长沙市一中2025届高三月考试卷（二）数学_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年10月试卷_1024湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期月考卷（二）

长沙市一中 2025 届高三月考试卷（二） 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题 5分，共40分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合Ax|2lnx2，B2,1,0,1,2,3，则AB（ ） A．{1,0} B．{1,2} C．{1,0,1} D．{1,2,3} 12i 2．已知i为虚数单位， i，则z的共轭复数z （ ） z A．2i B．2i C．2i D．2i 3．已知曲线 f xax2lnx在点  1, f 1 处的切线与x轴相交于点   1 ,0  ，则实数a（ ） 3  A．-2 B．-1 C．1 D．2    4．已知向量OA(1,k)，OB(1,2)，OC(k2,0)且实数k0，若A，B，C三点共线．则 k（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知过坐标原点O的直线PO与焦点为F 的抛物线C:y2 2px(p0)在第一象限交于点   P，与C的准线l交于点Q，若PO4OQ，则直线PF的斜率为（ ） 4 2 1 A． B． C．1 D． 3 3 3 6．已知函数 f(x)sinx 3cosx与直线ya(0a2)在第一象限的交点横坐标从小到大 依次分别为x ,x ,,x ,，则 f x 2x 3x （ ） 1 2 n 1 2 3 A．1 B．0 C．1 D． 3  b  7．定义：min{x,y}为实数x，y中较小的数，已知hmina, ，其中a，b均为正  a29b2 实数，则h的最大值是（ ） 1 1 6 3 A． B． C． D． 6 3 6 3 答案第1页，共7页8．若不等式alnxx0有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）  2 5   2 5  A．  ,  B． ,  ln2 ln5 ln2 ln5  3 5   3 5  C．  ,  D． ,  ln3 ln5 ln3 ln5 二、选择题（本题共3小题，每小题 6分，共18分在每小题给出的选项中，至 少有两项是符合题目要求，若全部选对得 6分，部分选对得部分分，选错或不 选得0分） 9．记等差数列a 的前n项和为S ，公差为d，若a 9，S 200，则（ ） n n 10 20 A．d 2 B．S 的最小值为S n 5 C．a 9 D．使S 0的n的最小值为11 1 n 10．若随机变量X ~ N  0,2 ， f xPX x，则（ ） A． f x1 f x B． f 2x2f x C．P  X x 2f x1x0 D．若 f   1x  f 2，则 1 x1 1x 3 11．如图，在锐二面角AB的半平面内有一个四边形MENF，点M 在AB上， 1 6 EF  2，MN 2，MEF和NEF 的面积均为 ，点N到平面的距离为 ，点E到 2 2 6 平面的距离为 ，则（ ） 4 A．EF∥AB B．直线MN与AB所成的角为45 C．直线MN与平面所成的角为30 D．二面角AB的大小为60 三、填空题（本大题共 3个小题，每小题 5分，共 15分） x2 y2 12．设双曲线C:  1(a 0,b0) 的两条渐近线的倾斜角分别为,，若5，则 a2 b2 C的离心率为 ． 答案第2页，共7页  13．已知正三棱柱ABCABC 中，AC2CC ，动点P在侧面ACC A 内，且PCPB 0．若 1 1 1 1 1 1 1 2 点P的轨迹长为 π，则该正三棱柱的体积为 ． 2 14．记不超过x的最大整数为[x]．若函数 f(x)|2x[2xt]|既有最大值也有最小值，则实 数t的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 15．现有一种不断分裂的细胞X ，每个时间周期内分裂一次，一个X 细胞每次分裂能生成 一个或两个新的X 细胞，每次分裂后原X 细胞消失．设每次分裂成一个新X 细胞的概率为 p， 分裂成两个新X 细胞的概率为1 p；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞分裂 相互独立．设有一个初始的X 细胞，从第一个周期开始分裂． 3 (1)当p 时，求3个周期结束后X 细胞数量为2个的概率； 4 (2)设2个周期结束后，X 细胞的数量为，求的分布列和数学期望． 答案第3页，共7页16．如图，AB是半球O的直径，AB4,M,N是底面半圆弧AB 上的两个三等分点，P是半 球面上一点，且PON 60． (1)证明：PB平面PAM ： (2)若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM 与平面PAB所成角的正弦值． 答案第4页，共7页17．已知函数 f x1axln1xx． (1)当a2时，求 f x的极值； (2)当x0时， f x0，求a的取值范围． 答案第5页，共7页x2 y2 18．已知双曲线C:  1(a 0,b0) 的焦距为4，离心率为2,F,F 分别为C的左､右焦 a2 b2 1 2 点，两点Ax ,y ,Bx ,y 都在C上. 1 1 2 2 (1)求C的方程；   (2)若AF 2F B，求直线AB的方程； 2 2 (3)若AF ∥BF 且xx 0,y y 0，求四个点A,B,F,F 所构成的四边形的面积的取值范围. 1 2 1 2 1 2 1 2 答案第6页，共7页19．已知数列a 满足：a 3，m，nN*，当nm时，a 2a a ． n 1 n m nm (1)求数列a 的通项公式； n n  1  1 (2)当n6时，求证：1   ；  a 1 2 n (3)求解方程：anananan an ． 1 2 3 n n1 答案第7页，共7页