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微专题 45 用动力学和能量观点解决多过程问题
1．将全过程进行分解，分析每个过程受力、运动、能量的变化，找到子过程间的联系。2.
若过程为匀变速运动，尤其求时间多用动力学解决。若为非匀变速运动或曲线运动多用功能
关系式或能量守恒解决。3.不同过程连接点速度的关系有时是处理两个过程运动规律的突破
点。
1．如图所示为某轮滑比赛的场地，由斜面AB、圆弧面BCD和平台组成，斜面AB和圆弧面
在B点相切，C为圆弧面的最低点，刚好与地面相切，圆弧 BC所对的圆心角α＝37°，圆弧
轨道半径为R，D点离地面的高度是平台离地面高度的一半，平台离圆弧轨道 D点的水平距
离和平台的高度相等，轮滑运动员从斜面上 A点由静止滑下，从D点飞出后，刚好沿水平
方向滑上平台，整个过程运动员视为质点，不计一切摩擦和阻力，重力加速度为 g，求：
(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，)
(1)圆弧CD所对的圆心角θ；
(2)斜面AB的长度。
答案 (1)45° (2)
解析 (1)设平台离地面的高度为d，则D点到平台的水平距离为d，D点与平台的高度差为
d，设运动员运动到D点时速度大小为v，运动员从D点飞出刚好水平滑上平台，可以看作
平抛运动的逆运动，则水平方向有d＝vcos θ·t，竖直方向有d＝vsin θ·t，
联立解得θ＝45°。
(2)由几何关系得d＝R－Rcos θ，
解得d＝(2－)R。
由(vsin θ)2＝2g×d，
解得v＝。
设AB长为L，运动员从A点到D点，根据机械能守恒定律有mg(Lsin α＋R－Rcos α－d)＝
mv2，
联立解得L＝。
2．(2024·重庆市南开中学校考)第24届冬季奥林匹克运动会已在我国北京成功举办，其中滑
雪项目是一项有极大观赏性的运动。某滑雪训练场地由两部分组成，AB是倾角为53°、长
度L＝10 m的助滑坡区，BCD是半径为R＝10 m的圆弧过渡区，O为圆心，C为最低点，
∠OBD＝∠ODB＝37°，DE是足够长的水平面，如图所示。某运动员(含装备)质量为60
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料kg，从A点由静止开始出发进入助滑区，并用滑雪杆助滑，过 B点后自由滑行，到达过渡
区最低点C时速度大小为20 m/s，不计所有阻力，运动员可视为质点，已知 sin 53°＝0.8，
取g＝10 m/s2。求：
(1)运动员在过渡区最低点C时对场地压力；
(2)运动员在助滑区助滑过程中至少需要消耗的体能E；
(3)运动员离开D点后距水平面DE的最大高度。
答案 (1)3 000 N，方向竖直向下 (2)4 800 J (3)10.24 m
解析 (1)设运动员在过渡区最低点C时受场地支持力大小为F ，由牛顿第二定律得F －mg
N N
＝m，解得F ＝3 000 N
N
由牛顿第三定律得：运动员在过渡区最低点C时对场地压力大小F ′＝F ＝3 000 N，方向
N N
竖直向下。
(2)由能量守恒定律得mg[Lsin 53°＋R(1－sin 37°)]＋E＝mv 2解得E＝4 800 J
C
(3)运动员到D点时速度大小为v ，离开D点后距水平面DE的最大高度为h，水平速度大小
D
为v cos 53°，根据机械能守恒定律得mv 2＝mgR(1－sin 37°)＋mv 2，mv 2＝mgh＋m(v cos
D C D D D
53°)2，解得h＝10.24 m。
3. 如图，在竖直平面内，半径R＝0.5 m的光滑圆弧轨道ABC与粗糙的足够长斜面CD相切
于C点， CD与水平面的夹角为θ＝ 37°，B是轨道最低点， 其最大承受力 F ＝21 N，过
m
A点的切线沿竖直方向。现有一质量为m＝0.1 kg的物块，从A点正上方的P点由静止落下
已知物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，不计
空气阻力。
(1)为保证轨道不会被破坏，求 P、A间的最大高 度差H及物块能沿斜面上滑的最大距离
L；
(2)若P、A间的高度差H＝3.6 m，求系统最终因摩擦所产生的总热量Q。
1
答案 (1)4.5 m 4.9 m (2)4 J
解析 (1)设物块在B点的最大速度为v ，由牛顿第二定律得F －mg＝
B m
从P到B，由动能定理得mg(H ＋ R) ＝mv 2－0
B
联立解得H＝4.5 m
物块从B点运动到斜面最高处的过程中，根据动能定理得－mg[R(1－cos 37°) ＋Lsin 37°]－
μmgcos 37° · L＝0－mv 2
B
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料代入数据解得L＝4.9 m。
(2)物块在斜面上，由于mgsin 37°>μmgcos 37°，物块不会停在斜面上，物块最后以B点为中
心、C点为最高点沿圆弧轨道做往复运动。由功能关系得系统最终因摩擦所产生的总热量Q
＝mg(H＋Rcos 37°)
1
解得Q＝4 J。
4．在竖直平面内，某一游戏轨道由直轨道AB和弯曲的细管道BCD平滑连接组成，如图所
示。小滑块以某一初速度从A点滑上倾角为θ＝37°的直轨道AB，到达B点的速度大小为2
m/s，然后进入细管道BCD，从细管道出口D点水平飞出，落到水平面上的G点。已知B点
