文档内容
2023-2024 学年高二数学下学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一、二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．若直线 的一个法向量为 ，则若直线 的斜率 ．
2．双曲线 的渐近线方程是 ．
3．已知 ，则 ．
4．已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则 ．
5．已知各项均不相同的等差数列 的公差为 ，且满足： ， ， 成等比数列，则 的值为
．
6．已知向量 ，若向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围
．
7．在10件产品中有7件一等品，3件二等品，从中随机取出4件产品，其中至少含一件二等品的概率是
．（结果用数值表示）
8．已知函数 在区间 上是严格减函数，则 的取值范围是 ．
9．若 ，则 的值为 ．
10．函数 的导函数 的图像如图所示，给出下列命题：
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司① 是函数 的极小值点；
② 是函数 的最小值点；
③ 在区间 上严格增；
④ 在 处切线的斜率小于零.
以上所有正确命题的序号是 ．
11．已知椭圆 的左右顶点为 ， ，点 为直线 上一点，若 的外接圆的
面积的最小值为 ，则该椭圆的离心率为 ．
12．已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ， ， ， ，且
，则 的最大值等于 ．
二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，
将代表正确选项的小方格涂黑.
13．函数 的图象在点 处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司14．已知 、 分别为随机事件A、B的对立事件， ， ，则下列等式错误的是（ ）
A． B．
C．若A、B独立，则 D．若A、B互斥，则
15．如图，三棱柱 满足棱长都相等，且 平面 ， 是棱 的中点， 是棱 上的
动点，设 ，随着 增大，平面 与底面 所成钝二面角的平面角是（ ）
A．减小 B．先减小再增大 C．先增大再减小 D．增大
16．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学
的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“ ”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面直角坐
标系 中，把与定点 、 距离之积等于 的动点的轨迹称为伯努利双纽线，记
为曲线 .关于曲线 ，有下列两个命题：
①曲线 上的点的横坐标的取值范围是 ；
②若直线 与曲线 只有一个交点，则实数 的取值范围为 .
则（ ）
A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题
C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
3
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面圆的圆心， 为圆 的直径，且 ， 是底面
圆 的内接正三角形， 为线段 上一点，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
已知数列 满足 ， ，数列 满足 ， ．
(1)求证： 为等差数列，并求 通项公式；
(2)若 ，记 前n项和为 ，对任意的正自然数n，不等式 恒成立，求实数 的范围．
19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投 次，每投进一次得 分，否则得 分 已知甲
每次投进的概率为 ，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为 ，从第二次投篮开始，
若前一次投进，则该次投进的概率为 ，若前一次没投进，则该次投进的概率为 .
(1)求甲投篮 次得 分的概率；
(2)若乙投篮 次得分为 ，求 的分布和期望；
(3)比较甲、乙的比赛结果.
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分6分.
已知双曲线 ： 的离心率为 ，点 在双曲线 上．过 的左焦点F作
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司直线 交 的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 ，试问：是否存在直线 ，使得点M在以 为直径的圆上?请说明理由．
(3)点 ，直线 交直线 于点 ．设直线 、 的斜率分别 、 ，求证： 为定
值．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分.
若函数 的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数 的图象的“自
公切线”，称这两点为函数 的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数 与 的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若 ，求证：函数 有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设 ， 的零点为 ， ，求证：“存在 ，使得
点 与 是函数 的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“ 是数列 中的项”.
5
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
