)在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；
(2)若4<m<5，且f(x)有两个极值点x ,x ，其中x <x ，求f(x )−f(x )的取值范围．
1 2 1 2 1 2
19.(本小题17分)
学科网（北京）股份有限公司 5对于一个给定的数列{a }，令b =a +a ，则数列{b }称为数列{a }的一阶和数列，再令
n n n n+1 n n
c =b +b ，则数列{c }是数列{a }的二阶和数列，以此类推，可得数列{a }的p阶和数列．
n n n+1 n n n
(1)若{a }的二阶和数列是等比数列，且a =0，a =1，a =0，a =3，求a ；
n 1 2 3 4 7
(2)若a =n，求{a }的二阶和数列的前n项和；
n n
(3)若{a }是首项为1的等差数列，{b }是{a }的一阶和数列，且3a ≤2b ，
n n n k−1 k−1
a +a +…+a =1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时{a }的公差．
1 2 k n
学科网（北京）股份有限公司 6
