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沅澧共同体 2025 届高三第二次联考（试题卷）
数学
时量：120分钟 满分：150分
命题单位：常德外国语学校 审题单位：常德市教科院
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设命题 ， ，则 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 设 ，则 的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
5. 若 ，向量 与向量 的夹角为 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
.
6 已知 ，则 （ ）.
A B.
C. D.
7. 关于x的一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两
项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．
9. 若 满足对定义域内任意的 ，都有 ，则称 为“优美函数”，
则下列函数不是“优美函数”的是（）
A. B.
C. D.
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）A.
B. 图的象关于直线 对称
C. 是偶函数
D. 将 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数 的图象
11. 已知函数 是奇函数，下列选项正确的是（ ）
A.
B. ，且 ，恒有
C. 函数 在 上的值域为
D. 若 ，恒有 的一个充分不必要条件是
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数 的最小值是__________．
13. 用半径为 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为__________ ．
14. 函数 ，已知 在区间 恰有三个零点，则 的范围为_______.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知 分别为 的三个内角 的对边，且 ， ， ．
的
（1）求 及 面积 ；
（2）若 为 边上一点，且 ，求 的正弦值．
16. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ．
（1）求 ；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，侧棱 底面 ， ，
， ， ， 是棱 的中点．
（1）求证： 面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使得直线 和平面 所成角为 ？若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由．
18. 如图，已知椭圆 过点 ，焦距为 ，斜率为 的直线 与椭圆
相交于异于点 的 两点，且直线 均不与 轴垂直.（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求 的方程；
（3）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明: 为定值.
19. 已知 是自然对数的底数．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若关于 的方程 有两个不等实根，求 的取值范围；
（3）当 时，若满足 ，求证： ．