的高度h＝1.2 m，D点的高度h＝0.8 m，小滑块落到G点时速度大小为5 m/s，空气阻力不
1 2
计，滑块与轨道AB间的动摩擦因数μ＝0.25，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取
10 m/s2。
(1)求小滑块在轨道AB上的加速度大小和在A点的初速度大小；
(2)求小滑块从D点飞出的速度大小；
(3)判断细管道BCD的内壁是否光滑。
答案 (1)8 m/s2 6 m/s (2)3 m/s (3)不光滑
解析 (1)设小滑块在轨道AB上的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma
解得a＝8 m/s2
对小滑块从A到B的运动过程，根据运动学规律有v 2－v 2＝－2a·
B A
解得v ＝6 m/s
A
(2)小滑块从D到G过程中只有重力做功，以水平面为零势能面，根据机械能守恒定律有
mv 2＝mgh ＋mv 2
G 2 D
解得v ＝3 m/s
D
(3)以水平面为零势能面，滑块在B、D两处的机械能分别为
E ＝mv 2＋mgh ＝14m(J)
B B 1
E ＝mv 2＋mgh ＝12.5m(J)
D D 2
所以滑块从B到D存在机械能损失，而细管道对滑块的弹力始终与速度方向垂直，所以不
做功，则这个过程中除了重力之外，还有摩擦力对滑块做功，因此细管道BCD不光滑。
5．(2023·湖北省联考)如图甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径均为R ＝0.4 m的光滑圆
1
弧轨道，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径)，分别与上、下
圆弧轨道相切连接，BC段的长度L为0.1 m。AB圆弧轨道与光滑水平地面轨道相切，其中
D、A分别是上、下圆弧轨道的最高点与最低点，整个轨道固定在竖直平面内。质量 m＝0.3
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料kg的小球以一定初速度从A点水平进入轨道，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若小球从D点水平飞出后落地点距D点的水平距离x＝1.8 m，求小球从A进入时的初速
度大小；
(2)若在D点右侧平滑连接一个半径R ＝0.45 m的半圆形光滑轨道DEF，如图乙所示，要使
2
小球能沿轨道运动至F点，则小球从A进入时的初速度至少为多大？(计算结果用根式表示)
答案 (1)6 m/s (2) m/s
解析 (1)设从D点飞出时的速度为大小v，则有vt＝x
1 1
gt2＝2R＋L
1
解得v＝3 m/s
1
小球从A运动至D点，由机械能守恒定律得mv 2＝mg(2R＋L)＋mv2
A 1 1
解得v ＝6 m/s
A
(2)小球在D点的速度最小时，mg＝m
解得v ＝ m/s
D
小球从A运动至D点，由机械能守恒定律得mv2＝mg(2R＋L)＋mv 2
0 1 D
解得初速度的最小值v＝ m/s。
0
6. (2024·江苏镇江市统考)如图所示，某一弹射游戏装置由弹性竖直挡板P、长度l＝1 m的
水平直轨道AB、半径R＝0.8 m的竖直半圆轨道BCD和半径r＝0.1 m的竖直半圆管道DEF
组成，轨道各部分平滑连接。已知小球质量m＝0.01 kg，小球直径略小于管道DEF直径，
小球与AB间的动摩擦因数μ＝0.5，其余各部分轨道均光滑，小球与P的碰撞无机械能损失，
某次小球从P处向右弹出时的初动能为E ＝0.17 J(g取10 m/s2)。
k0
(1)求小球第一次运动到B点时对圆轨道的压力大小；
(2)若要小球能从F点射出，求E 的最小值；
k0
(3)若r＝2.0 m，小球能两次进入DEF轨道，求E ″的范围。
k0
答案 (1)0.4 N (2)0.25 J (3)0.35 J≤E ≤0.61 J
k0
解析 (1)根据题意，小球从A运动到B，由动能定理有－μmgl＝mv2－E ，解得v＝2 m/s
k0
由牛顿第二定律有F－mg＝m，解得F＝0.4 N。由牛顿第三定律可知，小球第一次运动到B
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料点时对圆轨道的压力大小为F′＝F＝0.4 N
(2)要求运动中，小球不脱离轨道，设通过轨道BCD的最高点D的最小值速度为v ，则有
D
mg＝m
解得v ＝＝2 m/s
D
对DF过程由动能定理有mv 2＝mv 2＋2mgr
D F
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F
所以小球通过D点后肯定能通过F点，对A到D过程，由功能关系有E ′－μmgl－2mgR＝
k0
mv 2
D
解得E ′＝0.25 J
k0
(3)若小球恰好运动到F点，由动能定理得E －μmgl－2mgR－2mgr＝0，解得E ＝0.61 J
k0max k0max
小球恰好第二次运动到D点，有E －μmg·3l－2mgR＝mv 2，E ＝0.35 J。因此初动能
k0min D k0min
E ″的范围为0.35 J≤E ″≤0.61 J。
k0 k0
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